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非代码面试题
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2908给定边被穿过的长期频率是多少？一个连通无向图上的简单随机游走从平稳分布出发。请问长期来看，“下一步会穿过某条给定的无向边 \ u,v\ （不区分方向）”的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅2909带重置到零的四状态环考虑状态集合 \ 0,1,2,3\ 。从状态 i 出发，链以概率 1/2 移到 i+1 \pmod 4，并以概率 1/2 重置到 0。求其平稳分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2910三状态路径上的简单随机游走考虑路径图 1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3。简单随机游走每一步都等概率选择一个邻居移动。求其平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2911自定义三状态可逆链考虑状态集合 \ 1,2,3\ 上的链，其转移矩阵为 \[ P=\begin pmatrix 0.6 & 0.4 & 0\\ 0.2 & 0.5 & 0.3\\ 0 & 0.6 & 0.4 \end pmatrix . \] 求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2913K_{m,n} 两侧各占一半的平稳质量一个简单随机游走运行在完全二部图 K m,n 上。请证明：尽管两侧顶点个数不同，但两侧各自承载的平稳质量都等于 1/2。概率中等derivation未尝试面试订阅2914一个带权三角形上的平稳分布一个带权随机游走运行在顶点 \ 1,2,3\ 上，且对称电导权重为 \[ c 12 =1,\qquad c 23 =2,\qquad c 13 =3. \] 从某个顶点出发时，链按照相连边的电导权重比例选择下一顶点。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2915超立方体上的随机游走考虑状态空间 \ 0,1\ d 上的 Markov 链。每一步它都等概率选择一个坐标并翻转该坐标对应的比特。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2916单个祖先下第 n 代的期望规模一个 Galton-Watson 分枝过程从单个祖先开始，每个个体的平均子代数为 m。求 E[Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2917k 个祖先下第 n 代的期望规模一个分枝过程从 Z 0=k 个祖先开始，平均子代数为 m。求 E[Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2918一步条件期望公式在平均子代数为 m 的 Galton-Watson 过程中，用 Z n 表示 E[Z n+1 \mid Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2919标准分枝过程鞅设 Galton-Watson 过程的平均子代数为 m>0。证明 \[ M n= Z n m n \] 关于自然滤过是一个鞅。概率中等derivation未尝试面试订阅2920次临界情形下的总后代期望一个 Galton-Watson 过程从单个祖先开始，平均子代数满足 m<1。令 \[ T=\sum n\ge 0 Z n \] 表示总后代数。求 E[T]。概率中等derivation未尝试面试订阅2921k 个祖先下的总后代期望一个平均子代数为 m<1 的次临界分枝过程从 k 个祖先开始。总后代数的期望是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅29220 或 2 子代时的精确灭绝概率每个个体以概率 0.3 产生 0 个子代、以概率 0.7 产生 2 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。概率中等derivation未尝试面试订阅2923另一个可精确求解的灭绝根每个个体的子代分布为 \[ P(\xi=0)=0.2,\qquad P(\xi=1)=0.5,\qquad P(\xi=2)=0.3. \] 从单个祖先开始，求灭绝概率。概率中等derivation未尝试面试订阅2924临界的 0 或 2 子代分枝过程设每个个体以概率 1/2 产生 0 个子代、以概率 1/2 产生 2 个子代。灭绝概率是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅2925若不可能生出 0 个子代，则不会灭绝设每个个体几乎必然至少有一个子代。对于从单个祖先开始的分枝过程，灭绝概率是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅2926Bernoulli 子代数除确定性外几乎必然灭绝设每个个体以概率 p 产生一个子代、以概率 1-p 产生零个子代。灭绝概率是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅2927泊松子代：什么时候存在正的存活概率？若子代分布是 Poisson ( )，写出灭绝概率方程，并说明什么时候存活概率为正。概率中等derivation未尝试面试订阅2928三个独立祖先下的灭绝概率若一个以单个祖先开始的分枝过程的灭绝概率为 q=2/3，那么当它改为从三个独立祖先开始时，至少有一条谱系永远存活的概率是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