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几何布朗运动与风险中性测度

1.4.3 · Black-Scholes 与希腊字母 · 金融与量化投资

周五下午两点四十，上海某私募基金的期权做市账户上挂着 200 张沪深300 ETF（510300）近月平值 call，对应 Delta 暴露约 +1.8 万股。屏幕上当日隐含波动率（implied volatility, IV）抬升了 2 个 vol，但标的 ETF 几乎没动。Pricing 同学甩出一个问题：「下一张 call 的理论价，我应该用今天的真实漂移、还是用 7 天回购利率减股息率？」这两条路给出的价格相差约 0.4 元——一笔 200 张的报价差就是 8 千块。本课先把这道选择题的概率背景讲清楚：标的在什么测度下运动？欧式期权（European option）的定价为什么不依赖标的的真实期望收益率？

一、两层概率：物理测度 P 与风险中性测度 Q

Black-Scholes 模型（Black-Scholes）的全部概率结构压在一句话里：标的在物理测度 P\mathbb{P} 下是一支几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM），在风险中性测度（risk-neutral measure, Q）下还是几何布朗运动，但漂移项被替换。

  • 在 P\mathbb{P} 下，标的的瞬时漂移 μ\mu 反映真实期望收益率——做研究的人想估、做交易的人未必关心。
  • 在 Q\mathbb{Q} 下，漂移变成 r−qr - q，其中 rr 是连续复利的无风险融资利率、qq 是连续复利的派息率。无套利（no-arbitrage）要求贴现后的标的过程是一支鞅（martingale），这一条直接决定了 Q-漂移必须是 r−qr - q。

直觉是：定价时你不需要预测股票涨跌，你只需要知道用什么利率融资、能拿到多少股息。真实漂移 μ\mu 在对冲账户里被「洗掉」，洗法靠的是测度变换。这一点对实习生来说常常反直觉——你做研究花了半年估出 μ≈8%\mu \approx 8\%，到定价时却完全不用。原因是：一旦能用标的本身复制期权的支付结构，期权价就只由标的的二阶矩（方差）决定，一阶矩（漂移）被对冲掉了。

这套两层结构在做市与卖方报价时还有一个工程优点：你只需要校准 σ\sigma，因为 rr、qq 可从市场利率与公司公告取，标的的真实漂移不必动。换句话说，物理测度 P\mathbb{P} 是科研用的，风险中性测度 Q\mathbb{Q} 是报价用的，两者分工清楚。

二、GBM 的 SDE 与对数解

设标的 StS_t 服从 GBM，物理测度下的随机微分方程是：

dSt=μSt dt+σSt dWtP,dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW^{\mathbb{P}}_t,

其中 WtPW^{\mathbb{P}}_t 是 P\mathbb{P} 下的标准布朗运动（Brownian motion，又名 Wiener 过程），μ\mu 与 σ\sigma 视为常数。

把对数函数 f(S)=ln⁡Sf(S) = \ln S 套进伊藤引理（Itô's lemma），推导分三步：

  1. 求一阶与二阶偏导：∂f/∂S=1/S\partial f / \partial S = 1/S，∂2f/∂S2=−1/S2\partial^2 f / \partial S^2 = -1/S^2。

  2. 代入伊藤引理，整理得到：

    d(ln⁡St)=(μ−12σ2)dt+σ dWtP.d(\ln S_t) = \left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma \, dW^{\mathbb{P}}_t.

  3. 在 [0,T][0, T] 上积分，得到闭式对数价：

    ln⁡ST=ln⁡S0+(μ−12σ2)T+σWTP.\ln S_T = \ln S_0 + \left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) T + \sigma W^{\mathbb{P}}_T.

