一阶希腊字母：Delta、Vega、Theta、Rho — Black-Scholes 与希腊字母

周一上午 9:31，距离开盘还有 60 秒。你坐在某家私募自营期权台前，账户里挂着 200 张 9 月平值（at-the-money, ATM）50ETF 期权（510050）的看涨合约（call）。集合竞价显示标的比上周五收盘高 0.6%，同时近月隐含波动率（implied volatility, IV）也抬升了 2 个 vol。眼前的问题只有一个：这两件事加在一起，对账户净值到底是利好还是利空，量级有多大？要回答它，你得把期权价格对四个输入——标的价、波动率、日历时间、利率——的瞬时敏感度（sensitivity）逐一拆开。这正是一阶希腊字母（Greeks）的工作。

四个一阶希腊字母（Greeks）：定义与单位

把上面这个开场（hook）翻译成数学就是「对各个输入求偏导」。Black-Scholes 模型（Black-Scholes, BS）下欧式期权（European option）的价格 $C(S, K, r, \sigma, T)$ 是五个连续变量的可微函数，固定其他四个、扰动其中一个，得到的偏导即对应的希腊字母。下表把四个一阶量、单位约定与「一句话直觉」并排放在一起，先把术语锚定下来：

符号	定义	默认单位	一句话直觉
Delta， $\Delta = \partial C / \partial S$	价格对标的的偏导	元 / 元	标的每涨 1 元，期权价值动多少元
维加（vega）， $\mathcal{V} = \partial C / \partial \sigma$	价格对波动率的偏导	元 / 单位 $\sigma$	$\sigma$ 抬 1 个绝对单位（= 100 vol 点），期权动多少元
西塔（theta）， $\Theta = \partial C / \partial t$	价格对日历时间的偏导	元 / 年	每过 1 年期权价值动多少元（通常为负）
Rho， $\rho = \partial C / \partial r$	价格对无风险利率的偏导	元 / 单位 $r$	$r$ 抬 1 个绝对单位（= 100bp），期权动多少元

这四个对象一起，把一份持仓的市场敞口分成正交的四块。你看到的任何一笔期权盘中盈亏，都能近似拆成「Delta 项 + 维加项 + 西塔项 + Rho 项」之和。

推导：对 Black-Scholes 模型逐输入求偏导

闭式价格在上一课已经写出（call 形式）：

C = S_0 \, N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2), \quad d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \tfrac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

期间反复用到一条恒等式，它让大部分残差项相消：

S_0 \, N'(d_1) = K e^{-rT} N'(d_2)

把 $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$ 代入高斯密度 $N'(\cdot) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ ，合并指数项即得。下面分四步求偏导。

Delta —— 对 $S_0$ 求导。链式法则展开后，两个 $N'(\cdot)$ 项依靠上式两两相消，留下：
$\Delta_{\mathrm{call}} = N(d_1), \qquad \Delta_{\mathrm{put}} = N(d_1) - 1$
put 形式由看跌看涨平价（put-call parity）直接读出（对 $S$ 求导得 $\Delta_C - \Delta_P = 1$ ）。Delta 落在 $[0, 1]$ （call）或 $[-1, 0]$ （put）之间：深度价内（deep ITM）趋近 $\pm 1$ 、深度价外（deep OTM）趋近 0、平值在低利率下位于 0.5 附近。Delta 也是德尔塔对冲（delta hedging）中需要做空标的的份额数，台面上的一切第一级对冲下单都从这个数开始。
维加 —— 对 $\sigma$ 求导。两侧 $N(\cdot)$ 的链式项依靠上面那条恒等式整段抵消，结果异常干净：
$\mathcal{V} = S_0 \sqrt{T} \, N'(d_1)$
call 与 put 的维加完全相同（看跌看涨平价对 $\sigma$ 求导左右两端恒为零）。维加始终非负——持有期权多头就是持有对波动率上行的敞口。
西塔 —— 对日历时间 $t$ 求导。约定 $\Theta = \partial C / \partial t$ ，对 $T$ 求导后取反号：
$\Theta_{\mathrm{call}} = -\frac{S_0 \, \sigma \, N'(d_1)}{2\sqrt{T}} - rK e^{-rT} N(d_2)$ $\Theta_{\mathrm{put}} = -\frac{S_0 \, \sigma \, N'(d_1)}{2\sqrt{T}} + rK e^{-rT} N(-d_2)$
第一项是时间价值的高斯衰减，call 与 put 同号同量；第二项是利率折现项，对 call 为负（押注上行需折现行权价）、对 put 为正。结果上 long call 的西塔几乎总为负——这是「期权多头每天交租金」的来源。
Rho —— 对 $r$ 求导。只有 $K e^{-rT}$ 显含 $r$ ，其他依赖经 $d_1, d_2$ 推回去又消掉（仍由上述恒等式保证），得：
$\rho_{\mathrm{call}} = K T e^{-rT} N(d_2), \qquad \rho_{\mathrm{put}} = -K T e^{-rT} N(-d_2)$
短期股票期权的 Rho 量级最小：典型 3 个月平值合约的 Rho 约为 0.1，而 Delta 在 0.5、维加在百元量级。日常股票期权常把 Rho 并入「常数预算」；只有 1 年以上 LEAPS 才有必要单独算 Rho。

