用 SciPy 做假设检验与置信区间

周五下午两点半，浦东陆家嘴一家中型私募的风控会上，PM 把昨晚跑出来的 tear-sheet 推过来：「食品饮料这只 600519.SH 的 63 日滚动 ​夏普比率​​（Sharpe ratio）样本期均值是 0.86，银行那两只 000001.SZ 和 600036.SH 是 0.42。0.44 的差，可信吗？」你脑子里第一反应是 3.2.2 L5 那条管道吐出的两条 sharpe_63d 序列——但「均值差 0.44」和「均值差显著不为 0」是两件事。L1 已经教会你把 scipy.stats 的分布对象、.fit() 与描述性统计当一套统一接口来用；本课接着上来，把同一个 scipy.stats 当成第二件工具：一组假设检验（hypothesis test）函数加一个 bootstrap 置信区间，给出可写进会议纪要、能在风控签字栏边上守得住的判定句。

一、最小起点：单样本 t 检验

把问题拍简单：手头一条 252 个交易日的日收益数组 returns（沪深300 ETF 510300.SH 在 2024 年的样本），问「这只 ETF 的总体日均收益是否显著不为 0？」零假设（null hypothesis, H₀）写作 $H_0: \mu = 0$，备择（alternative hypothesis, H₁）写 $H_1: \mu \neq 0$，双侧。SciPy 的反射动作只有四行：

import scipy.stats as st
result = st.ttest_1samp(returns, popmean=0.0)
t_stat, p_value = result.statistic, result.pvalue
reject_null = p_value < 0.05

返回值是命名元组（named tuple）。.statistic 是 t 统计量 $t = (\bar r - \mu_0) / (s / \sqrt N)$，.pvalue 是在 $N - 1$ 个自由度的 t 分布上、双侧累积尾部面积。决策规则：在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，若 p_value < 0.05 就拒绝 H₀。承重假设是 i.i.d. 样本——日收益弱相关近似成立，但厚尾会把方差估计推高，使检验偏保守；这正是 ​中心极限定理​​（central limit theorem）给出的「近似有效」的保护伞，也是后面用 Mann-Whitney U 与 bootstrap 反复交叉印证的根本原因。

二、双样本 t 检验与 Mann-Whitney

回到开场那道题。把 sharpe_63d 在两个行业上的子序列分别叫 s_a（食品饮料：600519.SH）与 s_b（银行：000001.SZ 与 600036.SH 拼接）：

result = st.ttest_ind(s_a, s_b, equal_var=False)
mw_result = st.mannwhitneyu(s_a, s_b, alternative='two-sided')

equal_var=False 把检验切换成 Welch's t-test（韦尔奇 t 检验）：不假设两组方差相等。这是 finance 数据的安全默认——同一只票不同时期的波动率都未必相等，更不必说两个行业。零假设 $H_0: \mu_a = \mu_b$。mannwhitneyu 是它的非参数表兄：比较的是秩（rank）而非均值，因此不依赖正态性，检验「两个分布是否相等」——在金融语境下与「两个均值是否相等」近似可换用。经验法则：两个 p 值同时报告，​​若两者结论相反，相信非参数那个​​——说明 Gaussian 假设正在做主要工作。alternative='two-sided' 显式声明双侧；不要在量化数据上沿用 equal_var=True 的默认。

注意一道承重的告警，第五节会兑现：「Rolling-Sharpe series with a 63-day window are heavily autocorrelated (consecutive days share 62 of 63 observations); the t-test's effective sample size is far below the nominal N, the test will overstate significance, and the bootstrap CI on the difference of point-estimate Sharpes is the safer cross-check.」翻译过来：63 日窗口的滚动 Sharpe 在相邻两天共享 62 of 63 个观测，t 检验的有效样本量远低于名义 N，检验会高估显著性，bootstrap CI 落在点估计 Sharpe 之差上才是更稳的交叉验证。

配对 t 检验 st.ttest_rel(before, after) 用于同一组前后两次测量——例如同一组 ticker 在风控模型变更前后的组合 Sharpe；这里仅指名，不作为本课主线。

三、正态性检验：Jarque-Bera 与 KS

在套用 t 检验或正态 VaR 之前，应当先问一句：这条收益序列本身像不像正态？SciPy 里两件趁手工具：

jb = st.jarque_bera(returns)
ks = st.kstest(returns, 'norm', args=(mu_n, sigma_n))

jarque_bera（雅克-贝拉检验）基于偏度（skewness）与超额峰度（excess kurtosis），对厚尾敏感，是量化金融最常用的正态性检验——它恰好刺中 VaR 模型里最容易漏算的那一段。kstest（柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验）是更通用的拟合优度检验（goodness-of-fit）：可对任何完整指定的分布做检验，这里 (mu_n, sigma_n) 来自 L1 的 norm.fit(returns)。两者的零假设都是「数据来自所设分布」。但要小心解读：N = 252 时正态性检验​​功效低​​，难以拒绝小偏离；N = 10000 时反过来——任何微小偏离都被拒绝，纵使经济意义可忽略。配一张 Q-Q 图做眼睛级体检往往比 p 值更诚实。Shapiro-Wilk（夏皮罗-威尔克检验，st.shapiro）对小样本最强，N ≤ 5000；超过该规模时改回 jarque_bera。

