题目3246 · 数学
Jacobian of a Scaling Map
For the transformation $x=2u,\ y=3v$, compute the absolute Jacobian determinant $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$.
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中文题目题目3247 · 数学
Jacobian of a Shear-Rotation Style Map
For $x=u+v,\ y=u-v$, compute $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$.
打开 →题目3250 · 数学
Jacobian of a Simple Nonlinear Map
For $x=u^2-v,\ y=u+v^2$, compute $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ symbolically.
打开 →题目3249 · 数学
Jacobian of a Triangular Map
For $x=u,\ y=u+2v$, compute $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$.
打开 →题目3248 · 数学
Polar Coordinates Jacobian
For $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$, compute $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|$.
打开 →题目377 · 概率
Distribution of the Exponential of a Uniform via Jacobian
Let $X \sim \operatorname{Uniform}(0,1)$. Use the change-of-variables (Jacobian) formula to find the PDF of $Y = e^X$.
打开 →题目3265 · 数学
Area of a Polar Wedge
Use the polar Jacobian to compute the area of the region $0\le r\le 2,\ 0\le \theta\le \pi/3$.
打开 →模块2.1.2 · 数学与统计能力 · 概率与统计基础
条件分布与联合分布
probability · joint-distribution · marginal-distribution · joint-pdf · joint-pmf · jacobian · conditional-distribution · independence
打开 →模块2.4.2 · 数学与统计能力 · 线性代数与微积分
面向最优化的微积分
calculus · gradient · directional-derivative · optimization · chain-rule · jacobian · backpropagation · taylor-expansion
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梯度与方向导数
Hook：风控室里的一行警告 周三盘中两点四十，上海某私募基金的多因子组合管理岗位上，你刚收到风控的一行警告：「沪深300 成分股口径下，当前权重 公式 对应的组合方差曲面在某只大盘消费品权重方向上斜率最大——加一个百分点的仓位，组合方差大致抬升 0.6 个 bp²。」 这一句话里其实只藏着一个数学对象：函数 公式 在当前点 公式 处的 梯度（gradi...
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链式法则与雅可比矩阵
Hook：一次梯度核对失败的复盘 上海某量化私募的小组复盘会上，工程师摊开一张 PnL 时序图：基于沪深300 成分股的因子神经网络回测里，梯度核对（gradient check）数值在第三层之后开始与解析梯度系统性偏离一个常数倍。CFFEX 主力合约的日线策略本来 7 月稳得像一块表，过完一个版本后突然走样——根因追下来是一行被写反的 transpose ...
打开 →题目3262 · 数学
Area of a Parallelogram from a Unit Square
The map $x=u+v,\ y=u-v$ sends the unit square $0\le u,v\le 1$ to a parallelogram. What is its area?
打开 →题目3261 · 数学
Area of an Ellipse from the Unit Disk
The map $x=2u,\ y=3v$ sends the unit disk $u^2+v^2\le 1$ to an ellipse in the $(x,y)$-plane. What is the area of that ellipse?
打开 →题目3264 · 数学
Area Scaling Under a Triangular Map
The map $x=u,\ y=u+2v$ sends the unit square to a parallelogram. Compute the image area.
打开 →题目3263 · 数学
Integral After a Simple Scaling
Use the change of variables $x=2u,\ y=3v$ to compute $\iint_R 1\,dx\,dy$, where $R$ is the image of the rectangle $0\le u\le 1,\ 0\le v\le 2$.
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一阶最优性与凸性
Hook：两个看起来都「会优化」的求解器 上海某私募基金的两位研究员同时打开 Python，一位在跑一个标的为沪深300 成分股、目标为均值方差优化（mean variance optimization）的组合优化（portfolio optimization）问题，另一位在调一个三层的因子神经网络。两人用的迭代算法是同一份梯度下降代码，第一位 200 步就...
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协方差、相关系数与联合矩
某多策略基金的风控官想要一个数:在已经持有一个长久期债券账户的组合里,再叠加一个沪深300 多头股票账户,会增加多少方差?答案不是"沪深300 方差加债券方差",而是"沪深300 方差加债券方差再加两倍协方差"——而这个协方差,正是上证日盘与 CFFEX 国债期货市场每天联动着送上来的统计量。要拿到这一个数,把整个联合分布全写出来是大材小用;风控官真正做的是...