请盯紧 −12σ2-\tfrac{1}{2}\sigma^2 这一项——它不是误差，是伊藤修正（Itô correction）。ln⁡S\ln S 是 SS 的凹函数，而布朗运动的二次变差不为零，凹函数下的平均值因此要往下偏一点。忽略这一项，等价于把对数正态当成正态来用，跑 Monte Carlo 会立刻看到价格系统性偏高。换个角度：在物理测度下 EP[ST]=S0eμT\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[S_T] = S_0 e^{\mu T}，但 EP[ln⁡(ST/S0)]=(μ−σ2/2)T\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\ln(S_T/S_0)] = (\mu - \sigma^2/2) T——对数的期望和期望的对数相差一个 σ2T/2\sigma^2 T / 2，这正是伊藤修正在数值上的影子。

读对数解的另一个用处：标的的对数收益率 ln⁡(ST/S0)\ln(S_T / S_0) 服从正态分布 N((μ−σ2/2)T,σ2T)\mathcal{N}\big((\mu - \sigma^2/2)T, \sigma^2 T\big)，因此 STS_T 服从对数正态分布。后面所有数值计算（包括下下一课的闭式定价）都把这个分布作为前提。

三、Girsanov：把 μ\mu 拧到 r−qr - q

定义 θ=(μ−(r−q))/σ\theta = (\mu - (r - q)) / \sigma，这是 GBM 在标量情形下的「市场风险价格」（market price of risk）。

  1. 在 P\mathbb{P} 下定义 Radon-Nikodym 密度 dQdP=exp⁡ ⁣(−θWTP−12θ2T)\tfrac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\!\left(-\theta W^{\mathbb{P}}_T - \tfrac{1}{2}\theta^2 T\right)。

  2. Girsanov 定理告诉你：在 Q\mathbb{Q} 下，过程 WtQ=WtP+θtW^{\mathbb{Q}}_t = W^{\mathbb{P}}_t + \theta t 是一支标准布朗运动。

  3. 把 dWP=dWQ−θ dtdW^{\mathbb{P}} = dW^{\mathbb{Q}} - \theta \, dt 代回原 SDE，漂移项里 μ\mu 被 θσ\theta\sigma 抵消，剩下 r−qr - q：

    dSt=(r−q)St dt+σSt dWtQ.dS_t = (r - q) S_t \, dt + \sigma S_t \, dW^{\mathbb{Q}}_t.

完整测度论证明留给 quantitative-skills.stochastic-calculus-foundations。这里你只需要看到：测度一换、漂移就从 μ\mu 滑到 r−qr - q，方差结构 σ\sigma 不动。

由此立刻得到鞅性质：贴现并扣股息的过程 S~t=e−(r−q)tSt\tilde S_t = e^{-(r - q)t} S_t 在 Q\mathbb{Q} 下满足 dS~t=σS~t dWtQd\tilde S_t = \sigma \tilde S_t \, dW^{\mathbb{Q}}_t，没有漂移——所以 S~t\tilde S_t 是一支 Q-鞅。再用一次塔性，欧式期权 VtV_t 的贴现过程 e−rtVte^{-rt} V_t 在 Q 下也是鞅，定价规则即：

V0=e−rT EQ ⁣[payoff(ST)].V_0 = e^{-rT} \, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\text{payoff}(S_T)\right].

下一课会把这条规则同时翻译成偏微分方程（partial differential equation, PDE）；再下一课直接代入欧式 call 的 payoff，求出闭式价。

四、参数滑块：Q 下的对数价中位

下面的探针让你拨动 S0S_0、rr、qq、σ\sigma、TT，看 Q 下 STS_T 的中位数 S0e(r−q−σ2/2)TS_0 e^{(r - q - \sigma^2/2) T} 如何响应：

Formula Explorer

S0 * exp((r - q - 0.5 * sigma * sigma) * T)

直觉检查：(1) r>qr > q 时中位上移；(2) σ\sigma 上升时中位下移（这是伊藤修正在直观层面的代价）；(3) T→0T \to 0 时回到 S0S_0。

五、区域锚定：300ETF 期权 vs CFFEX IO 股指期权

回到开头那张 510300 期权报价表。SSE 上市的 300ETF 期权和 CFFEX 上市的 IO 沪深300 股指期权同样按欧式期权结算，但 rr 与 qq 的取法明显不同：

