题目3246 · 数学
缩放映射的 Jacobian
对变换 $x=2u,\ y=3v$，求绝对 Jacobian 行列式 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
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English questions题目3249 · 数学
三角型变换的 Jacobian
对 $x=u,\ y=u+2v$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
打开 →题目3247 · 数学
剪切型变换的 Jacobian
对 $x=u+v,\ y=u-v$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
打开 →题目3248 · 数学
极坐标的 Jacobian
对 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|$。
打开 →题目3250 · 数学
简单非线性变换的 Jacobian
对 $x=u^2-v,\ y=u+v^2$，符号化地求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$。
打开 →模块2.1.2 · 数学与统计能力 · 概率与统计基础
条件分布与联合分布
probability · joint-distribution · marginal-distribution · joint-pdf · joint-pmf · jacobian · conditional-distribution · independence
打开 →题目3265 · 数学
极坐标扇形面积
利用极坐标 Jacobian 计算区域 $0\le r\le 2,\ 0\le \theta\le \pi/3$ 的面积。
打开 →模块2.4.2 · 数学与统计能力 · 线性代数与微积分
面向最优化的微积分
calculus · gradient · directional-derivative · optimization · chain-rule · jacobian · backpropagation · taylor-expansion
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梯度与方向导数
Hook：风控室里的一行警告 周三盘中两点四十，上海某私募基金的多因子组合管理岗位上，你刚收到风控的一行警告：「沪深300 成分股口径下，当前权重 公式 对应的组合方差曲面在某只大盘消费品权重方向上斜率最大——加一个百分点的仓位，组合方差大致抬升 0.6 个 bp²。」 这一句话里其实只藏着一个数学对象：函数 公式 在当前点 公式 处的 梯度（gradi...
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链式法则与雅可比矩阵
Hook：一次梯度核对失败的复盘 上海某量化私募的小组复盘会上，工程师摊开一张 PnL 时序图：基于沪深300 成分股的因子神经网络回测里，梯度核对（gradient check）数值在第三层之后开始与解析梯度系统性偏离一个常数倍。CFFEX 主力合约的日线策略本来 7 月稳得像一块表，过完一个版本后突然走样——根因追下来是一行被写反的 transpose ...
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一阶最优性与凸性
Hook：两个看起来都「会优化」的求解器 上海某私募基金的两位研究员同时打开 Python，一位在跑一个标的为沪深300 成分股、目标为均值方差优化（mean variance optimization）的组合优化（portfolio optimization）问题，另一位在调一个三层的因子神经网络。两人用的迭代算法是同一份梯度下降代码，第一位 200 步就...
打开 →题目3264 · 数学
三角型映射下的面积缩放
映射 $x=u,\ y=u+2v$ 把单位正方形送到一个平行四边形。求像区域的面积。
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协方差、相关系数与联合矩
某多策略基金的风控官想要一个数:在已经持有一个长久期债券账户的组合里,再叠加一个沪深300 多头股票账户,会增加多少方差?答案不是"沪深300 方差加债券方差",而是"沪深300 方差加债券方差再加两倍协方差"——而这个协方差,正是上证日盘与 CFFEX 国债期货市场每天联动着送上来的统计量。要拿到这一个数,把整个联合分布全写出来是大材小用;风控官真正做的是...
打开 →题目3262 · 数学
单位正方形映成平行四边形后的面积
映射 $x=u+v,\ y=u-v$ 把单位正方形 $0\le u,v\le 1$ 送到一个平行四边形。它的面积是多少？
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条件分布与随机变量的独立性
某宏观对冲基金的量化研究员盯着一张散点图:横轴是沪深300 ETF 的日收益率,纵轴是 50ETF 隐含波动率指数的日变动。两个边缘分布他已经会读了——沪深300 日收益大致呈钟形,IV 指数日变动则厚尾且偏负。他真正想问的却是 条件 问题: 当 沪深300 刚刚打出 2% 的盘面 之后 ,IV 指数变动的分布长什么样?这个对象既不是...
