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Black-Scholes 偏微分方程的推导

1.4.3 · Black-Scholes 与希腊字母 · 金融与量化投资

周三上午十点半，上海陆家嘴某 私募 期权做市台上你接到一笔成交：客户从你这里买了 200 张 50ETF 期权（510050）的次月平值 call。系统瞬间把账面 Delta 推到 +12,300 股 ETF，你需要立刻在二级市场卖空相应数量的 510050 把方向风险砍掉。问题是：为什么「持有这张 call + 卖空 Delta 股标的」恰好能锁定一个无套利的瞬时收益？砍多少、按什么节奏再平衡，背后到底是什么方程？本课把这件事压成一个偏微分方程（partial differential equation, PDE），它就是 Black-Scholes 模型 的核心。

把组合摆出来

记标的价格为 StS_t，初值 S0S_0；持有的 欧式期权（European option）价值写作 V(St,t)V(S_t, t)，到期日 TT。对冲账户里同时持有：

  • 多头 1 张期权，价值 V(St,t)V(S_t, t)。
  • 空头 Δt\Delta_t 股标的，市值 −ΔtSt-\Delta_t S_t。

记组合价值 Πt=V(St,t)−ΔtSt\Pi_t = V(S_t, t) - \Delta_t S_t。一段无穷小时间 dtdt 内，组合的瞬时变动为

dΠt=dV−Δt dStd\Pi_t = dV - \Delta_t \, dS_t

这里把 Δt\Delta_t 视作在 dtdt 内不变（self-financing 条件下其再平衡产生的现金流恰好抵消），所以股票端只贡献价格变动 Δt dSt\Delta_t \, dS_t。Δt\Delta_t 之所以可以「随心选择」，是因为这个组合不是真实账户的盈亏，而是一个​​复制组合​​：你的目标是构造一个回报与 VV 完全一致的资产包，再由「同样的现金流必有同样的价格」反推 VV 的微分方程。

对 V 应用伊藤引理

上一课已把标的的动力学定为几何布朗运动 dSt=μSt dt+σSt dWtdS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t。把 V(St,t)V(S_t, t) 视为关于 SS 二阶连续可导、关于 tt 一阶连续可导，伊藤引理（Itô's lemma）给出

dV=(∂V∂t+μSt∂V∂S+12σ2St2∂2V∂S2)dt+σSt∂V∂S dWt\begin{aligned} dV &= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \tfrac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S_t \frac{\partial V}{\partial S} \, dW_t \end{aligned}

把 dVdV 代回 dΠtd\Pi_t，再代入 dStdS_t：

dΠt=(∂V∂t+μSt∂V∂S+12σ2St2∂2V∂S2−μStΔt)dt+σSt(∂V∂S−Δt)dWt\begin{aligned} d\Pi_t &= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \tfrac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - \mu S_t \Delta_t \right) dt + \sigma S_t \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_t \right) dW_t \end{aligned}

选 Delta 把随机项打死

这一步是整段推导真正的「机关」。dWtdW_t 前那一项的系数只要选

Δt=∂V∂S\Delta_t = \frac{\partial V}{\partial S}

就恒为零；dΠtd\Pi_t 就退化为纯漂移（drift）：

dΠt=(∂V∂t+12σ2St2∂2V∂S2)dtd\Pi_t = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \tfrac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt

注意 μ\mu 已经在这一步消失——μSt∂V/∂S\mu S_t \partial V / \partial S 与 μStΔt\mu S_t \Delta_t 完全抵消。这个动作在实务里就叫 德尔塔对冲（delta hedging）：把方向风险瞬时归零，组合只剩下二阶项贡献的确定性增量。

套上无套利：得到 PDE

到这里 dΠtd\Pi_t 已经是确定性的（不含 dWtdW_t）。在无套利市场里，任何确定性收益的瞬时回报必须等于无风险利率 rr 乘以本金，否则可以构造静态套利。因此

dΠt=rΠt dt=r(V−St∂V∂S)dtd\Pi_t = r \Pi_t \, dt = r \left( V - S_t \frac{\partial V}{\partial S} \right) dt

把这一式与上一步的 dΠtd\Pi_t 比较，去掉公因子 dtdt 并把所有项移到一边，就得到

  ∂V∂t+rS∂V∂S+12σ2S2∂2V∂S2−rV=0  \boxed{\; \frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \tfrac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - r V = 0 \;}

这就是 Black-Scholes 偏微分方程。三条事实先记下来：

  1. ​​μ\mu 不见了。​ 标的的真实漂移在「选 Delta」那一步就被对冲掉了。任何在 μ\mu 上做主观判断的人，得到的期权理论价应当与 BS 一致——这正是 风险中性（risk-neutral）定价的硬币正面。
  2. ​​σ\sigma 和 rr 留下来。​ 波动率提供二阶项的「燃料」，无风险利率提供贴现的尺度。两者都是定价必须输入的市场观测。
  3. ​方程对所有派生品都成立，区别仅在终值条件。​ Call、put、cash-or-nothing 用同一个 PDE，只是 V(S,T)V(S, T) 不同。

同一定理的另一面：风险中性期望

PDE 是「微分形式」，风险中性测度下的期望是「积分形式」，二者由 Feynman-Kac 公式互相翻译。对任意终值条件 V(S,T)=g(S)V(S, T) = g(S)，PDE 的解恰好等于

V(S0,0)=e−rT EQ ⁣[ g(ST)∣S0 ]V(S_0, 0) = e^{-rT} \, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \!\left[\, g(S_T) \mid S_0 \,\right]

其中 Q\mathbb{Q} 是上一课定义的风险中性测度，标的在 Q\mathbb{Q} 下漂移由 μ\mu 替换为 rr。这两条路径——PDE 与鞅期望——给出的价格永远一致；选哪条只是计算便利性的问题。下一课你会看到，欧式 call 的闭式解既能从 PDE 解出，也能从这一积分算出。

