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随机波动率模型

2.3.2 · 波动率与机制转换模型 · 数学与统计能力

周一下午两点半，深圳某量化私募的风险主管盯着她的隔夜波动率监控板：上周她团队用 GARCH(1, 1) 给沪深300股指期货账户出具的次日条件方差 σt2\sigma_t^2 只有一个数字 0.0142；今天 CIO 却问「明天有多大概率把 σt2\sigma_t^2 看成 0.02 以上」。这两个问题不能由同一个模型回答。GARCH 把波动率锁成过往收益的确定性函数，「方差自身的不确定性」根本不存在于这一族模型里。本课把波动率从「过往的函数」松开为「带自身随机源的隐变量」——随机波动率（stochastic volatility, SV）模型。

一、从条件方差到隐含状态

前两课的 GARCH(1, 1) 写出 σt2=ω+α εt−12+β σt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2，波动率是 Ft−1\mathcal{F}_{t-1} 可测的——给定截至 t−1t-1 的收益历史，σt2\sigma_t^2 是一个确切的数。这是一项强假设：它要求波动率不存在与收益历史相独立的随机源。SV 家族放松这一点：让波动率被自己的新息驱动，与收益新息独立。即便给定全段收益路径，台上交易员也只能写出 σt2\sigma_t^2 的后验分布，而不能写出一个数。这一句话听起来抽象，但落到对冲账户上就极具体：明天的隔夜方差不再是一根直线，而是一段带宽，风险预算与对冲规模必须随之配比。

二、Taylor (1986) 的对数 SV 模型

记收益为 rtr_t。Taylor 在 1986 年提出的离散时间 SV 模型用对数方差 ht=log⁡σt2h_t = \log\sigma_t^2 作为隐含状态：

rt=μ+εt,εt=exp⁡(ht/2) zt,zt∼iidN(0,1)r_t = \mu + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t = \exp(h_t / 2)\,z_t, \quad z_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, 1) ht=μh+ϕ (ht−1−μh)+ση ηt,ηt∼iidN(0,1)⊥{zs},∣ϕ∣<1h_t = \mu_h + \phi\,(h_{t-1} - \mu_h) + \sigma_\eta\,\eta_t, \quad \eta_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, 1) \perp \{z_s\}, \quad |\phi| < 1

参数向量 θ=(μ, μh, ϕ, ση)\theta = (\mu,\ \mu_h,\ \phi,\ \sigma_\eta)。μ\mu 是条件均值（通常很小，常被固定为样本均值）；μh\mu_h 是长期对数方差；ϕ∈(−1,1)\phi \in (-1, 1) 是自回归（autoregressive）AR(1) 持续性，股票日数据典型估值落在 0.95–0.99；ση>0\sigma_\eta > 0 是波动率之波动率（vol-of-vol）。在 ∣ϕ∣<1|\phi| < 1 下，对数波动率 hth_t 是弱平稳（stationary）的高斯 AR(1)；它从未被直接观测，是隐变量。

三、稳态矩与厚尾的封闭形式

hth_t 是平稳正态分布（Gaussian distribution）AR(1)，故

ht∼N ⁣(μh, σh2),σh2=ση21−ϕ2,Var(εt)=exp⁡ ⁣(μh+σh22),E[εt4](E[εt2])2=3 exp⁡(σh2)>3h_t \sim N\!\left(\mu_h,\ \sigma_h^2\right), \quad \sigma_h^2 = \frac{\sigma_\eta^2}{1 - \phi^2}, \quad \mathrm{Var}(\varepsilon_t) = \exp\!\left(\mu_h + \frac{\sigma_h^2}{2}\right), \quad \frac{E[\varepsilon_t^4]}{(E[\varepsilon_t^2])^2} = 3\,\exp(\sigma_h^2) > 3

完整推导只需正态变量矩母函数与 ztz_t 的低阶矩。由 ht∼N(μh, σh2)h_t \sim N(\mu_h,\ \sigma_h^2) 以及 E[exp⁡(λX)]=exp⁡(λμ+λ2σ2/2)E[\exp(\lambda X)] = \exp(\lambda \mu + \lambda^2 \sigma^2 / 2)，得 E[exp⁡(ht)]=exp⁡(μh+σh2/2)E[\exp(h_t)] = \exp(\mu_h + \sigma_h^2 / 2)、E[exp⁡(2ht)]=exp⁡(2μh+2σh2)E[\exp(2 h_t)] = \exp(2 \mu_h + 2 \sigma_h^2)。再由 ztz_t 与 hth_t 独立、E[zt]=0E[z_t] = 0、E[zt2]=1E[z_t^2] = 1、E[zt4]=3E[z_t^4] = 3，逐项算出：

