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非对称与多元 GARCH

2.3.2 · 波动率与机制转换模型 · 数学与统计能力

周五下午两点,沪深300 当日累计跌幅已经放大到 2.8%、还在加速。你在一家中型私募(private fund)做日内风险报表,上周用对称 GARCH(1, 1) 给组合估的次日条件方差,在过去三次类似的放量下跌之后,滚动校准里都低估了实际 realised vol 将近 30%——而向上的同尺度日子,模型反而略偏高。问题不在样本,也不在 ztz_t 是否服从正态分布(Gaussian distribution),而出在模型递推本身:它先把 εt−1\varepsilon_{t-1} 平方,符号信息整条丢掉了。本课的任务有两件——先把符号信息塞回单变量(EGARCH 与 GJR-GARCH),再把单资产的方差升级为 kk 资产组合的协方差矩阵(covariance matrix)版本(BEKK、CCC、DCC)。

1. 杠杆效应:对称 GARCH 漏掉了什么

Black (1976) 与 Christie (1982) 给出的机制解释是:股价下跌使公司净资产相对负债比被动收缩,杠杆(leverage)被放大,股权波动也随之放大——所谓杠杆效应(leverage effect)。这一机制是否唯一正确尚有争议,但​​实证规律本身极稳健​​:在绝大多数股指日收益上,−1σ-1\sigma 量级的负向冲击对次日条件方差的推升,显著高于 +1σ+1\sigma 的正向同尺度冲击。对称 GARCH(1, 1) 的递推 σt2=ω+α εt−12+β σt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2 只通过 εt−12\varepsilon_{t-1}^2 接收过去信息,εt−1\varepsilon_{t-1} 的符号在平方那一步被完全抹掉。要把符号塞回去,文献给了两条主流参数化。

2. EGARCH(1, 1):对数方差递推

Nelson (1991) 把递推搬到对数条件方差上。记标准化创新 zt=εt/σtz_t = \varepsilon_t / \sigma_t,EGARCH(1, 1) 写作

log⁡σt2=ω+β log⁡σt−12+α zt−1+γ (∣zt−1∣−E∣zt−1∣).\log\sigma_t^2 = \omega + \beta\,\log\sigma_{t-1}^2 + \alpha\,z_{t-1} + \gamma\,(|z_{t-1}| - E|z_{t-1}|).

在 Gaussian 创新下 E∣zt∣=2/πE|z_t| = \sqrt{2/\pi}——这个常数把冲击函数 g(z)=αz+γ (∣z∣−E∣z∣)g(z) = \alpha z + \gamma\,(|z| - E|z|) 中的幅度项中心化到零均值。gg 拆成两半:αz\alpha z 是​​符号项​​,把过去冲击的方向塞进 log⁡σt2\log\sigma_t^2;γ (∣z∣−E∣z∣)\gamma\,(|z| - E|z|) 是​​幅度偏离项​​,只看 ∣z∣|z| 相对其期望的偏离。这一参数化有两件结构性好事:

  1. σt2=exp⁡(log⁡σt2)>0\sigma_t^2 = \exp(\log\sigma_t^2) > 0 自动成立,​​无须​​对 (ω,α,γ,β)(\omega, \alpha, \gamma, \beta) 强加正性约束,数值优化更省心;
  2. 权益市场上 α\alpha 通常显著为负,意味着 zt−1<0z_{t-1} < 0 比同尺度的 zt−1>0z_{t-1} > 0 把 log⁡σt2\log\sigma_t^2 推得更高——这正是杠杆效应的代数体现。

弱平稳条件简单:AR(1) 块满足 ∣β∣<1|\beta| < 1,pp 阶推广为 ∑j=1pβj<1\sum_{j=1}^{p}\beta_j < 1。这一条件等价于把 log⁡σt2\log\sigma_t^2 看作 AR(p) 时其特征多项式的根位于单位圆外——它不约束 α,γ\alpha, \gamma 的取值,因为这两项在对数尺度上只贡献有界的冲击项 g(zt−1)g(z_{t-1}),不影响特征根。

3. GJR-GARCH(1, 1):层级模型与信息冲击曲线

Glosten-Jagannathan-Runkle (1993) 给出更接近经典 GARCH 形态的层级(level-form)写法:

