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方差与波动率衍生品

1.4.5 · 高级衍生品 · 金融与量化投资

​Hook（开场场景）.​ 某私募 vol 套利基金的基金经理在周一上午开盘前盯着两个数字：一个是中证 500 过去 60 个交易日的已实现年化波动率，21.3%；另一个是该基金通过头部券商签订的、未来 60 天到期的场外（OTC）方差互换（variance swap）含税公允方差点位 KvarK_{\text{var}}，对应的方差互换公允波动率约为 24.8%。中间 3.5 个 vol 的差就是该基金这笔交易的全部信号。她要回答的问题不是"方向是涨是跌"，而是：未来 60 天 CSI 500 的实际方差，会高于还是低于 KvarK_{\text{var}}？

为什么不直接交易期权？因为对沪深300 ETF（510300）或 50ETF（510050）任一张香草欧式期权（European option，vanilla）的"多 vol 头寸"都被三件事污染：（1）暴露被 Black-Scholes 模型下的德尔塔对冲（delta hedging）所定义的 Delta（标的方向）污染；（2）维加（vega）本身随标的偏离行权价而衰减，敞口非线性；同时伽马（gamma）的二阶贡献使简单线性化失效；（3）波动率微笑（volatility smile）让"哪只期权代表 vol"本身不唯一。方差互换正是对这些污染的清洁回应——它把波动率本身做成一根可线性交易的资产（vol as an asset class）。本课讲清楚为什么这件事在数学上是可能的、如何用一组期权静态复制（static replication）出方差互换、以及国内 vol 套利台为什么离不开它。

方差互换：纯净的、模型无关的方差敞口

方差互换的损益结构由两部分组成：买方收到的固定端是公允方差点位 KvarK_{\text{var}}，卖方收到的浮动端是 0 到 TT 区间内的已实现方差（realised variance）σR2\sigma_R^2。结算价值用"vega notional" NvegaN_{\text{vega}} 标定，使一个 vol 的方差变动对应约一个 vega notional 的 P&L：

Payoffvar swap=Nvega2Kvar⋅(σR2−Kvar)\text{Payoff}_{\text{var swap}} = \frac{N_{\text{vega}}}{2 \sqrt{K_{\text{var}}}} \cdot \left( \sigma_R^2 - K_{\text{var}} \right)

其中已实现方差由对数收益的样本估计得到：

σR2=An∑i=1n(log⁡STiSTi−1)2\sigma_R^2 = \frac{A}{n} \sum_{i=1}^n \left( \log \frac{S_{T_i}}{S_{T_{i-1}}} \right)^2

其中 AA 是年化因子（CN A 股市场常用 252 个交易日）。这是对方差的一根线性敞口：买方做多 1 vega notional 的 60 天方差互换，等价于"未来 60 天的已实现方差每上一个方差点（即年化 vol 上升 1%），P&L 增加近似 1 vega"。无 Delta、无 Vega 衰减、无微笑选择。

DDKZ 静态复制：把方差互换分解成 OTM 期权组合

为什么这件事在数学上可行？关键的洞见来自 Demeterfi-Derman-Kamal-Zou（1999）：方差互换可以由一个"对数合约（log contract）"加上一个连续 Delta 对冲精确合成；而对数合约本身又可由一连串 OTM 看跌期权与看涨期权按 1/K21/K^2 加权静态复制出来。

第一步：在风险中性测度下对 log⁡ST\log S_T 应用 Itô 引理（Itô's lemma）：

log⁡ ⁣(STS0)=∫0T(r−q−12σt2)dt+∫0Tσt dWt\log\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right) = \int_0^T \left(r - q - \tfrac{1}{2}\sigma_t^2\right) dt + \int_0^T \sigma_t \, dW_t

第二步：移项得到

∫0Tσt2 dt=2∫0T(r−q) dt−2log⁡ ⁣(STS0)+2∫0Tσt dWt\int_0^T \sigma_t^2 \, dt = 2 \int_0^T (r - q) \, dt - 2 \log\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right) + 2 \int_0^T \sigma_t \, dW_t

