聚合、轴与归约

周三上午十点，一家私募的研究员把上一课写好的 (252, 3) 沪深300 成分股日收益矩阵 returns 甩进 Jupyter，敲下 returns.mean()，得到一个标量 0.00042。他把这个数贴进周报，标题写「样本期内组合日均收益约 4 个基点」——这句话有问题。returns.mean() 在没有 axis 参数时会把整个矩阵展平成一维向量再取均值，等于同时把时间维和股票维一起塌掉。它既不是每只股票的日均收益（per-ticker mean），也不是每天的等权组合收益（equal-weighted portfolio return），只是个意义模糊的「全样本平均数」。这一节要解决的问题是：哪根轴塌掉，输出形状变成什么——把这条规则练到闭眼写对，这个 bug 就不会再出现。

轴的规则：axis=k 塌掉第 k 维

把 returns 看成 (T, N)：T 行表示交易日（trading day），N 列表示股票（ticker）。NumPy 的归约（reduction）操作沿哪根轴执行，决定了输出的形状：

• axis=0 —— 沿行方向塌掉，输出形状 (N,)，对应「每只股票在 T 天上的统计量」。
• axis=1 —— 沿列方向塌掉，输出形状 (T,)，对应「每天 N 只股票的横截面统计量」。
• axis=None（标量归约的默认值）—— 把所有元素一起塌掉，输出标量。

import numpy as np

returns = np.array([[0.01, -0.02, 0.005], [0.02, 0.01, -0.01], [-0.005, 0.015, 0.02], [0.008, -0.003, 0.011], [0.012, 0.004, -0.006]])

mean_per_ticker = returns.mean(axis=0)   # shape (3,)，每只股票的日均收益
mean_per_day = returns.mean(axis=1)      # shape (5,)，每天的等权组合收益
mean_overall = returns.mean()            # 标量，意义模糊

The rule is: axis=k removes dimension k from the output shape. 中文译为：axis=k 把输出的第 k 维「抽掉」。再加一个常用旋钮——keepdims=True 会把被塌掉的那一维保留为长度 1，方便后续广播（broadcasting）回去，例如 returns - returns.mean(axis=0, keepdims=True) 得到逐列去均值（demean）后的矩阵。

经典归约清单与 ddof

sum、mean、std、var、min、max 的签名都是 (axis=None, keepdims=False, ...)，沿轴行为完全一致。重点放在 ddof（degrees of freedom，自由度修正参数）：默认 ddof=0 是总体公式，分母为 N；金融工作几乎一律取样本公式，ddof=1，分母为 N−1（Bessel 修正），与 np.cov 的默认行为一致，也与 2.2 课讲的样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ 对齐。

daily_std = returns.std(axis=0, ddof=1)   # 每只股票的样本日波动率，shape (3,)

argmin / argmax 返回的是位置而非数值——returns.argmax(axis=0) 给你每只股票在 T 天里收益最高那一天的行号（行号是时间索引，具体对应哪一天要回查交易日表；本例不指定年份，数据仅示意）。一个常见的搭配用法是 returns[returns.argmax(axis=0), np.arange(N)]，借助高级索引把每列的「最佳一日」的数值取出来——这也是上一课讲过的 fancy indexing 在归约结果上的延伸。cumsum / cumprod 沿轴累积：把日对数收益（log return）拼成累计净值曲线用 np.cumsum(log_returns, axis=0)，把日简单收益（simple return）拼成财富曲线（wealth path）用 np.cumprod(1 + simple_returns, axis=0)。

simple_returns = np.array([0.01, -0.02, 0.005, 0.008, 0.012])
wealth = np.cumprod(1 + simple_returns)   # 末值即累计净值，初始 1.0

四个非归约工作马

• np.where(condition, a, b) —— 向量化三元运算（vectorized ternary）。
• np.clip(arr, lo, hi) —— 把数组取值压到 [lo, hi] 区间内，最常见的用法是缩尾（winsorize）。
• np.diff(arr, axis=0) —— 沿轴一阶差分（first difference），等价于 prices[1:] - prices[:-1]。
• np.quantile(arr, q, axis=...) —— 分位数（quantile），q 取 [0, 1]；np.percentile 是同一函数的 [0, 100] 版本，新代码统一用 np.quantile。

signal = np.where(returns > 0, 1.0, -1.0)
winsorized = np.clip(returns, -0.05, 0.05)

np.quantile(losses, 0.05) 给你每只股票 5% 分位的日收益，可作为「单行 VaR 风格摘要」（illustrative one-line summary）——这只是示例，生产级在险价值（value at risk, VaR）的方法学（参数化、历史模拟、Monte-Carlo）留给 4.4.2。缩尾切位（1/99 还是 5/95）的方法学讨论同样不在本课范围内，4.2.2 信号构建会展开。

缺失值与布尔归约

真实 A 股数据有 ​停牌​ 日和数据缺口。假设 600519.SH 在第三个交易日因故停牌，把它写成 np.nan 看会发生什么：

returns_with_gap = returns.copy()
returns_with_gap[2, 0] = np.nan
bad = returns_with_gap.mean(axis=0)            # 第 0 列变成 nan，污染整列
good = np.nanmean(returns_with_gap, axis=0)    # 跳过 nan 取均值

np.nansum、np.nanstd、np.nanvar、np.nanmin、np.nanmax、np.nanpercentile 同理。一个权衡：若一只票超过 ~20% 的天数是 NaN，应当回查数据源而不是默默 nanmean 过去——少量缺口可以容忍，结构性缺失说明上游有问题。掩码数组（np.ma）也能做同样的事，但在 2026 年的工程实践里，更通用的缺失值范式是下个模块的 Pandas DataFrame + dropna / fillna，本课不展开。布尔归约 np.any(mask, axis=...) / np.all(mask, axis=...) 用于回答「今天是否​​任一​​股票跌超 5%」 / 「这周是否​​所有​​股票都收阳」，结果分别是 (T,) 和 (N,) 形状的布尔向量。

协方差矩阵：通往下一课的桥

cov_matrix = np.cov(returns, rowvar=False)

rowvar=False 是 NumPy 最容易忘记的旋钮：np.cov 默认把​​行​​当变量，但我们的 (T, N) 收益矩阵约定​​列​​为变量（每列一只股票，T 个时间观测）。设 N = 3，则 cov_matrix 的输出形状是 (N, N) = (3, 3)，对角线即每只股票的样本方差，与 returns.var(axis=0, ddof=1) 在数值上完全一致——这就是上面强调 ddof=1 的实际理由。​​协方差矩阵​​（covariance matrix）是组合优化（portfolio optimization）与因子模型（factor model）的中心输入。如果你想要的是相关系数矩阵，把上面这行换成 np.corrcoef(returns, rowvar=False) 即可（数值上等价于把每列标准化后再算协方差）。

练习

到这里你已经能在不写循环的前提下，对一张 (T, N) 收益矩阵做出全部一阶统计量，并把 np.cov(returns, rowvar=False) 这个 (N, N) 协方差矩阵作为「下一段流水线的输入」交出去。下一课把它真正接到 np.linalg：用 np.linalg.lstsq 跑沪深300 ETF 对单只股票的 OLS 市场 β 回归，用 np.linalg.eig 对协方差矩阵做主成分分析（principal component analysis, PCA）；同时引入 np.random.default_rng(seed) 的现代生成器接口，模拟几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）的价格路径。一句话总结：先把轴的方向想清楚，再让 NumPy 替你跑那一行。