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局部波动率与随机波动率模型

1.4.4 · 波动率 · 金融与量化投资

周二早上 7:40，你坐在某家 私募 vol 自营桌前，盯着 SSE 50ETF 期权（510050）的隐含波动率（implied volatility, IV）曲面。昨夜风险系统已经把两套波动率模型校准好。第一套是 Dupire 局部波动率模型，确定性的 σloc(S,t)\sigma_{\mathrm{loc}}(S, t) 能把所有 510050 vanilla 中间价复原到 0.5 vol 点之内——日间用于盯市与隔夜盈亏归因。第二套是 Heston 随机波动率模型，五个自由参数（κ,θ,ξ,ρ,v0\kappa, \theta, \xi, \rho, v_0），校准残差均方根约 0.7 vol 点，比 Dupire 大，但你坚持用它跑明天的前向 德尔塔对冲，因为上一节里方差风险溢价（VRP）与 GARCH 风格的持续性都活在随机波动率的动力学里，确定性的 σloc\sigma_{\mathrm{loc}} 抓不到。 "用哪个模型"不是"今天谁拟合得更准"——是"谁在该出错的地方出错"。本节把这两类工业模型摆到台面，把对生产意义最重要的对照写清楚：为什么 私募 与境外做市商最终都要跑混合的 local-stochastic-vol（LSV）。

Dupire 局部波动率

起点问题：给一张无套利 call 价格曲面 C(K,T)C(K, T)——也就是上一节 SVI 或样条拟合产出的那种——是否存在标的的确定性扩散，能把每一笔 vanilla 价格都复原？Dupire（1994）的答案是是，并给了公式。设候选动力学

dStSt=(r−q) dt+σloc(St,t) dWt.\frac{dS_t}{S_t} = (r - q) \, dt + \sigma_{\mathrm{loc}}(S_t, t) \, dW_t.

函数 σloc(S,t)\sigma_{\mathrm{loc}}(S, t) 是确定性的——没有第二个布朗运动，没有随机波动率。Dupire 恒等式给出

σloc2(K,T)=∂C/∂T+(r−q)K ∂C/∂K+qC12K2 ∂2C/∂K2.\sigma_{\mathrm{loc}}^2(K, T) = \frac{\partial C/\partial T + (r - q) K \, \partial C/\partial K + qC}{\tfrac{1}{2} K^2 \, \partial^2 C/\partial K^2}.

右端只用到 call 价格曲面与其偏导。按构造，配上这个 σloc\sigma_{\mathrm{loc}} 的扩散把 510050 曲面上的每一档 vanilla 都重新定价回到输入中间价。直觉是：∂2C/∂K2\partial^2 C / \partial K^2 与执行价 KK 上的风险中性密度成正比（再次是 Breeden-Litzenberger），而局部波动率曲面把这一关系反演——给定每个 (K,T)(K, T) 上的密度，唯一一个能生成它的扩散就是该 σloc\sigma_{\mathrm{loc}}。

两个工程提示。第一，SSE 50ETF 期权挂牌执行价相对稀疏，∂2C/∂K2\partial^2 C / \partial K^2 在两翼极易被噪声击穿——小小的数值二阶导误差会把局部波动率曲面在翼端炸开。生产代码必先 SVI 平滑后再算 Dupire 比值。 中金所 沪深300 IO 的执行价更稀，做这一步几乎无法绕开 SVI 重拟合。第二，局部波动率按构造​​拟合​​今天的波动率微笑（volatility smile），但它对明天微笑的动力学预测是错的，下一节具体说。

Heston 随机波动率

随机波动率方案把方差本身做成随机过程。Heston 的两因子模型为

dStSt=(r−q) dt+vt dWtS,dvt=κ(θ−vt) dt+ξvt dWtv,\begin{aligned} \frac{dS_t}{S_t} &= (r - q) \, dt + \sqrt{v_t} \, dW_t^S, \\ dv_t &= \kappa (\theta - v_t) \, dt + \xi \sqrt{v_t} \, dW_t^v, \end{aligned}