σt2=ω+α εt−12+γ εt−12 1{εt−1<0}+β σt−12,\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\,\varepsilon_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\} + \beta\,\sigma_{t-1}^2,

正性约束为 ω>0\omega > 0、α≥0\alpha \geq 0、α+γ≥0\alpha + \gamma \geq 0、β≥0\beta \geq 0,弱平稳条件(下一节推导)为 α+γ/2+β<1\alpha + \gamma/2 + \beta < 1。γ>0\gamma > 0 即​​杠杆参数​​:一次 −ξ-\xi 量级冲击的贡献是 (α+γ)ξ2(\alpha + \gamma)\xi^2,一次 +ξ+\xi 的贡献只有 αξ2\alpha\xi^2,差额 γξ2\gamma\xi^2 就是非对称性的代数指纹。

把 σt2\sigma_t^2 作为 εt−1\varepsilon_{t-1} 的函数、固定 σt−12\sigma_{t-1}^2 在无条件方差,就得到 Pagan-Schwert (1990) 的​​信息冲击曲线​​(news-impact curve, NIC):对称 GARCH 的 NIC 是一条以原点为顶点的对称抛物线;GJR-GARCH 的 NIC 是两段半抛物线,在 εt−1=0\varepsilon_{t-1} = 0 处出现折点、左半边斜率 α+γ\alpha + \gamma 严格大于右半边斜率 α\alpha;EGARCH 的 NIC 是 exp⁡(⋅)\exp(\cdot) 形态,严格凸且左右斜率非对称。NIC 是对比三类模型最直接的视觉工具。下面这个 FormulaExplorer 让你拉动 (ω,α,γ,β,sigma2_prev)(\omega, \alpha, \gamma, \beta, \text{sigma2\_prev}) 的滑块,直接观察 GJR 的 NIC 在折点两侧的斜率差异:

Formula Explorer

omega + (alpha + gamma * (x < 0)) * x^2 + beta * sigma2_prev

4. 无条件方差的推导

对 GJR-GARCH(1, 1) 的递推两边取无条件期望——假设过程已经弱平稳,记 V=E[σt2]=E[εt2]V = E[\sigma_t^2] = E[\varepsilon_t^2] 与 tt 无关。三步:

  1. 由全期望公式 E[εt−12]=E[σt−12 zt−12]=V⋅E[zt−12]=VE[\varepsilon_{t-1}^2] = E[\sigma_{t-1}^2\,z_{t-1}^2] = V \cdot E[z_{t-1}^2] = V,因为 E[zt2]=1E[z_t^2] = 1;
  2. 创新 zt−1z_{t-1} 关于零对称、且与 Ft−2\mathcal{F}_{t-2}-可测的 σt−12\sigma_{t-1}^2 独立,故 E[εt−12 1{εt−1<0}]=E[σt−12] E[zt−12 1{zt−1<0}]=V⋅12E[zt−12]=V2;E[\varepsilon_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\}] = E[\sigma_{t-1}^2]\,E[z_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{z_{t-1} < 0\}] = V \cdot \tfrac{1}{2}E[z_{t-1}^2] = \tfrac{V}{2};
  3. 代回递推得 V=ω+αV+γ⋅V2+βVV = \omega + \alpha V + \gamma \cdot \tfrac{V}{2} + \beta V,解出 Var(εt)=V=ω1−α−γ/2−β.\mathrm{Var}(\varepsilon_t) = V = \frac{\omega}{1 - \alpha - \gamma/2 - \beta}.