四、多重比较陷阱

量化研究里最常踩的坑：在因子库里跑 50 个独立 t 检验、每个 $\alpha = 0.05$。即便 50 条零假设全为真，期望误报数也已经是 2.5。这条规则要原文记牢——Running k independent tests at α=0.05 gives expected false positives ≈ k × 0.05; Bonferroni rejects only when p_i < α / k; Benjamini-Hochberg controls the false discovery rate via from statsmodels.stats.multitest import multipletests; rejected, pvals_corr, _, _ = multipletests(pvals, alpha=0.05, method="fdr_bh")。两条校正路线：邦费罗尼（Bonferroni）控制家族错误率（family-wise error rate），简单但保守；Benjamini-Hochberg 控制假发现率（false discovery rate, FDR），是因子研究里的行业默认，因为它在数十至数百条因子的同时检验下保留更多功效。生产 API 是 statsmodels.stats.multitest.multipletests，本课点名 "fdr_bh" 是行业默认；真正在因子库里跑起来，是 4.2.3 信号评估与组合那一节的事。

五、Bootstrap 置信区间

上面的 t 检验是「在零假设成立时数据有多极端」的尺子；bootstrap 给出的是另一类答案——「点估计本身的不确定区间」。scipy.stats.bootstrap 是非参数置信区间（confidence interval, CI）的主力：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(seed=42)
sharpe_fn = lambda r: r.mean() / r.std(ddof=1) * np.sqrt(252)
result = st.bootstrap((returns,), statistic=sharpe_fn, n_resamples=10000, confidence_level=0.95, method='BCa', random_state=rng)
ci_low, ci_high = result.confidence_interval

几件事说清。数据参数是​​元组​ (returns,)——这让同一 API 同时支持单样本、配对、多样本；statistic= 接收任何返回标量的函数；n_resamples=10000 是社区默认起步规模；method='BCa'（bias-corrected accelerated, 偏差校正-加速）是 canonical 选择——它对统计量的偏差与加速做了二阶校正，比 'percentile' 准、比 'basic' 现代。random_state=rng 沿用 3.2.1 L3 的 seeded-generator 模式，写回归测试时这套结果可复现。

为何把 bootstrap CI 当成 Sharpe 显著性的判定工具？因为 Sharpe 估计量在有限样本下并不服从高斯分布（收益有偏度时它本身就偏），sharpe_hat ± 1.96 * SE 那一行高斯 CI 只在大样本无偏度时才正确。Bootstrap 不对采样分布作任何参数假设，95% CI 若不包含 0，就在 5% 水平上拒绝「真 Sharpe 为 0」的零假设。同样的报告方式适用于 ​最大回撤​​（max drawdown）这类样本均值之外的统计量——它的采样分布更斜，bootstrap CI 是几乎唯一能放心上报的写法。

六、回到开场：双 Sharpe 差异判定

把开场那道题真正答完。把同一篮子分成 returns_a（食品饮料：600519.SH 日收益）与 returns_b（银行：000001.SZ 与 600036.SH 日收益拼接），跑差值的 BCa bootstrap：

result_diff = st.bootstrap((returns_a, returns_b), statistic=lambda a, b: sharpe_fn(a) - sharpe_fn(b), n_resamples=10000, confidence_level=0.95, method='BCa', random_state=rng)

这一句把第二节末尾「t 检验高估显著性」的告警一次性化解：sharpe_fn(a) - sharpe_fn(b) 是两段非重叠收益样本上​​点估计 Sharpe 的差​​——没有 63 日窗口的人造自相关，bootstrap 重采样从原始 i.i.d. 假设出发；得到的 95% CI 若不包含 0，则两个行业 Sharpe 在 5% 水平上显著不同。把这条 CI 与第二节里 t 检验的 (t_stat, p_value)、Mann-Whitney 的 (U, p_mw) 一起写进会议纪要——风控对 0.44 的差距才有真正可签字的判断。需要提醒：本例中食品饮料只有一只 ticker，是教学化样本，不构成研究级结论；同一套代码套到 30 只票的篮子上才是研究台真用的形式，标准的「在你自己的票池上跑一遍」是首选迭代方式。

还需点出一处工程上的边界：本课所有检验都假设 i.i.d. 样本。A 股有春节、国庆两段长假，把样本期切断成不连续段；SSE 的 T+1 结算与涨跌停板并不改变检验的统计性质，但会改变可成交收益序列——returns 该用收盘价对数收益还是可成交价收益，是数据合约层面的决定，不属于本课范畴。时间序列特有的平稳性与协整检验（ADF / KPSS / Engle-Granger）见 2.3.1，本课不涉。Bayesian 视角的可信区间（credible interval）以及排列检验（permutation test，scipy.stats.permutation_test）作为替代路线被点名；同样不在本课练习内。

下一课接力

到这里你能在两条收益序列上交付完整的判定：t 检验给出快速的「数值是否在噪音里」、Mann-Whitney 给出无分布假设的交叉验证、bootstrap CI 给出可写进风控报告的不确定区间。L3 面对的是一道更精细的问题：把 600519.SH 的日收益回归到 510300.SH（市场代理）的日收益上，​​回归斜率​​（即 beta）是否显著不等于一个假设值（如 1.0）？这需要的不是「均值差检验」而是「带标准误的 OLS」——scipy.stats.linregress 把斜率、截距、标准误、p 值一次返回，是 L3 的主线。

练习