课程面向最优化的微积分 · 线性代数与微积分
一阶最优性与凸性
Hook：两个看起来都「会优化」的求解器 上海某私募基金的两位研究员同时打开 Python，一位在跑一个标的为沪深300 成分股、目标为均值方差优化（mean variance optimization）的组合优化（portfolio optimization）问题，另一位在调一个三层的因子神经网络。两人用的迭代算法是同一份梯度下降代码，第一位 200 步就...
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English questions课程凸优化 · 最优化
凸集与凸函数
开篇场景（Hook）：基数约束如何把 MVO 从 QP 推到 MIP 周二下午，你在一家百亿规模的私募（private fund）量化部门里，给沪深300 成分股做一只全仓做多组合。脚本是教科书版本的均值方差优化（mean variance optimization, MVO）：最小化 公式，约束 公式、公式。CVXPY 在 80ms 内返回全局最优。你顺手...
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交易成本感知优化与换手率预算
某沪深300指增私募的中级量化研究员,用 L1 的「无成本」约束 MV 优化器跑 30 只 CSI 300 行业龙头基础上的 12 1 截面动量信号,样本内纸面 Sharpe(paper Sharpe)= 1.4。她把同样的换仓单丢进自家交易台的事后成本归因系统,扣掉佣金、印花税、半价差(half spread)和 Almgren Chriss 市场冲击之后...
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仅做多与 MV QP 中的线性约束
某沪深300指增公募的高级量化研究员,把 4.4.1 的均值方差闭式解 w = (1/gamma) Sigma^ (mu lambda 1) 直接套到她管理的 30 只 CSI 300 成分股核心仓上。闭式解给出的结果:招商银行 600036 做空 300%、宁德时代 300750 多头 +250%、组合 78% 的仓位扎堆在前三只动量名上。她的产品合同写得...
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凸优化问题与标准形式
开篇场景（Hook）：一位 PM 的两份委托书 周一上午，你在一家 沪深300 指数增强 私募 基金的研究台收到两份新增的客户委托书。第一份要求满仓多头、公式、公式、行业偏离度上限 ±3%（一组线性不等式）——干净的二次规划（quadratic program, QP）：二次目标 + 仿射约束，求解器十秒出结果。第二份加了一句「持仓数不得超过 50 只」，可...
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拉格朗日对偶与 KKT 条件
开篇场景（Hook）：PM 真正想要的那个数 上海一家中型私募的 PM 周一早盘正在跟风控拉锯：当前组合的总杠杆（gross leverage）顶在 200% 的合规上限，他想申请抬到 220%。风控的问题不是「能不能」，而是「值不值」——多 20 个百分点能换多少边际信息比率（marginal information ratio）？答案其实早就躺在凸求解器...
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端到端组合构建管线、压力测试与部署
某沪深300指增私募的策略部署组组长周一早会带着三份交付物走进风控委员会。PM 刚审批通过一只新主动股票策略,研究组把 4.2 alpha 管线(截面动量 + 质量 + 价值的复合 alpha,样本内 IR 约 0.5)、4.3 因子暴露矩阵 B (Barra 风格 5 个 + 中信一级行业 10 个 + 国家因子)、4.4.2 Barra 风险模型 (Si...
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组合优化与锥规划建模
周五下午三点，你在某 公募 基金管理一只 沪深300 指数增强（CSI 300 enhanced index）产品。当前基金合同把年化 跟踪误差（tracking error）上限设在 300 bp。求解器把当日再平衡的解返回过来——主仓位都合理，但对偶价格表里 跟踪误差 约束的乘子写着 公式 bp。翻译成 PM 听得懂的语言：若把上限从 300 bp 放到...
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鲁棒优化与分布鲁棒投资组合优化
某沪深300指增私募的中级量化研究员把 L2 的成本感知优化器跑了三年。样本内纸面 Sharpe = 1.4,实盘 Sharpe = 0.7。她把回测净值拆开,发现两件事:12 1 截面动量 mu hat 的标准误差是均值的 3 5 倍——Chopra Ziemba(1993)《The effect of errors in means, variances...
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多空股票与市场中性策略
2024 年 1 月某日,一家上海私募的基金经理盯着自己刚跑了四个月的单因子动量多空股票组合。前四个月,夏普比率 1.5,看起来一切正常。三天之内,这只组合亏了 18%。基本面没有出任何意外,公司没爆雷,行业没爆雷,宏观没出爆点新闻。亏的原因只有一个:动量因子在 Mag 7 / AI 板块切换的剧烈反转中被全行业同时减仓,他持有的全部头寸瞬间走向反向。这是 ...
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梯度下降与线搜索
周五下午两点，你在上海某私募的因子研究组里收到一张 12,000 × 600 的设计矩阵——600 个候选 alpha 因子在沪深300 成分股上 18 个月日频的横截面暴露。组合经理希望你下班前给一组系数，明早接入回测。你写下普通最小二乘（ordinary least squares, OLS）的闭式解 beta = np.linalg.solve(X.T...
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梯度与方向导数
Hook：风控室里的一行警告 周三盘中两点四十，上海某私募基金的多因子组合管理岗位上，你刚收到风控的一行警告：「沪深300 成分股口径下，当前权重 公式 对应的组合方差曲面在某只大盘消费品权重方向上斜率最大——加一个百分点的仓位，组合方差大致抬升 0.6 个 bp²。」 这一句话里其实只藏着一个数学对象：函数 公式 在当前点 公式 处的 梯度（gradi...
