scipy.stats 分布对象与描述性统计

周一上午十点，你坐在一家中型私募的研究台。3.2.2 收尾那张 tear-sheet 昨晚跑完了，落到磁盘的中间产物里有一行 returns = (closes['510300.SH'].pct_change().dropna()).to_numpy()——一根长度 252 的 np.ndarray，是沪深300 ETF（510300.SH）在 2024 年的日简单收益。PM 把咖啡放下，砸出四个问题：(1) 这只 ETF 的 5% 一边在险价值（value at risk, VaR）是多少？(2) 拿正态分布（Gaussian distribution）当近似还过得去吗，还是必须切到学生 t 分布？(3) 偏度（skewness）和超额峰度（excess kurtosis）落在什么区间？(4) 想给隔夜压力测试造一条同分布的合成路径，怎么造？四个问题在 scipy.stats 里都是一行。一行能成立，是因为 SciPy 把每一种分布都收进了同一套对象接口；这一课讲这套接口，以及它在「拟合 + 描述性统计」上的两块直接落地。

一、分布对象的统一接口

scipy.stats 里的每一个分布——norm、t、lognorm、chi2、f——既能「不冻结」直接调函数，也能「冻结」成对象反复用。冻结的写法把参数绑在对象上，避免每次调用都重传一遍 loc、scale：

import scipy.stats as st
d = st.norm(loc=0.0, scale=1.0)
d.pdf(0.0)
d.cdf(1.96)
d.ppf(0.975)
d.sf(1.96)

四个方法是每一个连续分布都支持的：.pdf(x) 是 ​概率密度函数​​（probability density function, PDF）在 $x$ 处的取值（离散分布的对应物叫 .pmf，本课不展开）；.cdf(x) 是 ​累积分布函数​​（cumulative distribution function, CDF），即 $P(X \leq x)$；.ppf(q) 是 ​百分位函数​​（percent point function, PPF），即 CDF 的反函数，返回使 $P(X \leq x) = q$ 成立的那个 $x$——这是后面 VaR 一行的承重件；.sf(x) 是 ​生存函数​​（survival function）$1 - \mathrm{CDF}(x)$，在尾部远离零的位置比 1 - d.cdf(x) 在数值上更稳。再加两个会用到的：.rvs(size, random_state=...) 抽样（务必显式传一个 NumPy Generator 对象，对齐 3.2.1 L3 的可复现规则），.fit(data) 对样本做 ​极大似然估计​​（maximum likelihood estimation, MLE），返回该分布参数的点估计元组。

二、五个量化最常用的分布

把 norm 换成其它分布，上述六个方法签名整体不变——这就是「统一接口」的现金价值。五个分布在量化场景里出场最频繁：

• ​正态分布​​（Gaussian distribution，又称高斯分布）norm：渐近正态性论证与 t 检验零分布的默认参照；参数 loc=mean, scale=std。
• ​学生 t 分布​​（Student's t distribution）t：正态分布的厚尾表亲；参数 df 是 ​自由度​​（degrees of freedom，量化文献常写作 $\nu$），可选 loc、scale。$\nu \to \infty$ 时退化成正态；$\nu < 30$ 尾部已明显加厚；$\nu < 6$ 时拿正态当近似就不安全。
• ​对数正态分布​​（log-normal distribution）lognorm：当 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 时 $\exp(X)$ 的分布，也就是 GBM 模拟出来的价格在任一固定时刻的边际分布。​**​SciPy 的参数化是 s=sigma、scale=exp(mu)**​——这是一处出名的记号陷阱，第一次写一定要回去翻 docstring。
• ​卡方分布​​（chi-squared distribution）chi2：方差比、似然比类检验统计量的零分布，参数 df。
• ​F 分布​​（F-distribution）f：两个独立方差估计比值的零分布，参数 dfn, dfd；L3 的 F 检验脚注会引用它。