  1. E[εt]=E[exp⁡(ht/2)] E[zt]=0E[\varepsilon_t] = E[\exp(h_t / 2)]\,E[z_t] = 0。
  2. Var(εt)=E[exp⁡(ht)] E[zt2]=exp⁡(μh+σh2/2)\mathrm{Var}(\varepsilon_t) = E[\exp(h_t)]\,E[z_t^2] = \exp(\mu_h + \sigma_h^2 / 2)。
  3. E[εt4]=E[exp⁡(2ht)] E[zt4]=3 exp⁡(2μh+2σh2)E[\varepsilon_t^4] = E[\exp(2 h_t)]\,E[z_t^4] = 3\,\exp(2 \mu_h + 2 \sigma_h^2)。
  4. 代入峰度定义：
E[εt4](E[εt2])2=3 exp⁡(2μh+2σh2)exp⁡(2μh+σh2)=3 exp⁡(σh2)>3\frac{E[\varepsilon_t^4]}{(E[\varepsilon_t^2])^2} = \frac{3\,\exp(2 \mu_h + 2 \sigma_h^2)}{\exp(2 \mu_h + \sigma_h^2)} = 3\,\exp(\sigma_h^2) > 3

只要 σh2>0\sigma_h^2 > 0，SV 就自动产生厚尾——与 GARCH 一致的可检验事实。εt\varepsilon_t 跨期不相关（ztz_t 独立），而 εt2\varepsilon_t^2 的自相关以 ϕ\phi 为公比按几何速率衰减——与 GARCH(1, 1) 中 (α+β)∣k∣(\alpha + \beta)^{|k|} 的衰减形状相同，是同一种残差平方 ACF 指纹。

四、SV 与 GARCH 的六行结构对照

把两族模型并列成六行：

维度GARCH(1, 1)SV
(i) 方差递推过往新息的确定函数隐含 AR(1)，独立新息 ηt\eta_t 驱动
(ii) σt2\sigma_t^2 可测性Ft−1\mathcal{F}_{t-1} 可测隐含；只有后验分布
(iii) 一步前方差预测点估计有非退化方差的后验分布
(iv) 似然闭式高斯条件似然TT 维隐路径上的不可解析积分
(v) 标准估计量高斯 QMLKalman-QML 或 Kim-Shephard-Chib（KSC）Gibbs
(vi) 连续时间对应无（本质离散）Hull-White OU / Heston CIR

第（iii）行就是文首 CIO 那一问的答案：GARCH 把方差预报锁成一个数，SV 把它放回一段分布；第（vi）行则是 SV 在衍生品场景下被偏爱的根本理由——它与 Hull-White (1987)、Heston (1993) 等连续时间随机波动率族共享「两个独立 Brownian 驱动」的结构。

五、似然的不可解析积分

把上述对照中「似然」一行写明白。SV 似然要把 TT 维隐含路径 {ht}\{h_t\} 全部积出来：

L(θ)=∫RT∏t=1Tϕ(εt; 0, exp⁡(ht)) ∏t=1TϕAR(1)(ht∣ht−1; θ) dh1⋯dhTL(\theta) = \int_{\mathbb{R}^T} \prod_{t=1}^T \phi(\varepsilon_t;\,0,\,\exp(h_t))\,\prod_{t=1}^T \phi_{\mathrm{AR}(1)}(h_t \mid h_{t-1};\,\theta)\,dh_1\cdots dh_T

其中 ϕ(⋅; 0,v)\phi(\cdot;\,0, v) 是均值 0、方差 vv 的正态密度。这是 SV 在工程上的核心障碍——直接的极大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE）算不出来。下面四条实务路径都是为这一积分服务的近似。