弱平稳与正无条件方差同时要求 α+γ/2+β<1\alpha + \gamma/2 + \beta < 1,这就是 GJR-GARCH(1, 1) 的稳定区。α+γ/2+β=1\alpha + \gamma/2 + \beta = 1 是非对称版的 IGARCH 边界;长记忆推广(FIGARCH、HYGARCH)只在此点名,完整推导见 Tsay 第 3.13 节。

5. 估计:QML 与三明治标准误

EGARCH 与 GJR-GARCH 完全继承上一课的极大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)框架:在条件正态假设下写出对数似然,即便真实 ztz_t 是 Student-t 或有偏 t,这一估计仍按 Bollerslev-Wooldridge 的拟极大似然(quasi-MLE, QML)解读,标准误用三明治形式。一元的对数似然形式与上一课同型,只把 σt2(θ)\sigma_t^2(\theta) 替换为当前模型递推;参数维度也只多一个杠杆项,样本量没增加多少边际负担。数值上 EGARCH 因无须正性约束更省心,梯度近乎处处可微;GJR 优化器需要在约束面 α+γ≥0\alpha + \gamma \geq 0 上维护可行性,通常以参数重参数化或带屏障的内点法处理。若多元创新出现联合厚尾,常见修正是把多元正态似然换成多元 Student-t,本课不展开。

6. 多元 GARCH:从 HtH_t 到 DCC

把视角换到 kk 资产组合。条件均值残差 εt=rt−μt\varepsilon_t = r_t - \mu_t,条件协方差矩阵

Ht=E[εtεt⊤∣Ft−1].H_t = E[\varepsilon_t\varepsilon_t^\top \mid \mathcal{F}_{t-1}].

仅给每只资产单独跑一元 GARCH 不够——组合 VaR、跟踪误差、最优对冲比都需要完整的 HtH_t。维度诅咒来得很快:vech(Ht)\mathrm{vech}(H_t) 长 k(k+1)/2k(k + 1)/2,朴素 VEC(1, 1) 参数量 O(k4)O(k^4),k>3k > 3 即不可行。三种工程化方案如下。

(a) BEKK(Engle-Kroner 1995):

Ht=CC⊤+A εt−1εt−1⊤A⊤+B Ht−1 B⊤,H_t = CC^\top + A\,\varepsilon_{t-1}\varepsilon_{t-1}^\top A^\top + B\,H_{t-1}\,B^\top,

其中 C,A,BC, A, B 均为 k×kk \times k 矩阵。二次型构造直接保证 HtH_t 半正定,无须额外正性约束;参数量降到 O(k2)O(k^2),实务中常用 A,BA, B 对角的简化形式以进一步压缩。

​(b) CCC​​(Bollerslev 1990)与 ​(c) DCC​​(Engle 2002):共享同一分解,但相关性矩阵的处理不同:

Ht=DtRtDt,Qt=(1−a−b) Qˉ+a ut−1ut−1⊤+b Qt−1,Rt=(Qt∗)−1/2 Qt (Qt∗)−1/2,H_t = D_t R_t D_t, \quad Q_t = (1 - a - b)\,\bar{Q} + a\,u_{t-1} u_{t-1}^\top + b\,Q_{t-1}, \quad R_t = (Q_t^*)^{-1/2}\,Q_t\,(Q_t^*)^{-1/2},

其中 Dt=diag(σ1,t,…,σk,t)D_t = \mathrm{diag}(\sigma_{1, t}, \dots, \sigma_{k, t}) 来自 kk 个独立的一元 GARCH(1, 1) 拟合,ut=Dt−1εtu_t = D_t^{-1}\varepsilon_t 是​​标准化残差​​,Qˉ=T−1∑tutut⊤\bar{Q} = T^{-1}\sum_t u_t u_t^\top 是 {ut}\{u_t\} 的样本协方差,Qt∗=diag(Qt)Q_t^* = \mathrm{diag}(Q_t) 用作归一化对角;CCC 直接令 Rt≡RR_t \equiv R(常相关),DCC 则按上式让 RtR_t 动态演化,且仅多两个标量参数 a,b≥0a, b \geq 0、a+b<1a + b < 1。

多元正态条件密度对应的对数似然把一元的二次项升级为二次型:

ℓ(θ)=−12∑t=1T[klog⁡(2π)+log⁡det⁡Ht(θ)+εt⊤Ht(θ)−1 εt].\ell(\theta) = -\dfrac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\bigl[k\log(2\pi) + \log\det H_t(\theta) + \varepsilon_t^\top H_t(\theta)^{-1}\,\varepsilon_t\bigr].