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条件分布与随机变量的独立性
某宏观对冲基金的量化研究员盯着一张散点图:横轴是沪深300 ETF 的日收益率,纵轴是 50ETF 隐含波动率指数的日变动。两个边缘分布他已经会读了——沪深300 日收益大致呈钟形,IV 指数日变动则厚尾且偏负。他真正想问的却是 条件 问题: 当 沪深300 刚刚打出 2% 的盘面 之后 ,IV 指数变动的分布长什么样?这个对象既不是...
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条件期望与多元正态分布
某股票多空策略私募的信号研究员每天跑一条回归:下周收益对动量因子的回归。他把拟合直线写为 r hat = a + b signal 。在抽样之前,这条直线是什么?它就是 (收益, 信号) 的联合分布下的 总体条件期望 (population conditional expectation)公式 ——而在沪深300 因子收益满足联合正态(joint n...
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泰勒展开与海森矩阵
Hook：一条卡在鞍点上的优化器 某沪深300 增强组合的研究员发来一段日志：使用裸的梯度下降迭代 6000 次后，目标函数（一个带分段惩罚的跟踪误差）几乎不再变化——但梯度范数也没有逼近零，反而在 公式 量级上震荡。绘出参数空间上的曲面发现：当前点位于一个鞍点（saddle point），沿其中一个主轴是「碗」、沿另一个主轴是「山脊」，一阶信息把这两种几何...
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联合分布与边缘分布
某私募的风险分析师每天早盘从终端上抓两个数:沪深300 ETF 的日收益与 10 年国债收益率的日变动。她真正关心的不是任何一个单变量,而是两者的 联合 画像:沪深300 跌超 1% 同时 10 年期收益率跳升 5bp 的概率。这类问题任何单变量密度都回答不了——它本质上是一个联合分布(joint distribution)问题。这一节把你在 2...
打开 →题目386 · 概率
Affine Transformation of a Normal Random Variable
Let $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ with $a \neq 0$ and $b \in \mathbb{R}$. Using the Jacobian formula, show that $Y = aX + b$ is normally distributed and state its parameters.
打开 →题目240 · 概率
Beta Distribution and the Beta Function from Independent Gammas
Let $X \sim \text{Gamma}(\alpha, 1)$ and $Y \sim \text{Gamma}(\beta, 1)$ be independent. (a) Define $U = \frac{X}{X+Y}$ and $V = X + Y$. Compute the Jacobian of the transformation $(X, Y) \mapsto (U, V)$. (b) Derive the joint PDF of $(U, V)$ and show that $U$ and $V$ are indepe
打开 →题目385 · 概率
Box-Muller Transform: From Uniforms to Independent Normals
Let $U_1, U_2$ be independent $\operatorname{Uniform}(0,1)$ random variables. Define $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2), \qquad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) Compute the Jacobian of the inverse transformation from $(Z_1, Z_2)$ back to $(U_1, U_2)$. (b) Sho
打开 →题目400 · 概率
Deriving the Fisher F-Distribution from Chi-Squared Variables
Let $X \sim \chi^2(m)$ and $Y \sim \chi^2(n)$ be independent. Define $$F = \frac{X/m}{Y/n}.$$ (a) Using the transformation $(F, W) = \bigl(\frac{nX}{mY},\; Y\bigr)$, compute the Jacobian and derive the joint density $f_{F,W}$. (b) Integrate out $W$ to obtain the marginal PDF of
打开 →题目380 · 概率
Distribution of the Ratio of Two Independent Exponentials
Let $X$ and $Y$ be independent $\operatorname{Exp}(1)$ random variables. Define $R = X/Y$. (a) Using the transformation $(R, S) = (X/Y,\, Y)$, compute the joint density $f_{R,S}$ via the Jacobian and then marginalize over $S$ to find the PDF of $R$. (b) Identify $f_R$ as a name
打开 →题目389 · 概率
Ratio of Independent Gammas Yields a Beta Distribution
Let $X \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, 1)$ and $Y \sim \operatorname{Gamma}(\beta, 1)$ be independent. Using the transformation $(W, S) = \bigl(X/(X+Y),\; X+Y\bigr)$: (a) Compute the Jacobian of the inverse map. (b) Derive the joint density $f_{W,S}$ and marginalize to show $
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