六、状态空间化与四条估计路径

把观测方程「线性化」是绕开积分的第一步。对 εt2=exp⁡(ht) zt2\varepsilon_t^2 = \exp(h_t)\,z_t^2 两端取对数，记 yt:=log⁡εt2=ht+log⁡zt2y_t := \log\varepsilon_t^2 = h_t + \log z_t^2。当 zt∼N(0,1)z_t \sim N(0, 1) 时 log⁡zt2\log z_t^2 服从 log⁡χ12\log\chi^2_1，由 digamma ψ\psi 与 trigamma ψ′\psi' 函数给出均值 ψ(1/2)+log⁡2≈−1.2704\psi(1/2) + \log 2 \approx -1.2704、方差 ψ′(1/2)=π2/2≈4.9348\psi'(1/2) = \pi^2 / 2 \approx 4.9348（此处只取数值，不推导）。把均值挪到右侧：

yt=log⁡εt2=−1.2704+ht+ξt,ht=μh+ϕ (ht−1−μh)+ση ηty_t = \log\varepsilon_t^2 = -1.2704 + h_t + \xi_t, \quad h_t = \mu_h + \phi\,(h_{t-1} - \mu_h) + \sigma_\eta\,\eta_t

其中 ξt:=log⁡zt2+1.2704\xi_t := \log z_t^2 + 1.2704，E[ξt]=0E[\xi_t] = 0、Var(ξt)=π2/2\mathrm{Var}(\xi_t) = \pi^2 / 2。状态方程关于 hth_t 线性，唯一的「不干净」处在 ξt\xi_t 非高斯。四条估计路径：

  • ​Harvey-Ruiz-Shephard (1994) Kalman-QML​​：把 ξt\xi_t 当作高斯走一遍 Kalman 滤波，最大化所得拟似然。一致但损失约 25% 的渐近效率（Sandmann-Koopman 1998），仍是最快的工业方案。
  • ​Kim-Shephard-Chib (1998) 辅助混合 Gibbs​​：用 7 分量高斯混合逼近 log⁡χ12\log\chi^2_1（KL 散度量级 10−410^{-4}；混合参数见 KSC 1998 Table 4），再 Gibbs 采样 {ht}\{h_t\}、参数与混合指示。当下严肃 SV 应用的金标准。
  • ​单点 / 块更新 MCMC​​：直接对 {ht}\{h_t\} 采样，相邻 hth_t 高度相关导致混合慢，已基本被 KSC 取代。
  • ​有效矩估计 / 间接推断​​（Gallant-Tauchen 1996；Gourieroux-Monfort-Renault 1993）：在 θ\theta 参数空间内匹配观测序列与模拟序列的辅助模型估计量；当似然彻底不可写但模拟便宜时使用，相对 KSC 信息损失明显。

粒子滤波 / 序贯蒙特卡洛是非线性、非高斯状态空间的现代替代方案，本课只点到。非对称 SV（ASV，Yu 2005）引入 Corr(zt,ηt+1)=ρ<0\mathrm{Corr}(z_t, \eta_{t+1}) = \rho < 0 以刻画杠杆效应；KSC 路径可平滑扩展，Kalman-QML 路径不可。多元 SV 与高频实现 SV（Takahashi-Omori-Watanabe 2009）是独立方向，本课不展开。一句话挑工具：要严肃推断、可负担 MCMC，选 KSC；要快速估计、能容忍 25% 效率损失，选 Kalman-QML；模型怪异以致似然完全不可写时，才退到 EMM 或间接推断。

七、连续时间桥与状态可视化

把对数波动率 AR(1) 写到无穷小时间步上，便落回 module 2.7 的随机微积分。该递推是 Ornstein-Uhlenbeck SDE 的精确 Euler 离散：

dht=κ (μh−ht) dt+σ~η dWt,κ=−log⁡ϕ,σ~η=ση 2κ/(1−ϕ2)dh_t = \kappa\,(\mu_h - h_t)\,dt + \tilde{\sigma}_\eta\,dW_t, \quad \kappa = -\log\phi, \quad \tilde{\sigma}_\eta = \sigma_\eta\,\sqrt{2\kappa / (1 - \phi^2)}

其中 WtW_t 是标准布朗运动（Brownian motion），σ~η\tilde{\sigma}_\eta 取上式以匹配单位时间步方差，κ\kappa 在 ϕ\phi 接近 1 时近似等于 1−ϕ1 - \phi。这条 OU 过程正是 Hull-White (1987) 连续时间 SV 模型的对数方差驱动；Heston (1993) 把它替换为 CIR（平方根）过程以保证方差路径非负，对应 module 1.4.4 lesson 4，本课不展开完整 Itô 推导。