满足 corr(dWtS,dWtv)=ρ\mathrm{corr}(dW_t^S, dW_t^v) = \rho。方差 vtv_t 服从 Cox-Ingersoll-Ross（CIR）均值回归平方根过程：以速度 κ\kappa 向长期水平 θ\theta 回归，波动率的波动率为 ξ\xi。ρ\rho 把方差冲击与现货冲击挂钩——股指上经验取负，正是 Heston 拟合微笑出现持续偏斜的原因。

每个参数对应一个微笑特征旋钮：

  • θ\theta——长期方差：决定 ATM 期限结构长端​​水平​​。
  • κ\kappa——均值回归速度：控制期限结构由短端读数衰减至 θ\theta 的快慢。
  • ξ\xi——波动率的波动率：控制微笑​​曲率​​（翼端相对 ATM 的高低）。
  • ρ\rho——现货-方差相关：控制​​偏斜​​（微笑的非对称倾斜）。
  • v0v_0——瞬时方差：决定校准日的短端 ATM 水平。

Heston 有半解析定价器（特征函数加傅立叶反演），校准很快——典型是用 Levenberg-Marquardt 对挂牌 vanilla 曲面秒级完成。Black-Scholes 模型 是退化情形（取 ξ=0\xi = 0 且 vt≡σ2v_t \equiv \sigma^2）。

SABR——利率与 FX 行业标准

Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward（2002）为掉期期权市场提出 SABR（Stochastic Alpha Beta Rho）：

dFt=αtFtβ dWtF,dαt=ν αt dWtα,\begin{aligned} dF_t &= \alpha_t F_t^\beta \, dW_t^F, \\ d\alpha_t &= \nu \, \alpha_t \, dW_t^\alpha, \end{aligned}

满足 corr(dWtF,dWtα)=ρ\mathrm{corr}(dW_t^F, dW_t^\alpha) = \rho。SABR 直接给远期 FtF_t 建模（无漂移，因其本身是远期），通过 (α,β,ρ,ν)(\alpha, \beta, \rho, \nu) 参数化，并自带一个 Black IV 的闭式渐近公式——不用积分就能定价。这套速度加形状可解释性是 SABR 成为掉期期权短端、FX OTC 台和短到期股票期权风险面板默认拟合器的原因；国内做市商在 沪深300 IO 短到期微笑上做风险报告时也常用 SABR 切片。

Heston 与 SABR 对比表

特征HestonSABR
状态变量现货 + 瞬时方差远期 + 瞬时 vol 水平
方差动力学CIR 均值回归平方根几何（无均值回归）
定价器特征函数 + 傅立叶Black-vol 渐近公式
最适场景股指/股票长端曲面利率/FX 短端微笑
校准速度每曲面秒级每切片毫秒级
均值回归有（κ\kappa）无
偏斜旋钮ρ\rhoρ\rho
曲率旋钮ξ\xiν\nu

生产环境往往两者并用：股指风险用 Heston 夜间校准长端，短端用 SABR 切片复算。

局部波动率拟今天却把明天微笑搞错

这是本节的核心对照，也是 LSV 之所以存在的理由。局部波动率模型按构造精确拟合今天的 vanilla 曲面。但模型对前向微笑（forward smile，即未来某一日 t>0t > 0 在某个现货水平条件下的 IV 微笑）的预测是错的。具体地，局部波动率的前向微笑机械地随现货平移（接近 sticky-strike 行为），与今天观察到的微笑相比明显被压平、几乎不保留偏斜，无论标的在 00 到 tt 之间走了什么路径。实证上不是这样：SSE 50ETF 期权未来三个月在标的下跌条件下的前向微笑，会保留今天看到的偏斜。随机波动率模型能复现这一点，因为 vol 本身是随机的、方差状态可以与现货同步演化；局部波动率不行。