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条件期望与多元正态分布
某股票多空策略私募的信号研究员每天跑一条回归:下周收益对动量因子的回归。他把拟合直线写为 r hat = a + b signal 。在抽样之前,这条直线是什么?它就是 (收益, 信号) 的联合分布下的 总体条件期望 (population conditional expectation)公式 ——而在沪深300 因子收益满足联合正态(joint n...
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泰勒展开与海森矩阵
Hook：一条卡在鞍点上的优化器 某沪深300 增强组合的研究员发来一段日志：使用裸的梯度下降迭代 6000 次后，目标函数（一个带分段惩罚的跟踪误差）几乎不再变化——但梯度范数也没有逼近零，反而在 公式 量级上震荡。绘出参数空间上的曲面发现：当前点位于一个鞍点（saddle point），沿其中一个主轴是「碗」、沿另一个主轴是「山脊」，一阶信息把这两种几何...
打开 →题目3261 · 数学
由单位圆盘映射得到椭圆面积
映射 $x=2u,\ y=3v$ 把单位圆盘 $u^2+v^2\le 1$ 送到 $(x,y)$ 平面中的一个椭圆。该椭圆面积是多少？
打开 →题目3263 · 数学
简单缩放后的积分
使用变量替换 $x=2u,\ y=3v$ 计算 $\iint_R 1\,dx\,dy$，其中 $R$ 是矩形 $0\le u\le 1,\ 0\le v\le 2$ 的像。
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联合分布与边缘分布
某私募的风险分析师每天早盘从终端上抓两个数:沪深300 ETF 的日收益与 10 年国债收益率的日变动。她真正关心的不是任何一个单变量,而是两者的 联合 画像:沪深300 跌超 1% 同时 10 年期收益率跳升 5bp 的概率。这类问题任何单变量密度都回答不了——它本质上是一个联合分布(joint distribution)问题。这一节把你在 2...
打开 →题目385 · 概率
Box-Muller 变换：从均匀到独立正态
设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。
打开 →题目380 · 概率
两个独立指数变量之比的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。 (a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。 (b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。
打开 →题目240 · 概率
从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数
设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, 1)$，$Y \sim \text{Gamma}(\beta, 1)$ 独立。 (a) 定义 $U = \frac{X}{X+Y}$，$V = X+Y$。计算变换 $(X,Y) \mapsto (U,V)$ 的雅可比行列式。 (b) 推导 $(U,V)$ 的联合 PDF，并证明 $U$ 与 $V$ 独立。 (c) 识别 $U$ 的边际分布，并证明 $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\be
打开 →题目377 · 概率
均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）
设 $X \sim \operatorname{Uniform}(0,1)$。利用换元（雅可比）公式求 $Y = e^X$ 的概率密度函数。
打开 →题目386 · 概率
正态随机变量的仿射变换
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$a \neq 0$，$b \in \mathbb{R}$。利用雅可比公式证明 $Y = aX + b$ 服从正态分布，并给出其参数。
打开 →题目389 · 概率
独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布
设 $X \sim \operatorname{Gamma}(\alpha,1)$，$Y \sim \operatorname{Gamma}(\beta,1)$ 独立。利用变换 $(W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)$： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 $f_{W,S}$ 并对 $S$ 积分，证明 $W \sim \operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$。 (c) 证明 $W$ 与 $S$ 独立。
打开 →题目400 · 概率
由卡方变量推导 Fisher F 分布
设 $X \sim \chi^2(m)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 独立，$F = (X/m)/(Y/n)$。 (a) 利用变换 $(F,W)=(nX/(mY), Y)$，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 $W$ 积分得 $F$ 的边际 PDF，验证为 $F(m,n)$ 分布。 (c) 证明 $E[F] = n/(n-2)$（$n>2$）。
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