在置信度 alpha 下的 Vasicek ASRF 资本因子（Basel IRB）

实现 solution(z_unconditional_pd: float, asset_correlation: float, z_alpha: float) -> float。信贷风险团队对每个对手方、每个监管置信度都调用一次此函数，把对手方的无条件违约阈值与银行选定的资产相关性，转换成在置信度 alpha 下的 Vasicek ASRF 资本因子。这就是 Basel IRB 资本公式 capital = K * LGD * EAD 中的 K（按每单位 EAD 计算；LGD 与 EAD 的缩放在上游完成）：在渐近单一风险因子（ASRF）框架下，组合条件违约率的 (1 - alpha) 分位。它与条件 PD 姐妹题在结构上对称，但参数化方式不同——这里以置信度为参数，而非已实现的宏观抽样。

输入：

• z_unconditional_pd —— 对手方的标准化违约触发阈值，等于 Phi^-1(unconditional_pd)。调用方已经对无条件 PD 做过反正态变换；本函数只消费这个标量阈值（带符号；低 PD 时为负）。按约束区间，输入非正（PD <= 0.5）。
• asset_correlation —— 参数 R，落在 [0.0, 1.0]：对手方资产收益与系统因子相关系数的平方。R 越大，对手方对宏观态越敏感。R = 1.0 是退化端点，由下面的 NaN 哨兵处理。
• z_alpha —— 选定尾部置信度 alpha 的置信 z-score Phi^-1(alpha)。在 alpha > 0.5 时为正。例如：z_alpha ≈ 3.090 对应 Basel IRB 99.9% 资本分位，z_alpha ≈ 2.326 对应 alpha = 0.99，z_alpha ≈ 1.645 对应 alpha = 0.95。

输出由如下可观测公式定义：

1. 参数：arg = (z_unconditional_pd + sqrt(asset_correlation) * z_alpha) / sqrt(1 - asset_correlation)。
2. 标准正态 CDF：capital_factor = Phi(arg)，其中 Phi(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))。

退化模型的哨兵：

• 若 asset_correlation == 1.0，分母 sqrt(1 - R) 为零，资本因子数学上未定义。返回 float('nan')。

只要 asset_correlation < 1.0，分母严格为正，除法良定义。输出是 [0, 1] 内的概率。

例

solution(-3.0, 0.20, 3.09) 返回约 0.0352175818403454。对手方的无条件 PD 为 Phi(-3.0) ≈ 0.135%；资产相关性 R = 0.20；置信 z 为 z_alpha = 3.09（alpha = 0.999，即 Basel IRB 资本分位）。参数为 (-3.0 + sqrt(0.20) * 3.09) / sqrt(0.80) = (-3.0 + 1.382) / 0.894 = -1.810，Phi(-1.810) ≈ 0.0352 = 3.52%。99.9% 分位资本因子约为无条件 PD 的 26 倍：Vasicek 尾部放大被压缩进了一个闭式表达。

标准 Basel IRB 单元算例：solution(-2.326347874040841, 0.20, 3.090232306167813) 返回约 0.14552526613107125。PD = 1%（典型中等级对手方）、R = 0.20（Basel 风格大型企业资产相关性）、alpha = 0.999。参数为 (-2.326 + sqrt(0.20) * 3.090) / sqrt(0.80) = -1.058，Phi(-1.058) ≈ 14.55%。99.9% 尾部资本因子约为无条件 PD 的 14.5 倍；乘以 LGD 与 EAD 后即为对手方 IRB 资本要求（再叠加期限调整）。

R = 1 哨兵算例：solution(-2.326347874040841, 1.0, 3.090232306167813) 返回 float('nan')。资产相关性达到了退化的上限；分母 sqrt(1 - 1) = 0，资本因子未定义。返回 NaN——不要返回 0.0，不要抛异常。

