VaR 突破率的 Wilson Score 二项置信区间

实现 solution(exceedance_count: int, total_obs: int, z_critical: float) -> list[float]。某风险台每日 VaR 回溯检验看板会在 Kupiec POF 似然比检验旁边给出实现突破率的置信区间。给定观测到的突破次数 exceedance_count（= N）、回溯窗口长度 total_obs（= T）、高斯临界值 z_critical（= z，例如 1.96 对应 95% 双侧 CI），返回 Wilson (1927) score 区间

p_hat  = N / T
denom  = 1 + z**2 / T
center = (p_hat + z**2 / (2*T)) / denom
margin = (z / denom) * sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / T + z**2 / (4 * T**2))
[lower, upper] = [center - margin, center + margin]

作为长度为 2 的 list[float] 返回。Wilson 是流行病学、质量控制和 VaR 回溯检验中标准的二项比例 CI——在 T 较小或 p_hat 极端时优于朴素的 Wald 区间 p_hat ± z*sqrt(p_hat*(1-p_hat)/T)，因为 Wilson 在 0 和 1 边界附近覆盖率正确，而 Wald 在边界处坍缩为零宽。

实现是常数时间的：一次除法得 p_hat、一次平方、一次 sqrt，加上少量算术运算。难点不在算法复杂度，而在于把公式抄对（中心和半宽都要除 denom；sqrt 内有两项）。

算例

solution(3, 250, 1.96) 返回 [0.004089245839774543, 0.03468138907585788]。逐步：p_hat = 3/250 = 0.012；z**2 = 3.8416；denom = 1 + 3.8416/250 = 1.0153664。中心 = (0.012 + 3.8416/500) / 1.0153664 ≈ 0.01938。半宽 = (1.96/1.0153664) * sqrt(0.012*0.988/250 + 3.8416/(4*250**2)) ≈ 1.9305 * 0.007925 ≈ 0.01530。下界 ≈ 0.00409，上界 ≈ 0.03468。期望突破率 p = 0.01 落在区间内，95% 置信度下与模型一致。

三个易错点

第一，Wilson 不是 Wald。Wald 区间 p_hat ± z*sqrt(p_hat*(1-p_hat)/T) 以 p_hat 为中心、无分母、在 p_hat=0 处坍缩为 [0, 0]、在 p_hat=1 处坍缩为 [1, 1]。Wilson 以 (p_hat + z**2/(2T)) / denom 为中心、整体除以 denom、在 sqrt 内加 z**2/(4T**2)——正是这点让区间在边界处不退化。写 Wald 公式的作者得到一个不同、性质更差的区间，会在 N=0 和 N=T 边界测试上明显失败。

第二，**分母 1 + z**2/T。Wilson 中心和半宽都**要除以 denom = 1 + z**2/T。z=1.96、T=100 时该分母约为 1.0384，漏除会把区间放大几个百分点——小到让走 Wald 路线的作者以为可行，但足以在每个典型测试上踩 rel_tol=1e-9 比较器。

第三，sqrt 含两项。Wilson 半宽的 sqrt 是 sqrt(p_hat*(1-p_hat)/T + z**2/(4*T**2))，不是 sqrt(p_hat*(1-p_hat)/T)。z**2/(4T**2) 项在大 T 下很小（z=1.96、T=100 时约 4e-5），但正是这一项防止边界处坍缩——p_hat=0 时 sqrt 内第一项为 0，只剩第二项托住区间。漏掉第二项就退化回 Wald 的 sqrt，会在 N=0/N=T 边界测试上崩。

哨兵与边界

T = 0 在合约下不可达（total_obs >= 1），但参考解防御性地对该输入返回 [float('nan'), float('nan')]。

z = 0（无置信度）给出退化为 p_hat 处的零宽 CI，例如 solution(5, 100, 0.0) == [0.05, 0.05]。约束允许这一角点，因为它偶尔用作健全性检查（z=0 时中心公式必须退化为 p_hat；若不退化，说明 denom != 1 被错用）。N=0, z=0 时返回 [0, 0]；N=T, z=0 时返回 [1, 1]。

p_hat = 0（N=0）：下界恰为 0（在 abs_tol=1e-9 的浮点噪声内——参考解可能给出约 -5.55e-17 的极小负数）；上界为 (z**2/T) / (1 + z**2/T) > 0。这是 Wilson 胜过 Wald 最干净的演示：z≈2 下经验法则 upper ≈ 3/T（rule of three）正是从此公式落出。

p_hat = 1（N=T）：上一情形的镜像——下界为 1 / (1 + z**2/T) < 1，上界恰为 1。

p_hat = 0.5（N = T/2）：Wilson 区间关于 0.5 严格对称（仅此一点严格对称——其他位置 Wilson 不对称，与构造上对称的 Wald 不同）。

大 T：T -> infinity 时 Wilson 收敛到 Wald，因为 z**2/T -> 0 且 z**2/(4T**2) -> 0。T=10000 时两者相差约 z**2/T ≈ 4e-4。

实践背景

Wilson score 区间是二项比例的标准频率派置信区间。在 VaR 回溯检验看板上它回答：“给定观测到的突破次数，真实突破率的合理范围是什么？”——与 Kupiec POF 检验“观测率与模型率统计上是否一致？”是姊妹问题。两者相关：5% 显著性水平下 Kupiec 拒绝大致对应模型率 p = 1 - alpha 落在 95% Wilson CI 之外。同一看板上的其他视角包括 Basel 红绿灯分区分类器（按计数分类的分区）、突破集群计数统计量（最长连续突破游程）、以及 Christoffersen 的独立性与条件覆盖性 LR 检验（联合覆盖与独立性）。Wilson 占据“突破率的区间估计”这一格——区别于检验统计量，也区别于评估突破*严重性*而非*频次*的量级损失 / pinball / ES 比率回溯检验。