终值与边界条件

PDE 本身没有唯一解，必须配齐终值与边界条件。下表把三种 欧式期权 写在同一坐标系下：

合约终值条件 V(S,T)V(S, T)S→0S \to 0 边界S→∞S \to \infty 边界
欧式 call（执行价 KK）max⁡(S−K,0)\max(S - K, 0)V→0V \to 0V∼S−Ke−r(T−t)V \sim S - K e^{-r(T-t)}
欧式 put（执行价 KK）max⁡(K−S,0)\max(K - S, 0)V→Ke−r(T−t)V \to K e^{-r(T-t)}V→0V \to 0
现金或无价值（cash-or-nothing call）1{S≥K}\mathbf{1}_{\{S \geq K\}}V→0V \to 0V→e−r(T−t)V \to e^{-r(T-t)}

直觉：S→0S \to 0 时，几何布朗运动的乘性结构让标的「永远到不了 KK 之上」，call 价值归零；put 则锁定执行价的现值——你在 TT 时刻拿回的 ¥KK 用今天利率贴现回来就是 Ke−r(T−t)K e^{-r(T-t)}。S→∞S \to \infty 时，call 几乎肯定行权，价格趋近于「标的现价 −- 贴现执行价」的远期内在值；而 put 永远不行权，归零。这些条件不是「为了让 PDE 有解而硬加」，它们就是合约本身在极端情形下的支付函数。

Formula Explorer

0.5 * sigma**2 * S**2 * convex + r * S * slope - r * V

把 σ\sigma、rr、SS、slope=∂V/∂S\text{slope} = \partial V / \partial S、convex=∂2V/∂S2\text{convex} = \partial^2 V / \partial S^2 拖动，看 PDE 左侧的瞬时收益拆解：第一项是二阶凸性收益，第二项是融资项，第三项是贴现成本。任何欧式合约的瞬时 P&L 都按这三块切。

区域锚定：50ETF 期权 与 IO 股指期权

在 SSE 挂牌的 50ETF 期权（510050）做市，理想中的「连续对冲」遇到两个本地约束：

  • ​T+1 结算​​：今天在二级市场买入 510050 之后，明日才能再卖出。严格意义上的连续 Δt\Delta_t 再平衡做不到。沪深300 ETF 做市商通常通过预借融资融券（两融）头寸把 T+1 摩擦摊薄，或在 CFFEX 的 IF 主力合约里反向对冲股指 beta。
  • ​IO 股指期权​​（CFFEX 挂牌、标的为 沪深300 指数）则更直接：指数本身不可持有，只能用 IF 期货作为对冲工具。这就把 BS 推导里的「持空 Δ\Delta 股标的」改成了「持空若干手 IF 合约」，等价的对冲比率需要把合约乘数 ¥300/点与现货-期货 basis 一并考虑。

两个例子提醒你：PDE 的形式不变，但「现实里能多接近连续对冲」决定了模型与市价的偏离上限。理论 Delta 是一根可微曲线，实务 Delta 是带跳跃的台阶。涨跌停 触发的盘面、午休停盘、个别标的临时停牌都是这条台阶上的「断裂」——做市账户的对冲缺口就在这些时间窗口里累积，最终由风险准备金或日内 P&L 吃掉。理解 PDE 的推导路径，你就知道这部分偏离不是模型「错了」，而是模型的输入假设——「可连续再平衡的标的」——在 CN 市场上被打了折扣。

练习

Exercise

考虑一份现金或无价值（cash-or-nothing）看涨期权，到期日 TT 时若 ST≥KS_T \geq K 支付 ¥1，否则支付 0。

(a) 写出该合约的 PDE 终值条件以及 S→0S \to 0、S→∞S \to \infty 两端的边界条件。

(b) 设 V(S,t)=e−r(T−t)p(S,t)V(S, t) = e^{-r(T-t)} p(S, t)。把这个分离写法代入 BS PDE，验证 p(S,t)p(S, t) 满足的方程里不再出现 rVr V 项。

(c) 用 (a) 和 (b) 的结果说明：现金或无价值 call 的求解可以等价转化为求一个不含贴现项的退化 PDE 加上同样的终值条件。

提示
终值条件就是合约的支付函数本身：V(S,T)=1{S≥K}V(S, T) = \mathbf{1}_{\{S \geq K\}}。S=0S = 0 时几何布朗运动「锁死」在零附近，行权概率为 0；S→∞S \to \infty 时几乎确定行权拿到 ¥1，于是 V→e−r(T−t)V \to e^{-r(T-t)}。
提示
把 V=e−r(T−t)pV = e^{-r(T-t)} p 代回 PDE，用乘积法则展开 ∂V/∂t\partial V / \partial t。时间导带出 re−r(T−t)pr e^{-r(T-t)} p 这一项；与 PDE 末尾的 −rV=−re−r(T−t)p-r V = -r e^{-r(T-t)} p 恰好抵消，于是剩下的就是 pp 关于 S,tS, t 的退化方程。

通往下一课

到这里你已经知道：BS PDE 的来源是「Delta 对冲 + 无套利」，它的另一面是风险中性期望，二者由 Feynman-Kac 桥接；三种欧式合约共用同一个 PDE，区别只在终值。下一课的任务是把这台机器在欧式 call 的终值 max⁡(S−K,0)\max(S - K, 0) 下解出来——既走「热方程化简」路线，也走「风险中性期望直接积分」路线。两条路径终点是同一组 d1d_1、d2d_2，但只有都走一遍，你才能在交易台上随时把同一份定价代码做正向、反向的两种 sanity check。