← 返回模块
F1.4.4.3beta 可读 · 未来付费校验通过内容版本 2026-05-24

已实现波动率、GARCH 与 VIX

1.4.4 · 波动率 · 金融与量化投资

周三下午 15:05，SSE 主板刚收盘。某 私募 vol 套利团队的基金经理在 T+1 结算窗口前打开两个数字。第一是当天早盘 中金所 公布的 iVX 读数：18.3。第二是 沪深300 指数过去 30 个交易日的已实现波动率，按收盘到收盘对数收益率的年化标准差算：13.8。这 4.5 个 vol 点的缺口——隐含波动率（implied volatility, IV）比已实现高出约三分之一——不是误差，是中国指数期权市场的一个长期结构。私募 vol 团队多年来一直做空这一缺口，向被动指数产品提供尾部保险并收取年金。上一节的横截面曲面告诉你市场对未来 vol 的预期；本节切到时间序列侧：标的真正兑付出来的波动率，预测它的参数模型（GARCH），预期与兑付之间的系统性缺口（方差风险溢价），以及 iVX/VIX 这一类模型无关的方差读数是什么、不是什么。

三种已实现方差估计量

固定一个长度为 nn 的标的 StS_t 观察窗口。定义对数收益率 rt=log⁡(St/St−1)r_t = \log(S_t / S_{t-1})。教科书估计量是​​收盘到收盘已实现方差​​：

RV^ncc=∑t=1nrt2.\widehat{\mathrm{RV}}^{\mathrm{cc}}_n = \sum_{t=1}^{n} r_t^2.

年化：σ^cc=(252/n)⋅RV^ncc\widehat{\sigma}^{\mathrm{cc}} = \sqrt{(252/n) \cdot \widehat{\mathrm{RV}}^{\mathrm{cc}}_n}。在 30 天的窗口上，方差很大——每天贡献一个平方项，标准误差按 σ22/n\sigma^2 \sqrt{2/n} 量级，n=30n = 30 时 σ^cc\widehat{\sigma}^{\mathrm{cc}} 的相对标准误差约 13%：真值 16% 的 vol 在样本上读出 14 到 18 都属正常。 私募 台之所以接受这个不精确性，是因为算法简单、口径清晰。

第二种是 ​Parkinson 极差估计量​​，用当日最高最低替代收盘：

RV^nP=14log⁡2∑t=1n(log⁡HtLt)2.\widehat{\mathrm{RV}}^{\mathrm{P}}_n = \frac{1}{4 \log 2} \sum_{t=1}^{n} \left( \log \frac{H_t}{L_t} \right)^2.

它利用了一个事实：日内极差比收盘单点蕴含更多信息——在布朗运动假设下大约多 4.9 倍。标准误约为收盘到收盘的 1/4.9≈0.451/\sqrt{4.9} \approx 0.45。注意：Parkinson 假设连续布朗运动且无隔夜跳空，在 SSE/SZSE 上以隔夜公告或 涨跌停 触发的跳空主导的样本里，估计量会系统性偏低。

第三种是量化台现在的主力——​​5 分钟日内已实现方差​​：

RV^nintra=∑d=1n∑ird,i2,\widehat{\mathrm{RV}}^{\mathrm{intra}}_n = \sum_{d=1}^{n} \sum_{i} r_{d, i}^2,

其中 rd,ir_{d, i} 是第 dd 天第 ii 根 5 分钟 K 线的对数收益。SSE 主板一日有 240 分钟交易（上下午），约 48 根 5 分钟 K 线（A 股有午休休市），每天贡献 48 项而非 1 项，标准误降一个量级。代价是微观结构噪声：采样越接近逐笔，平方收益里就会混入买卖一价跳动这一类与真实价格变动无关的部分。5 分钟是经验上的甜点：噪声偏差已大致衰减，而频繁采样的统计效率绝大部分被收住。

region-anchored 已实现波动率比较（沪深300 / SSE 50ETF）

估计量年化 vol（vol 点）大致相对标准误
收盘到收盘（30 个交易日）13.813%
Parkinson 极差（30 个交易日）14.16%
5 分钟日内（30 个交易日 × 48 根）13.62%