  • ​300ETF 期权（SSE 510300）​​：标的是可直接持有的 ETF 份额。rr 取 7 天 CNY 回购利率（DR007 折年，2024-2026 区间多在 1.7%-2.2%）；qq 取 ETF 最近 12 个月的年化分配率（含成份股股息扣管理费，约 1.8%-2.5%）。Q-漂移 r−qr - q 经常落在 −0.5%-0.5\% 到 +0.4%+0.4\% 这一窄带——这是 300ETF 期权 put-call parity 现金边在数值上很「窄」的直接原因。
  • ​CFFEX IO 股指期权​​：标的是沪深300 指数本身、不可直接持有。实务上把对应到期的 IF 期货当作可交易代理，r−qr - q 隐含在 IF 与现货指数的基差里。融资融券中借券（融券）成本、临近到期的分红集中度都会渗进这条基差。再叠加 A 股标的 T+1 结算，连续对冲只能近似实现——下一课讨论 PDE 时会把这条偏差当作误差源标出来。

落到一个具体的报价对照里：假设 510300 现价 S0=4.20S_0 = 4.20、r=1.9%r = 1.9\%、q=2.3%q = 2.3\%、T=0.25T = 0.25，Q-漂移 r−q=−0.4%r - q = -0.4\%。市场看到的远期价应为 S0e(r−q)T≈4.1958S_0 e^{(r-q)T} \approx 4.1958。如果你按 put-call parity 用一对同行权价的 call 与 put 隐含出远期，得到 4.20，那么 0.0042 元的偏差几乎全部来自买卖价差（bid-ask spread）与做市商库存调节，而不是模型本身有问题——这是判断报价合不合理的第一关。

六、练习

Exercise

设 510300 现价 S0=4.20S_0 = 4.20 元，年化波动率 σ=0.18\sigma = 0.18，连续复利无风险利率 r=1.9%r = 1.9\%，连续复利股息率 q=2.3%q = 2.3\%，到期 T=0.25T = 0.25 年（约 3 个月）。求：(a) 风险中性测度下 STS_T 的期望与中位数；(b) ln⁡(ST/S0)\ln(S_T / S_0) 在 Q 下的均值与方差。

提示
STS_T 在 Q 下满足 ST=S0exp⁡ ⁣((r−q−12σ2)T+σWTQ)S_T = S_0 \exp\!\left((r - q - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W^{\mathbb{Q}}_T\right)。对数正态期望公式 EQ[ST]=S0e(r−q)T\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T] = S_0 e^{(r - q)T}；中位数对应指数项中 WTQ=0W^{\mathbb{Q}}_T = 0。
提示
代入 r−q=−0.004r - q = -0.004、σ2T=0.0081\sigma^2 T = 0.0081。(a) 期望 =S0e(r−q)T≈4.1958= S_0 e^{(r-q)T} \approx 4.1958；中位 =S0e(r−q−σ2/2)T≈4.1788= S_0 e^{(r-q-\sigma^2/2)T} \approx 4.1788。(b) ln⁡(ST/S0)∼N(−0.00505, 0.0081)\ln(S_T/S_0) \sim \mathcal{N}(-0.00505,\, 0.0081)。

七、通往下一节

到这里你已经会写 GBM 的 SDE、用伊藤引理推出对数解、用 Girsanov 把漂移从 μ\mu 拧到 r−qr - q，并落到风险中性定价公式 V0=e−rTEQ[payoff]V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{payoff}]。但这条期望形式有两个工程问题：一是「期望」对交易员不够直观，二是它没告诉你怎么对冲。下一节把同样的事用 Delta 对冲的视角再讲一遍——构造自融资组合 Π=V−Δ⋅S\Pi = V - \Delta \cdot S、用伊藤引理打开 dVdV、把 dWdW 项配掉，最终落到一条只含 rr 与 σ\sigma 的偏微分方程上。两条路径殊途同归，但 PDE 视角直接给你一份对冲账户的操作清单。