交易层面的后果出现在奇异产品的 维加 与 vanna 对冲上。一份 barrier 在局部波动率模型下计算的 vega 是基于"前向微笑平"这一假设；实际兑付出来的前向微笑保留了偏斜，对冲随时间滚动而漏血。随机波动率模型能给出现实的前向微笑动力学，代价是不精确拟合今天的 vanilla 曲面——这意味着 Heston 报价但被 vanilla 中间价标价的奇异产品，开仓即出现一次校准盈亏。​​Local-Stochastic-Volatility（LSV）​​混合模型把两者拼起来——随机 vol 内核乘以一个局部 vol 杠杆函数——同时精确拟今天与产出现实前向动力学，代价是显著沉重的校准管线。

region-anchored 案例—— 私募 vol 台跨越业绩窗口的对冲

某 私募 vol 自营台在 SSE 上做 510050 30 天跨式期权（straddle）做市，账户附带 德尔塔对冲（delta hedging）程序。每晚重新校准 Heston，得到 κ=2.1\kappa = 2.1、θ=0.034\theta = 0.034、ξ=0.42\xi = 0.42、ρ=−0.71\rho = -0.71、v0=0.029v_0 = 0.029（与境外做市商对 SPX 曲面校准的常见数量级一致）。负的 ρ\rho 解释了日内观察到的股指偏斜；该参数也控制了不同在值度上 伽马（gamma） 谱的 vanna。Heston 定价器报告每日实现 维加（vega） 与 vanna；交易员每天把它与 Dupire 局部波动率模型的隔夜归因数交叉验证。若两者在前向 30 天 vol 上分歧超过 1 vol 点，台的规则是开盘前把仓位削减。台方不把分歧视作模型失败——而是视作单因子模型无法解决的前向 vol 不确定性信号，由此调整 T+1 风险预算。

Formula Explorer

kappa * (theta - v) + xi * sqrt(v)

这个交互演示分别展示 Heston 方差递推的确定与扩散两部分：均值回归 drift κ(θ−v)\kappa (\theta - v) 把方差拉向长期 θ\theta，扩散尺度 ξv\xi \sqrt{v} 控制方差在再平衡之间被推动的剧烈程度。

练习

Exercise

某 私募 vol 自营台对 SSE 50ETF 期权 曲面做 Heston 校准，得到 κ=2.0\kappa = 2.0、θ=0.04\theta = 0.04、ξ=0.5\xi = 0.5、ρ=−0.7\rho = -0.7、v0=0.025v_0 = 0.025。交易员希望在不改变长期 vol 水平的前提下让微笑偏斜（负向斜率）更陡，应当调整哪一个参数？

提示
Heston 里偏斜由现货-方差冲击之间的相关决定。相关更负则偏斜更陡。长期水平住在另一个参数。
提示
把 ρ\rho 调得更负，例如从 ρ=−0.7\rho = -0.7 改为 ρ=−0.85\rho = -0.85。长期水平 θ=0.04\theta = 0.04 不变，长端 ATM 保持，微笑倾斜更陡。

Exercise

用一句话说明 Dupire 局部波动率模型为何会产出不现实的前向微笑动力学，并指出随机波动率模型补上的是哪一性质。

提示
局部波动率的 σloc(S,t)\sigma_{\mathrm{loc}}(S, t) 是确定性的。想一想：相对于真实方差日复一日做的事，少了什么？
提示
局部波动率的前向微笑大致平，因为方差是 (S,t)(S, t) 的确定性函数而非随机过程；随机波动率给方差再加一条布朗冲击，方差状态因此可以与现货一起随机演化，前向微笑不再被压平。

模块收束与衔接到下一模块（capstone + bridge to next module）

把本模块的四条线索串起来作为收束：第 1 节里你把单笔市价反演为隐含波动率，第 2 节把同一个反演沿 KK 与 TT 推开到曲面并加上无静态套利约束，第 3 节把横截面的隐含侧与时间序列侧（已实现波动率、GARCH、iVX）的差缺口（VRP）量化为可交易对象，第 4 节再把"今天的曲面"与"明天的前向微笑动力学"的取舍写成 Dupire vs Heston vs SABR vs LSV 的产品级选择。一份能从 510050 的中间价、跨越曲面与时间序列、最终落到 LSV 混合校准的笔记，就是本模块要求的端到端能力。

你还做不到的是把这些校准好的动力学拿去给真正需要它们的产品定价——方差互换、cliquet、雪球、障碍期权——这要进定价引擎（有限差分 PDE、Monte Carlo、Carr-Madan FFT）与美式提前行权机制。这是模块 1.4.5 高级衍生品 的主题。之后的课程会把本节里的模型作为工作工具，推向多资产与奇异衍生品模块。