同一段 30 天窗口上的三种估计量在平静的盘面上彼此差 0.5 vol 点以内，但标准误差距六倍。一旦遇到带 涨跌停 触发或大单板块跳空的紧张盘面，收盘到收盘估计量可能偏离 5 分钟估计量两个 vol 点以上——因为某一天 3% 的跳空就把和式主导。生产环境里 私募 的 vol 风险系统实际消费的是 5 分钟估计量。

GARCH(1,1)：参数模型的工业标杆

已实现方差描述过去。下一步是预测——给定历史，明天的条件方差 σt2\sigma_t^2 是多少？参数化的主流答案是 GARCH(1,1)（Bollerslev 1986）：

σt2=ω+α rt−12+β σt−12.\sigma_t^2 = \omega + \alpha \, r_{t-1}^2 + \beta \, \sigma_{t-1}^2.

三个系数都有字面解释。ω>0\omega > 0 是基准水平：当没有新冲击、过往方差也为零时，过程回归到的方差。α≥0\alpha \ge 0 是​​新闻反应度​​：昨天平方收益对今天方差预测的贡献——α\alpha 大意味着模型对每个冲击都反应剧烈。β≥0\beta \ge 0 是​​持续性​​：昨天方差残留进今天的多少——β\beta 大意味着冲击退得慢。平稳条件是 α+β<1\alpha + \beta < 1，此时​​无条件方差​ ω/(1−α−β)\omega/(1 - \alpha - \beta) 是过程长期均值。

在 沪深300 日度收益序列上拟合 5 年，常见结果是 ω≈1.3×10−6\omega \approx 1.3 \times 10^{-6}、α≈0.08\alpha \approx 0.08、β≈0.90\beta \approx 0.90。两者之和 0.98 接近但低于 1——高度持续，缓慢均值回归，冲击半衰期约 33 个交易日。这就是简单的等权收盘到收盘估计量看不到的实证模式：方差高度持续，不是 i.i.d.。

方差风险溢价——隐含减已实现

把两侧连起来。对每个历史日 tt，计算当天 iVX 的 30 天读数与随后 30 天的已实现 vol。多年平均后的缺口就是​​方差风险溢价​​（variance risk premium, VRP）：

VRPt=σIV,t2−σ^RV,t→t+302.\mathrm{VRP}_t = \sigma_{\mathrm{IV}, t}^2 - \widehat{\sigma}_{\mathrm{RV}, t \to t+30}^2.

在 沪深300 指数 2018 年至今的样本里，VRP 平均约 5 个 vol 平方点（折成 vol 大致是 IV 比 RV 高 2 到 4 个点）。这就是资产所有人为尾部保险付给期权卖方的费率，对应做空 vol 一侧的正期望收益。两个重要注意。第一，符号在压力期会翻转——2024 年某季度的极端行情里，已实现 vol 一度反超 iVX。第二，平均为正不等于交易无风险：境内 私募 短 vol 组合的最大单日回撤几乎全部发生在符号翻转那几天。iVX 的历史比 VIX 短得多，流动性也薄——结论的稳健性要打折扣。

iVX / VIX：模型无关的 30 天方差读数

中金所 在 沪深300 IO 上发布的 iVX 与境外同类指数（沿用 2003 年方法论的 SPX 派生指数）的构造逻辑相似：用一组 OOM 沪深300 期权的中间价，按 1/K21/K^2 加权积分：

σiVX2≈2T∑iΔKiKi2erTQ(Ki),\sigma_{\mathrm{iVX}}^2 \approx \frac{2}{T} \sum_i \frac{\Delta K_i}{K_i^2} e^{rT} Q(K_i),

Q(Ki)Q(K_i) 是执行价 KiK_i 上的 OOM 期权中间价，ΔKi\Delta K_i 是执行价间隔。1/K21/K^2 权重的数学理由：对 call 价格曲面的这一积分等于 log-方差在风险中性测度下的期望，无需任何特定动态假设——既不要 Black-Scholes 模型，也不要拟合微笑这一步。两个直接推论。第一，iVX 度量的是风险中性预期方差，不是物理测度下的预测——两者之间的差就是 VRP。第二，构造在连续执行价下精确，离散挂牌链会引入小的截断偏差，方法论上会在翼端做相应修正。

