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组合优化与锥规划建模

2.5.1 · 凸优化 · 数学与统计能力

周五下午三点，你在某 公募 基金管理一只 沪深300 指数增强（CSI 300 enhanced index）产品。当前基金合同把年化 跟踪误差（tracking error）上限设在 300 bp。求解器把当日再平衡的解返回过来——主仓位都合理，但对偶价格表里 跟踪误差 约束的乘子写着 −ντ∗≈−35-\nu_\tau^\ast \approx -35 bp。翻译成 PM 听得懂的语言：若把上限从 300 bp 放到 400 bp，每放宽 100 bp 大约能换回 35 bp 的预期 Alpha。你把这一行截图发给 PM；半小时后投委会回话——合同的活跃风险预算改到 350 bp，下周一生效。这一节要让你能像 PM 一样，把求解器的原始输出读成「可议价的边际」。

之前三节课你掌握了凸集、标准形式与 KKT 条件这套抽象工具。本节把它们装配成 资产管理 行业能直接用的产物：一只 长仓（long-only）公募 增强基金的 组合优化（portfolio optimization）。我们从最简单的 均值方差优化（mean-variance optimization, MVO）开始，每加一层 mandate 就上升一层锥——LP → QP → 二阶锥规划（second-order cone program, SOCP）→ 半定规划（semidefinite program, SDP）——并把每一层求解器返回的 对偶变量 译成 PM 听得懂的话。

长仓 MVO 与 KKT 系统

记 w∈Rnw \in \mathbb{R}^n 为权重，μ\mu 为预期收益向量，Σ\Sigma 为 协方差矩阵（covariance matrix，假设 半正定（positive semidefinite, PSD））。最基础的长仓全仓问题写作：

min⁡w  12 wTΣw−λ μTws.t.1Tw=1,  w≥0.\min_w \; \tfrac{1}{2}\, w^T \Sigma w - \lambda\, \mu^T w \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{1}^T w = 1, \; w \ge 0.

引入预算乘子 ν∈R\nu \in \mathbb{R}、长仓乘子 η∈R≥0n\eta \in \mathbb{R}^n_{\ge 0}，KKT 系统为

Σw∗−λμ+ν∗1−η∗=0,1Tw∗=1,w∗≥0,η∗≥0,ηi∗wi∗=0.\Sigma w^\ast - \lambda \mu + \nu^\ast \mathbf{1} - \eta^\ast = 0, \quad \mathbf{1}^T w^\ast = 1, \quad w^\ast \ge 0, \quad \eta^\ast \ge 0, \quad \eta_i^\ast w_i^\ast = 0.

互补松弛条件 ηi∗wi∗=0\eta_i^\ast w_i^\ast = 0 的 PM 读法：若某只 A 股在最优解上 wi∗=0w_i^\ast = 0 而 ηi∗>0\eta_i^\ast > 0，说明求解器本想做空它 ηi∗\eta_i^\ast 单位的「风险调整 Alpha 边际」，但 公募 不允许做空个股，于是 mandate 把这块边际硬压回零。KKT 把每只名字「想空的强度」变成了一个可读的数——这是它在投研日报里的真正用法。

把 mandate 一层一层叠上去

继续按 沪深300 增强 真实合同的形状加约束。

  1. ​行业暴露上限​​：对每个行业 ss 写 1sTw≤cs\mathbf{1}_s^T w \le c_s；以 CSI 300 行业权重为锚，典型偏离 ±3%\pm 3\%。仍是线性约束，问题保持 QP。
  2. ​换手率约束​​：相对上次持仓 wprevw_{\text{prev}}，要求 ∥w−wprev∥1≤T\|w - w_{\text{prev}}\|_1 \le T。ℓ1\ell_1 范数不可微，但引入辅助变量 uiu_i 满足 ui≥wi−wi,prevu_i \ge w_i - w_{i,\text{prev}}、ui≥wi,prev−wiu_i \ge w_{i,\text{prev}} - w_i，约束改写为 ∑iui≤T\sum_i u_i \le T，重新落回线性。T≈250%T \approx 250\% 年化是 公募 增强 mandate 的典型上限。
  3. ​跟踪误差 上限​​：相对 基准 权重 wbw_b（CSI 300 各成分权重），ex-ante 活跃风险约束写为
∥A(w−wb)∥2≤τ,ATA=Σ.\| A (w - w_b) \|_2 \le \tau, \qquad A^T A = \Sigma.

这里 AA 是 Σ\Sigma 的 Cholesky 因子；凸性由 ATA=ΣA^T A = \Sigma 这一步「锁住」，约束变成标准 二阶锥。把 (1)(2)(3) 与预算、长仓拼到一起，整个 mandate 就是单一 SOCP——能直接喂给 CVXPY + ECOS 或 Mosek 等现代锥求解器。

Formula Explorer

sqrt((w - wb)' * Sigma * (w - wb))

把 ww 往 wbw_b 拽一点，τ\tau 就能再松一截；这是约束「活」的部分，也是 PM 与风控议价时最常拿来比较的曲线。

最大 夏普比率：齐次化技巧

PM 有时不想调 λ\lambda，而想直接求切线组合（tangency portfolio），即最大 夏普比率（Sharpe ratio）：

max⁡w  μTwwTΣw,1Tw=1.\max_w \; \frac{\mu^T w}{\sqrt{w^T \Sigma w}}, \quad \mathbf{1}^T w = 1.