DCC 的两阶段估计是工程化关键,严格按 Engle (2002) 原文顺序:​​阶段一​​对每只资产独立拟合一元 GARCH(1, 1) 得到对角的 DtD_t;​​阶段二​​固定 DtD_t,用 ut=Dt−1εtu_t = D_t^{-1}\varepsilon_t 仅就 (a,b)(a, b) 最大化相关性对数似然。CCC 是否站得住脚由 Engle-Sheppard (2001) 的常条件相关性检验给出——拒绝即转用 DCC。非对称版本(Cappiello-Engle-Sheppard 2006 的 ADCC)把杠杆效应推进到相关性矩阵层面,本课不展开。

7. 通向下一课

回看本模块的两课:从对称 GARCH 到 GJR、EGARCH、再到 BEKK / DCC,​​估计骨架完全相同​​——在条件正态假设下写出对数似然、数值优化、汇报 Bollerslev-Wooldridge 三明治标准误;模型与模型之间的差别只在 σt2\sigma_t^2 或 HtH_t 的递推形式。但 GARCH 族共享一个核心假设:σt2\sigma_t^2(以及 HtH_t)都是过去冲击的​​确定性​​函数,即 Ft−1\mathcal{F}_{t-1}-可测。下一课要放弃这条假设——令 log⁡σt2\log\sigma_t^2 自身服从一条由独立创新驱动的隐含 AR(1) 过程,这就是随机波动率(stochastic volatility, SV)模型族。它在选择权定价上更贴近 Heston / SABR 的直觉,但代价是估计要从滤波或 MCMC 入手,远比 GARCH 族的 QML 麻烦。

练习

Exercise

考虑 GJR-GARCH(1, 1) 模型 εt=σtzt\varepsilon_t = \sigma_t z_t,其中 zt∼i.i.d.(0,1)z_t \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} (0, 1) 关于零对称,且 σt2=ω+α εt−12+γ εt−12 1{εt−1<0}+β σt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\,\varepsilon_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\} + \beta\,\sigma_{t-1}^2,参数满足 ω>0\omega > 0、α,β≥0\alpha, \beta \geq 0、α+γ≥0\alpha + \gamma \geq 0。​​(a)​ 证明在 ztz_t 对称的条件下 E[εt−12 1{εt−1<0}]=12 Var(εt−1)E[\varepsilon_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\}] = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{Var}(\varepsilon_{t-1})。​​(b)​ 推导无条件方差 Var(εt)=ω/(1−α−γ/2−β)\mathrm{Var}(\varepsilon_t) = \omega / (1 - \alpha - \gamma/2 - \beta),并写出对应的弱平稳条件。​​(c)​ 画出信息冲击曲线 σt2\sigma_t^2 关于 εt−1\varepsilon_{t-1} 的图(把 σt−12\sigma_{t-1}^2 固定在无条件方差),并解释为什么 γ>0\gamma > 0 对应杠杆效应。​​(d)​ 假设对 kk 资产组合逐资产拟合一元 GARCH(1, 1) 得 Dt=diag(σ1,t,…,σk,t)D_t = \mathrm{diag}(\sigma_{1, t}, \dots, \sigma_{k, t}),定义标准化残差 ut=Dt−1εtu_t = D_t^{-1}\varepsilon_t,写出 DCC(1, 1) 的 QtQ_t 递推与由此得到的 RtR_t。

提示
(a) 把 εt−12 1{εt−1<0}\varepsilon_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1}<0\} 拆成 σt−12 zt−12 1{zt−1<0}\sigma_{t-1}^2\,z_{t-1}^2\,\mathbf{1}\{z_{t-1}<0\};由独立性与 zt−1z_{t-1} 对称即得 E[z2 1{z<0}]=12E[z^2\,\mathbf{1}\{z<0\}] = \tfrac{1}{2}。
提示
(b) 对递推两端取期望并代入 (a),得 V=ω+(α+γ/2+β)VV = \omega + (\alpha + \gamma/2 + \beta)V,解出 VV 与稳定区;(c) 左右半边斜率分别为 α+γ\alpha + \gamma 与 α\alpha;(d) 用上节给出的 QtQ_t 与 Rt=(Qt∗)−1/2Qt(Qt∗)−1/2R_t = (Q_t^*)^{-1/2}Q_t(Q_t^*)^{-1/2} 即可。