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正则化最小二乘:岭回归与 Lasso
深圳某私募的多因子研究员手头有 60 个交易日的沪深300 成分股横截面收益,外加一份「因子动物园」(factor zoo)清单:动量、价值、质量、低波,再加上 70 多个另类与基本面因子,合计 公式 个候选预测变量、公式 个观测——一个典型的 公式 病态设计矩阵。她直接套用上一模块的普通最小二乘(ordinary least squares, OLS),解...
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泰勒展开与海森矩阵
Hook：一条卡在鞍点上的优化器 某沪深300 增强组合的研究员发来一段日志：使用裸的梯度下降迭代 6000 次后，目标函数（一个带分段惩罚的跟踪误差）几乎不再变化——但梯度范数也没有逼近零，反而在 公式 量级上震荡。绘出参数空间上的曲面发现：当前点位于一个鞍点（saddle point），沿其中一个主轴是「碗」、沿另一个主轴是「山脊」，一阶信息把这两种几何...
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深度网络的训练:优化与正则化
Hook:周三晚上的训练日志 上海一家中等规模私募的初级量化研究员小陈,把上一课刚学会的反向传播搬到了沪深300 选股因子模型(factor model)的 alpha 预测上。模型是一个深度 5、宽度 256 的多层感知机(multi layer perceptron, MLP),约 33 万参数,输入是 60 个标准化后的截面风格因子,标签是次日截面超额...
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牛顿法与拟牛顿法
周一开盘后 15 分钟，沪深300 ETF 期权（300ETF options on SSE）的隐含波动率（implied volatility, IV）整体上抬了 3 个 vol。你在一家私募的做市账户上挂着一组 50ETF 与 300ETF 近月平值 call，定价模型需要把每张合约的市场报价反推成 IV。上一节用梯度下降跑过同样的题：在某些深度虚值（o...
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链式法则与雅可比矩阵
Hook：一次梯度核对失败的复盘 上海某量化私募的小组复盘会上，工程师摊开一张 PnL 时序图：基于沪深300 成分股的因子神经网络回测里，梯度核对（gradient check）数值在第三层之后开始与解析梯度系统性偏离一个常数倍。CFFEX 主力合约的日线策略本来 7 月稳得像一块表，过完一个版本后突然走样——根因追下来是一行被写反的 transpose ...
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随机与小批量优化方法
钩子：当一次完整梯度要四个小时 某上海百亿私募的研究员准备把一套基于沪深300 成分股的多因子神经网络 α 信号搬上生产。训练集是过去 5 年的日频面板：约 180 万行样本 × 300 只成分股 × 80 个特征。前两课的工具一一被排除——海森矩阵（Hessian matrix, 公式）装不进显存，L BFGS 一次方向计算也要把整批数据过一遍。退到最朴素...
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CAPM 与均衡定价含义
某上海私募的多空策略台,周一早会上分析师汇报:某只白酒龙头跑赢沪深300 5.2 个百分点,「显著的 alpha」。基金经理把数据敲到 Bloomberg,跑了一遍 CAPM 回归,Jensen alpha 的 t 值 1.3——「不,这只是 beta 的 1.4 倍,加上沪深300 这一年涨了 4%,你看到的 5.2% 全在 beta 解释范围内,没有 a...
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MV 的实践失败与收缩修正
某上海私募的初级量化:把 L2 的闭式 MV 直接套到 100 只 A 股、5 年月度数据上,优化器吐回的组合在三只票上占 90%(其中两只各做多 60%、一只做空 200%)。回测夏普 3.2,PM 拍板上线。半年后实盘亏 12%,同期沪深300 涨 8%。「教科书的东西在实盘上不工作」——但 不是 教科书错了,是 他没装收缩 (no sh...
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均值方差基础:效用与投资问题
周一上午,你在某沪上私募基金的组合构建台,PM 把一个文件丢到你桌上:沪深300 成份股加上一篮子中证500 小盘票,共 500 只,每只都给了下一季度的预期收益 公式;另外附一张 500×500 的协方差矩阵 公式,是研究部用 60 个月滚动样本估出来的。PM 的指令只有一句:「按这个开个仓,目标年化波动 12%。」 你面前的问题就是单期(single p...
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有效前沿与切线组合
L1 把 N 资产的单期投资问题落到了一行目标函数 公式 s.t. 公式,又用两资产示例把代数走通。但 PM 周五拍着桌子要的不是一个孤立点——他要看一张图:横轴是组合波动率 公式,纵轴是组合预期收益 公式,所有 MV 最优组合按 公式 串起来形成一条曲线;同时他要知道 有没有一个最好的组合 (无关 公式 的那种),以及加现金后这张图是怎么变的。 这...
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聚合、轴与归约
周三上午十点，一家私募的研究员把上一课写好的 (252, 3) 沪深300 成分股日收益矩阵 returns 甩进 Jupyter，敲下 returns.mean() ，得到一个标量 0.00042 。他把这个数贴进周报，标题写「样本期内组合日均收益约 4 个基点」——这句话有问题。 returns.mean() 在没有 axis 参数时会把整个矩阵展平成一...
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