裸写不是 凸 问题——分子线性、分母是二次根，比值结构两层都不可控。技巧是齐次（homogenization）替换：令 y=w/(μTw)y = w / (\mu^T w)、t=1/(μTw)t = 1 / (\mu^T w)，问题等价为

min⁡y  yTΣys.t.μTy=1,  y≥0,\min_y \; y^T \Sigma y \quad \text{s.t.} \quad \mu^T y = 1, \; y \ge 0,

求解后用 w∗=y∗/(1Ty∗)w^\ast = y^\ast / (\mathbf{1}^T y^\ast) 拿回切线组合权重。这是一道干净的 QP，CVXPY 调 ECOS 几毫秒就能跑完——比直接对原比值做非凸搜索可靠得多。

鲁棒 MVO：再上升到 SDP

最后一层：把 Σ\Sigma 本身也当作不可信。在 量化研究 里，Σ^\hat{\Sigma} 来自样本协方差或 因子模型（factor model），噪声本身就有 O(n2)O(n^2) 量级；把它 plug-in 进 MVO 等于盲信。鲁棒版本写成

min⁡w  max⁡Σ∈U  wTΣw−λ μTw,U={Σ:ΣL⪯Σ⪯ΣU}.\min_w \; \max_{\Sigma \in \mathcal{U}} \; w^T \Sigma w - \lambda\, \mu^T w, \quad \mathcal{U} = \{ \Sigma : \Sigma_L \preceq \Sigma \preceq \Sigma_U \}.

其中 ⪯\preceq 表示 半正定 偏序。把内层「最坏 Σ\Sigma」的对偶取出来，整体落到一个 SDP；其对偶给出的影子价格直接读作「协方差不确定性的边际成本」——这是 PM 在 mandate 谈判时第二常问的数字，仅次于 跟踪误差 的影子价格。

求解器输出怎么读

在 私募 / 公募 量化研究 场景里，研发期用 CVXPY + ECOS / SCS，量产期 私募 通常切到 Mosek 或 Gurobi 经 Python wrapper 调用。输出里你最该盯的不是 w∗w^\ast，而是：

  • 预算乘子 ν∗\nu^\ast：每多一元资金的边际预期 收益；
  • 跟踪误差 乘子 ντ∗\nu_\tau^\ast：每放宽 1 bp 跟踪误差 能换的 Alpha——hook 里那 35 bp / 100 bp 就来自这里；
  • 行业乘子：哪些行业上限正在 binding，常意味着模型在该行业被 mandate 截掉了一笔强信号。

若返回 infeasible，分两种诊断：mandate-fault 是约束互相矛盾（行业上下限不留预算、turnover 与再平衡幅度冲突），需要升到 PM 一级沟通；data-fault 是 Σ^\hat{\Sigma} 被估计噪声破坏了 半正定 性，先做最近 PSD 投影再重跑。

练习：手算 3 资产 KKT

Exercise

设 3 资产小组合，μ=(0.10, 0.08, 0.02)T\mu = (0.10,\ 0.08,\ 0.02)^T，

Σ=(0.040.0100.010.0250000.01),λ=1.\Sigma = \begin{pmatrix} 0.04 & 0.01 & 0 \\ 0.01 & 0.025 & 0 \\ 0 & 0 & 0.01 \end{pmatrix}, \quad \lambda = 1.

(i) 写出长仓全仓 MVO 的完整 QP 与对应 KKT 系统；(ii) 凭手算（KKT + 试探哪条长仓约束 active）求 w∗w^\ast；(iii) 给出预算约束的 对偶值 ν∗\nu^\ast，并把它解读成 shadow price——「每多一元再平衡资金的边际预期 收益」。

提示
先猜「全是内点」：假设 w>0w > 0 都严格成立，KKT 退化为 Σw−μ+ν1=0\Sigma w - \mu + \nu \mathbf{1} = 0 与 1Tw=1\mathbf{1}^T w = 1 的四元一次方程组。若解出的 ww 某一分量为负，说明那只名字实质想做空——把对应 wiw_i 拍到 0，把 ηi\eta_i 设为活跃后重解剩下的方程。
提示
资产 3 active：w3=0w_3=0，η3=ν∗−0.02\eta_3=\nu^\ast-0.02；w1=7/9w_1=7/9、w2=2/9w_2=2/9、ν∗=1/15≈0.067\nu^\ast=1/15\approx 0.067、η3≈0.047\eta_3\approx 0.047。约定 L=f0+ν(1Tw−1)L=f_0+\nu(\mathbf{1}^T w-1) ⇒ ∂p∗/∂b=−ν∗\partial p^\ast/\partial b=-\nu^\ast；f0f_0 是风险减收益，−ν∗-\nu^\ast 译作「预算 +1 元，净预期收益 +6.7%」。

下一站

到这里你已经能把一只 沪深300 增强 mandate 完整地映射成 QP / SOCP / SDP，并把对偶值翻成 PM 听得懂的「可议价边际」。但你还没真正解过这些问题——CVXPY 调的是黑盒求解器。下一模块 2.5.2「迭代与正则化方法」会打开那个盒子：内点法（interior-point method）、ADMM、proximal splitting 是怎么把 SOCP / SDP 收敛到指定精度的；当 Σ^\hat{\Sigma} 的噪声让上面这套不稳时，岭回归（ridge）、Lasso 与弹性网（elastic net）又怎么把统计估计层接回优化层。本模块给你 mandate 的语言；下一模块给你执行 mandate 的引擎。