最右一项是一个对 WW 的 Itô 积分，等价于"连续按 1/St1/S_t 份标的进行自融资动态 Delta 对冲"产生的实际 P&L 之 2 倍。把对数合约头寸（log contract）与该自融资动态对冲组合在一起，组合的累计 P&L 在 [0,T][0, T] 内恰好等于已实现方差减去一个常数（前向方差）。等价地：

Realised variance=2⋅drift constant−2log⁡(ST/S0)+2⋅(self-financing delta-hedge P&L)\text{Realised variance} = 2 \cdot \text{drift constant} - 2 \log(S_T / S_0) + 2 \cdot (\text{self-financing delta-hedge P\&L})

第三步：对数合约 −log⁡(ST/S0)-\log(S_T / S_0) 又可由 OTM 香草欧式期权（European option）的 1/K21/K^2 加权积分恢复——任一光滑两次可微的损益函数都可写成"远期合约 + OTM put 与 call 的连续积分"，对 −log⁡(ST/F)-\log(S_T/F) 这一具体形式，权重正好是 1/K21/K^2：

−log⁡ ⁣(STF)=−ST−FF+∫0F1K2 (K−ST)+dK+∫F∞1K2 (ST−K)+dK-\log\!\left(\frac{S_T}{F}\right) = -\frac{S_T - F}{F} + \int_0^F \frac{1}{K^2}\,(K - S_T)^+ dK + \int_F^\infty \frac{1}{K^2}\,(S_T - K)^+ dK

把以上三步合起来：一份方差互换 = 2/T×2/T \times（按 1/K21/K^2 加权的 OTM put + call 积分）+ 动态 Delta 对冲。对 KvarK_{\text{var}} 的公允估值因此完全由 OTM 期权链的价格决定：

Kvar=2T∫0FP(K)K2 dK+2T∫F∞C(K)K2 dKK_{\text{var}} = \frac{2}{T} \int_0^F \frac{P(K)}{K^2}\, dK + \frac{2}{T} \int_F^\infty \frac{C(K)}{K^2}\, dK

这就是 DDKZ 静态复制：方差互换在数学上是模型无关的（任何无套利模型只要满足无套利条件都会给出同一个 KvarK_{\text{var}}）。这也正是 VIX 指数的构造原理——VIX 即对应 SPX 期权链上同一根 1/K21/K^2 加权积分的离散化版本，把"30 天前向方差"压成一个可发布的指数。

方差互换 vs 波动率互换：凸性调整与模型依赖

把"已实现方差"换成"已实现波动率（已实现方差开根号）"，得到的是波动率互换（volatility swap），损益 σR−Kvol\sigma_R - K_{\text{vol}} 在已实现 vol 上线性。表面上区别很小，定价上的代价非常大：

由詹森不等式，E[X]<E[X]E[\sqrt{X}] < \sqrt{E[X]}（对非常数随机变量）。因此

Kvol<KvarK_{\text{vol}} < \sqrt{K_{\text{var}}}

二者之差称为凸性调整（convexity adjustment），其大小依赖于已实现波动率本身的二阶矩——也就是"波动率的波动率"（vol-of-vol）。这个量在 DDKZ 复制里不出现，但在波动率互换里是头号定价参数。结果就是：方差互换可以模型无关地复制，波动率互换必须借助某个具体的随机波动率模型（Heston 等）来定价。这是为什么实务中报价方差互换的台远多于波动率互换。

VIX 期货、VIX 期权与离散 / 模型外的方差敞口

VIX 指数是"30 天前向方差的平方根"。把 DDKZ 加权积分按到期日和行权价做离散切片，VIX 给出的就是 30 天 SPX 期权链定价的模型无关方差含义。挂牌的 VIX 期货 (VX) 与 VIX 期权是前向方差与前向方差的方差的交易表达。一张交易直觉：做空 VIX 期货前端 + 做多 SPX 方差互换 ≈ 锁定 30 天的"已实现 vs 隐含"差，因为 VX 价格本质上是同一根 30 天前向方差的另一面。

注：这一节中提到的挂牌产品全部为美国市场交易所体系下的产物。CN 市场目前没有真正可交易的 VIX 类挂牌期货（最接近的参考是中金所发布的 iVX 指数，作为沪深300 IO 期权链的隐含方差读数，可观察但不可直接对冲）。CN 国内的"方差敞口"几乎全部由 OTC 方差互换承载，而这套 OTC 业务的数学基础正是上节的 DDKZ 复制。