五个分布的「目录学」到此打住——本课承重在统一接口，不在分布大全。

三、把分布拟合到日收益样本

回到那根 252 长的 returns。对正态与 t 各做一次 MLE：

mu_n, sigma_n = st.norm.fit(returns)
nu_t, mu_t, sigma_t = st.t.fit(returns)
assert nu_t > 0

st.norm.fit 返回 (loc, scale)；st.t.fit 返回 (df, loc, scale)——返回元组的顺序逐分布不同，写一处就对照一次 docstring 的习惯比记忆可靠。在 510300.SH 这条 252 天的样本上，落地数值大致是 $\mu_n \approx 0.0001$、$\sigma_n \approx 0.011$、$\nu_t \approx 4.5$——这里只取一组示意值用于教学，并不主张匹配任一具体年份。承重诊断一句话：如果 t 拟合得到 nu_t < 6，那么正态假设在尾部就不安全，下游计算应当用 L2 的 bootstrap 置信区间或一个 t 尾模型再交叉验证一遍。nu_t ≈ 4.5 显然过线，提示 PM 别在尾部信任正态。

.fit() 在干什么？它在数值上求解 $\max_{\theta} \sum_i \log \mathrm{pdf}(x_i; \theta)$——这就是 MLE，是 Subject 2.2.1（estimator-properties-bias-variance-and-information）整门课的对象。本课把 .fit() 当成黑盒工具：一次方法调用拿一组点估计；MLE 的相合性、渐近正态性、Fisher 信息矩阵、Cramér-Rao 下界这些理论证明都在 2.2.1 那一节，本课不动手。

四、参数化 VaR 一行落地

拿到 $(\mu_n, \sigma_n)$，5% 一边参数化 VaR 就是一行：

var_5 = -st.norm.ppf(0.05, loc=mu_n, scale=sigma_n)

负号是约定：VaR 习惯写成正数损失，所以把 5% 分位（一个负收益）取反。把 st.norm.ppf 换成 st.t(df=nu_t, loc=mu_t, scale=sigma_t).ppf(0.05) 再取反，就是 t 分布参数化 VaR；同等波动下 t 的左尾更胖，t-VaR 在数值上比正态 VaR 更大。VaR 还有两条做法——​​历史 VaR​​（直接 np.percentile(returns, 5)，不做分布拟合）和 ​Monte-Carlo VaR​​（用 .rvs() 模拟一条长路径再取分位）——这里点名，不展开；本课只跑参数化这条。

五、描述性统计四件套

回收第三个问题。scipy.stats.describe 一次把四个中心矩拿齐：

desc = st.describe(returns)
nobs, (rmin, rmax), mean, variance, skewness, kurtosis = desc

返回的是一个 DescribeResult named tuple，按顺序解包即可。两条约定开关每次都要看清楚：在 fisher=True 下 SciPy 报的是超额峰度（kurtosis − 3，正态分布取 0）；在 bias=False 下方差 / 偏度 / 峰度的估计量都做无偏修正（除以 N−1）；两者都是 SciPy 的默认值，也是本课统一采用的口径。两个默认刚好都对，但生产代码里建议把这两个关键字显式写出来，避免下游同事踩坑。

经验区间口径：A 股日收益的偏度落在 [-0.3, +0.3] 大致可视为近似对称；超额峰度在 [3, 8] 是日级权益收益的典型区间（厚于正态但还不算极端）；超额峰度过 10 通常意味着样本里混了少量极端跳跃——先一根一根查清楚再做后续建模。

把整批收益 z 化是同一行：zs = st.zscore(returns) 返回 $(x - \bar{x}) / s$。应用到 (T, N) 矩阵时要写 axis=0, ddof=1：axis 决定按时间还是按截面去中心化，ddof 决定与 describe 的 bias=False 是否口径一致。

六、肉眼校验与本课不做的事

可视化不是本课承重，但留两个指针：plt.hist(returns, bins=30, density=True) 叠一条 plt.plot(grid, st.norm.pdf(grid, loc=mu_n, scale=sigma_n)) 是日常的「眼测」；正式的图形化检查是 st.probplot(returns, dist='norm', plot=plt) 出的 QQ 图。两件事都在 matplotlib 那条线上，本课只点名，不动手。多元情形下，单变量的方差拟合换成 ​协方差矩阵​​（covariance matrix）拟合，那是 L4 把 df.cov() 喂给 scipy.linalg.eigh 的入口；本课只到一元。

显式拒绝：假设检验（ttest_1samp / kstest / shapiro / jarque_bera）、p 值、自助法置信区间是下一课 L2 的承重；回归（linregress / curve_fit）是 L3；约束优化、对称特征分解、数值积分是 L4。本课交付的是「拿到一根 returns，能在五分钟内给出一组点估计、一个 VaR 数字、一份描述性统计、外加一句尾部诊断」——拿这套点估计去跑 L2 的检验，是下一步要做的事。

练习