R = 0 吸收边界算例：solution(-2.326347874040841, 0.0, 3.090232306167813) 返回约 0.01。R = 0 时 sqrt(R) * z_alpha = 0、sqrt(1 - R) = 1，公式塌缩为 Phi(z_unconditional_pd) = Phi(-2.326) = 1%——也就是无条件 PD。系统因子完全不起作用，因为零资产相关性下对手方资产收益与宏观因子独立。这是"无穷颗粒度、零相关"极限：系统资本恰好等于平均 PD。

较低置信度算例：solution(-2.326347874040841, 0.20, 1.6448536269514722) 返回约 0.0377。同一对手方（PD=1%）、同样 R=0.20，但 alpha=0.95（z_alpha ≈ 1.645）而非 0.999。参数为 (-2.326 + sqrt(0.20) * 1.645) / sqrt(0.80) = -1.778，Phi(-1.778) ≈ 3.77%。资本因子相对 0.999 单元下降约 4 倍——尾部置信度的代价正是 Vasicek 公式带来的成倍资本上调。

边界：asset_correlation == 1.0 返回 NaN（退化；完全协同）。asset_correlation == 0.0 无论 z_alpha 取多少都返回无条件 PD。z_unconditional_pd = 0（PD = 50%）配合 R = 0.5 产生恒等式 arg = z_alpha，因此 capital_factor = Phi(z_alpha) = alpha，恰好——一个闭式正确性快检。z_unconditional_pd 很负时，资本因子保持很小，除非 z_alpha 也很大。本函数对约束区间内任何输入都不抛异常；NaN 哨兵是 R = 1 情形的合同输出。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

Vasicek 单因子高斯 Copula 模型——由 Oldrich Vasicek 提出，被采纳为 Basel II/III IRB 资本框架的解析骨架——把每个对手方的标准化资产收益分解为系统成分 sqrt(R) * M 和特异成分 sqrt(1 - R) * eps_i，其中 M 与 eps_i 是独立的标准正态。当资产收益跌破阈值 z_unconditional_pd = Phi^-1(unconditional_pd) 时违约。在渐近单一风险因子（ASRF）极限下——无穷多对手方，每个无穷小份额——在已实现系统因子 M = m 下的条件违约率为 Phi((z_unconditional_pd - sqrt(R) * m) / sqrt(1 - R))。组合在置信度 alpha 下的资本要求即为该条件违约率的 (1 - alpha) 分位；由对 m 的单调性，该分位在系统因子取 (1 - alpha) 分位时达到；代入 m = -z_alpha（其中 z_alpha = Phi^-1(alpha) 为正）化简，得到 ASRF 资本因子 K(alpha) = Phi((z_unconditional_pd + sqrt(R) * z_alpha) / sqrt(1 - R))。这正是本原语计算的公式。监管设 alpha = 0.999（IRB 99.9% 资本分位，即千年一遇损失），并把得到的 K 喂入 capital = K * LGD * EAD * MaturityAdjustment，得到逐对手方的资本要求；同一原语也用于较低置信度（alpha = 0.99 或 0.95）的经济资本单元、ICAAP 情景及压力测试阈值。本原语刻意把以下几条实现陷阱显式化——分子是加 sqrt(R) * z_alpha（与条件 PD 姐妹题相比的符号翻转，因为那里宏观抽样 M 是带符号被减去的）、分母是 sqrt(1 - R) 而非 sqrt(R)（特异标准差，不是系统）、输出是 Phi 而非 erf（[0, 1] 内的概率，不是 [-1, 1] 内的值）、输入是反正态阈值与反正态置信 z，而不是 PD 或 alpha 本身——这些正是生产信贷风控回归测试反复抓到的方向性与维度错误。纯 O(1) 实现（两次开方、一次乘、一次加、一次除、一次 erf、一次平移缩放）就是标准原语；面对几百万对手方的生产 IRB 引擎按同一递推式做向量广播，但每次调用的合同完全相同。与条件 PD-给定-系统因子姐妹题的区别在于：本题以置信度为参数，而非已实现的具体宏观抽样。