GARCH 递推与 iVX 的对照

对象度量什么相对已实现的偏向
GARCH(1,1) 30 天预测物理测度条件方差平均近似无偏
中金所 iVX 30 天指数风险中性预期方差正向偏高——VRP
5 分钟已实现方差（滞后）事后真值构造意义上的基准

GARCH 与 iVX 在同一早晨给出的数字不同，是按设计就如此的：GARCH 是无偏预测，iVX 是保险价格。iVX 对 沪深300 IO 翼端价格的敏感度，是单笔期权 维加（vega）在指数层面的对应——当翼端的 OOM 价格整体抬升，iVX 按构造同步抬升。

Formula Explorer

omega + alpha * r2 + beta * sigma2

这个交互演示走 GARCH(1,1) 的单步递推。调节 ω\omega、α\alpha、β\beta，再扫过历史的 r2r^2 与 σ2\sigma^2，可以观察下一日方差预测如何被推动。持续性 β\beta 控制序列遗忘一次冲击的速度；新闻反应度 α\alpha 控制每个新收益对预测的拨动力度。

练习

Exercise

沪深300 30 天滚动收盘到收盘已实现 vol 读出 15.0（年化 vol 点，即百分数）。同一 30 天窗口的 iVX 平均为 18.5。计算这一段的方差风险溢价（VRP，以 vol 平方点表示，约定 vol 平方点 =(σ%)2= (\sigma\%)^2）。

提示
VRP=σIV2−σRV2\mathrm{VRP} = \sigma_{\mathrm{IV}}^2 - \sigma_{\mathrm{RV}}^2。把 vol 保留在百分点单位下做平方，不要先换成小数。
提示
按百分点单位：18.52=342.2518.5^2 = 342.25、15.02=225.015.0^2 = 225.0。VRP =342.25−225.0=117.25= 342.25 - 225.0 = 117.25 vol 平方点。隐含比已实现高——这是 沪深300 链上的常见符号。

Exercise

沪深300 日度收益序列上的 GARCH(1,1) 拟合给出 ω=1.4×10−6\omega = 1.4 \times 10^{-6}、α=0.07\alpha = 0.07、β=0.92\beta = 0.92。判断该过程是否平稳，并计算长期无条件年化 vol。

提示
平稳条件 α+β<1\alpha + \beta < 1。长期方差 σ∞2=ω/(1−α−β)\sigma_\infty^2 = \omega/(1 - \alpha - \beta)。日度数据年化乘 252\sqrt{252}。
提示
α+β=0.99<1\alpha + \beta = 0.99 < 1，平稳。σ∞2=1.4×10−6/0.01=1.4×10−4\sigma_\infty^2 = 1.4 \times 10^{-6}/0.01 = 1.4 \times 10^{-4} 每日，σ∞=0.0118\sigma_\infty = 0.0118 每日，年化 σ∞252≈0.188\sigma_\infty \sqrt{252} \approx 0.188——约 18.8%，与 沪深300 长期已实现 vol 相符。

衔接到下一节（bridge to next lesson）

到此你能用三种方法算已实现方差并说明 5 分钟日内估计量为何是当前主力；写出 GARCH(1,1) 递推并把 ω、α、β\omega、\alpha、\beta 解读为基准、反应度、持续性；以 vol 平方点量化 中金所 iVX 与 沪深300 已实现方差之间的系统性缺口；并把 iVX/VIX 视作一条由 OOM 期权按 1/K21/K^2 加权构造的免模型风险中性方差读数。还没做到的是搭建一个动力学同时生成上一节的横截面曲面与本节的时间序列规律的定价模型。这正是下一节的转折：局部波动率模型（Dupire 1994）用确定性 σloc(S,t)\sigma_{\mathrm{loc}}(S, t) 精确拟合今天的曲面；随机波动率模型（Heston、SABR）让 σ\sigma 本身成为与现货相关的随机过程，能产出现实的前向微笑动力学，但放弃了对今天 vanilla 价格的精确拟合。