拖动滑块观察对数波动率状态的一步条件期望 E[ht∣ht−1]=μh+ϕ (ht−1−μh)E[h_t \mid h_{t-1}] = \mu_h + \phi\,(h_{t-1} - \mu_h) 如何随 (μh,ϕ)(\mu_h, \phi) 变化——ϕ=0\phi = 0 时立刻回到长期均值，ϕ→1\phi \to 1 时趋近随机游走：

Formula Explorer

mu_h + phi * (h_prev - mu_h)

八、练习

Exercise

考虑离散时间对数 SV 模型 rt=μ+εtr_t = \mu + \varepsilon_t，εt=exp⁡(ht/2) zt\varepsilon_t = \exp(h_t / 2)\,z_t，zt∼iidN(0,1)z_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, 1)，且 ht=μh+ϕ (ht−1−μh)+ση ηth_t = \mu_h + \phi\,(h_{t-1} - \mu_h) + \sigma_\eta\,\eta_t，ηt∼iidN(0,1)\eta_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, 1) 与 {zs}\{z_s\} 独立，∣ϕ∣<1|\phi| < 1。

(a) 证明 hth_t 的稳态分布为 N(μh, σh2)N(\mu_h,\ \sigma_h^2)，其中 σh2=ση2/(1−ϕ2)\sigma_h^2 = \sigma_\eta^2 / (1 - \phi^2)。

(b) 用 (μh, σh2)(\mu_h,\ \sigma_h^2) 表示 Var(εt)\mathrm{Var}(\varepsilon_t) 与无条件峰度 E[εt4]/(E[εt2])2E[\varepsilon_t^4] / (E[\varepsilon_t^2])^2。

(c) 定义 yt=log⁡εt2y_t = \log\varepsilon_t^2；证明 yt=ht+log⁡zt2y_t = h_t + \log z_t^2，并指出在 zt∼N(0,1)z_t \sim N(0, 1) 下 log⁡zt2\log z_t^2 的均值为 −1.2704-1.2704、方差为 π2/2\pi^2 / 2。写出线性状态空间形式：观测方程 yt=−1.2704+ht+ξty_t = -1.2704 + h_t + \xi_t，状态方程对 hth_t 不变。

(d) 说明在这一系统上跑一次 Kalman 滤波如何给出 Harvey-Ruiz-Shephard QML 估计；用一句话解释为何它一致但低效。

提示
(a) 把 AR(1) 反复展开为 μh\mu_h 加无穷多独立正态项的叠加；由正态可加性即得稳态形状，方差归结为几何级数 ∑k≥0ϕ2k=1/(1−ϕ2)\sum_{k\geq 0} \phi^{2k} = 1/(1 - \phi^2)。(b) 用 E[exp⁡(λht)]=exp⁡(λμh+λ2σh2/2)E[\exp(\lambda h_t)] = \exp(\lambda \mu_h + \lambda^2 \sigma_h^2 / 2) 与 ztz_t 的独立性。
提示
(c) log⁡zt2∼log⁡χ12\log z_t^2 \sim \log\chi^2_1，仅需引用数值，不推导。(d) Kalman 把非高斯 ξt\xi_t 当作高斯，得到的是拟似然——一阶矩条件正确所以一致；但 ξt\xi_t 真实分布偏斜厚尾，所以效率有损（约 25%）。

九、通往第四课

到此你能把任意一个 GARCH 拟合的「下一刻方差是一个数」翻译成 SV 的「下一刻方差是一个分布」，并在 Kalman-QML 与 KSC Gibbs 之间按计算预算挑出合适估计器。沪深300日收益序列拟合给出的 ϕ^\hat\phi 落在 0.95–0.99、σ^η\hat\sigma_\eta 落在 0.10–0.30，与海外成熟市场上的标准估计几乎一致——这一巧合正是 GARCH 与 SV 在收益单序列上难以分辨的根本原因。下一课把状态空间机制从「连续高斯隐变量」切换为「离散制度变量」：ht∈Rh_t \in \mathbb{R} 变成 St∈{1,…,K}S_t \in \{1, \ldots, K\}，演化由 Markov 转移概率矩阵 PP 给出。Hamilton (1989) 滤波是 Kalman 滤波的离散态对应，Kim (1994) 平滑则是 Kalman 平滑的离散态对应——这是把整个模块四课串起来的统一状态空间骨架。