CN region 区域案例：雪球短 Vega 与 OTC 方差互换对冲

把这套机器接到第 1 课的雪球结构：券商收益凭证渠道挂出的雪球，其内嵌的 short down-and-in put 给券商账上塞进了大量"短 vol"敞口——也就是若市场实现波动率高于发行时定价的隐含波动率，对冲损失会随波动率方差性扩大。承接对冲的私募 vol 台需要"对未来 60–180 天的实现方差做多"以对冲这件事，而这正是方差互换给出的清洁敞口。

在 CN 现实里，可流动的 OTM 期权链来源是 SSE 50ETF（510050）与 SZSE 沪深300 ETF（510300）的挂牌期权。私募 vol 台的报价台会把 DDKZ 积分按这两条期权链上能取到的离散 strike 离散化，得到对 50ETF / 300ETF 的方差互换 KvarK_{\text{var}}；中证 500 的方差互换则只能依赖券商 OTC 报价（场内无对应 ETF 期权链）。这就是为什么雪球 OTC 业务和方差互换 OTC 业务在 CN 是同一群人在做——一头出货、一头买回 vol。

另一条机构应用是离散交易（dispersion trade）：做空指数方差（短沪深300 方差）+ 做多成分股方差（多 50ETF 与若干头部权重个股的 OTC 方差互换）。两腿的 vega 大部分抵消，残余暴露即对成分股平均成对相关性的押注——相关性下降时获利，相关性飙升时亏损。这是国内 vol 套利桌台逐渐落地的更高阶组合。

警示：方差互换的损益对跳跃极度不对称。2020 年 3 月与 2018 年 2 月，许多做空方差的产品账上 Vega 暴露在跳空开盘的几个小时内放大到 5–10 倍正常值（涨跌停制度让 A 股的方差跳跃在收盘后才能"补完"，敞口确认更为剧烈）。在 CN 涨跌停规则下，已实现方差的样本估计需要对停板期间的"截断收益"做修正，否则会系统性低估真实的方差暴露。

练习

Exercise

某 30 天方差互换以 Kvar=0.0625K_{\text{var}} = 0.0625（对应公允 vol = 25%）成交，vega notional 为 ¥100,000。30 天到期时观测到已实现年化波动率为 30%。问该笔方差互换买方的最终 P&L 多少？

提示
P&L 公式：P=Nvega2Kvar⋅(σR2−Kvar)P = \frac{N_{\text{vega}}}{2\sqrt{K_{\text{var}}}} \cdot (\sigma_R^2 - K_{\text{var}})。先把已实现 vol 平方得方差 σR2=0.302=0.09\sigma_R^2 = 0.30^2 = 0.09。
提示
代入：P=100,0002×0.25⋅(0.09−0.0625)=200,000⋅0.0275=¥5,500P = \frac{100{,}000}{2 \times 0.25} \cdot (0.09 - 0.0625) = 200{,}000 \cdot 0.0275 = ¥5{,}500。注意 P&L 在已实现 vol 上是凸函数——同样 5% 的"高于公允 vol"幅度，从 25% 到 30% 的盈利比从 20% 到 25% 的盈利更大。

Bridge 通往下一课的过渡

到这里你已经能定义方差互换的损益、用 DDKZ 静态复制把它分解成 1/K² 加权 OTM 期权积分、解释波动率互换为何需要随机波动率模型而方差互换不需要，并把这套数学接到 CN 私募 vol 台对冲雪球短 Vega 的实务。但你还没学会"如何在桌面上真正算出来这些数字"——DDKZ 积分在期权链离散化下要怎么数值实现？雪球的 down-and-in put 在每日离散监控下的精确定价要怎么做？下一课进入数值定价引擎：蒙特卡洛（含方差缩减与 Longstaff-Schwartz 美式扩展）、有限差分 PDE（包括稳定性条件）与 FFT / Carr-Madan 在前两课的所有产品上的实操路由表，把"知道公式"升级为"能在交易日开盘前出价"。