形状：希腊字母怎么随价位、时间、波动率变（sensitivity 直觉）

下面这张交互式公式探索器把维加在平值附近的近似 $\mathcal{V} \approx S_0 \sqrt{T} / \sqrt{2\pi}$ 画出来（除以 100 转为「每 1 个 vol 百分点」的桌面口径）：

Formula Explorer

S * sqrt(T) * 0.3989 / 100

把 $S$ 从 3 元（50ETF 量级）拉到 6000（沪深300 指数量级），维加线性放大；把 $T$ 从 0.01（约 3.6 个日历日）拉到 1，维加按 $\sqrt{T}$ 增长——这就是「期权多头喜欢长期 + 高标的价位」的几何理由。

进一步，有几条「肌肉记忆」级的形状值得记牢：

Delta vs 价位：在平值附近最陡（因为正是 $N'(d_1)$ 处于峰值）；两端深度价内 / 价外都趋近常数。
维加 vs 价位：平值处最高、两端衰减；离到期越近、形状越尖。
西塔 vs $T$ ：长期期权西塔被时间摊薄，临近到期西塔急剧加速（分母里的 $\sqrt{T}$ 趋零）。
Rho vs $T$ ：随 $T$ 单调放大；只有长期合约才把 Rho 单列为风险维度。

区域锚定（region anchoring）：从 0.45 delta 到 4,500 股 510050

把抽象的 Delta 翻译成台面上的对冲量。SSE 上市的 50ETF 期权（510050 series）合约乘数（contract multiplier）为 10,000 股标的 ETF，即一张合约对应 10,000 份 510050。若你手上某月平值看涨合约的每股 delta = 0.45：

每股 delta：0.45（标的每涨 1 元，单张合约价值近似动 0.45 × 10,000 = 4,500 元）。
单张合约 delta：0.45 × 10,000 = 4,500 股 ETF 等效。
200 张组合 delta：4,500 × 200 = 900,000 股 ETF；在 510050 现价 2.80 元下对应约 ¥2.52M 名义敞口（notional）。
沪深300 等价：把它换算成 CFFEX 沪深300 股指期货（IF）的手数——这是私募期权台日常的关键一步。50ETF 与沪深300 指数贝塔约 0.85，IF 合约名义约 ¥1.06M（3,520 点 × ¥300/点），所以这个组合的指数级敞口需要约 $(¥2.52\mathrm{M} \times 0.85) / ¥1.06\mathrm{M} \approx 2$ 手 IF 空头才能近似中性。

注意中金所（CFFEX）上市的沪深300 指数期权（IO）合约乘数是 ¥100/点，希腊字母必须报「元 / 点」而非「元 / 股」——口径搞错一档，Delta 报表就要差一个数量级。

实操约定：per share / per contract / per vol / per day

落到日常交易，还有三件约定常常踩坑：

Delta 报「per share」还是「per contract」：研究报告（sell-side report）多数报 per share（0.45），风控系统多数报 per contract（4,500）。两个口径混进同一张表，对冲下单立刻差 10,000 倍。
维加报「per 1 vol」还是「per 1 unit $\sigma$ 」：交易台默认每 1 vol 点（即 0.01 个绝对 $\sigma$ ）；数学公式给出的 $S_0 \sqrt{T} N'(d_1)$ 还要除以 100 才落到桌面口径。
西塔按日历日还是交易日：CN 的 510050 期权周末与节假日不交易，但时间价值仍在衰减，所以风控按日历日折算（一年 365 天）；交易部位的「每日 burn」常按交易日（一年约 244 天）估，两个口径相差近 50%。叠加 T+1 结算（现货 T+1、期权日内 T+0）的错位，隔夜希腊字母还会再变形。

练习

Exercise

510050 现价 $S_0 = 2.80$ 元；3 个月平值看涨期权（行权价 $K = 2.80$ ）的隐含波动率 $\sigma = 20\%$ ；无风险利率 $r = 2\%$ ；合约乘数 10,000。（a）用平值近似 $d_1 \approx (r + \sigma^2/2)\sqrt{T}/\sigma$ 估算每张合约（per contract）的 Delta、维加、西塔、Rho 数值。（b）你持有 200 张该合约多头。若日内标的下跌 1.5%、IV 抬升 3 个 vol、过夜一天，给出三项 P&L 贡献的近似分解（单位元，符号自行判断）。

提示

平值近似下 $d_1 \approx (r + \sigma^2/2)\sqrt{T}/\sigma$ ， $N(d_1) \approx 0.5 + 0.4 \, d_1$ ， $N'(d_1) \approx 0.399$ 。代入 $S = 2.80$ 、 $T = 0.25$ 、 $\sigma = 0.20$ 即可；记得最后把 per share 乘以乘数 10,000 转 per contract。

提示

组合 P&L ≈ Delta 项 + 维加项 + 西塔项。Delta 项 = 0.45 × ΔS（元）× 10,000 × 200；维加项 = 维加(per vol) × Δ_vol × 200；西塔项 = 西塔(per day) × Δ_t × 200。标的跌为负、vol 抬为正、过夜为负——三项符号在脑中先定，再代数。

通往下一课（bridge to next lesson）

到这里你能写出四个一阶希腊字母的闭式、解释每一个符号的方向，并把抽象的 0.45 delta 翻译成 4,500 股 50ETF 的对冲量。但这只是第一层近似——标的价的扰动不仅触发 Delta，还触发 Delta 本身的变化；波动率的扰动也会反过来改变 Delta。当你按当下 Delta 完成一次再平衡（rebalancing）后，标的继续滑动，剩余敞口由曲率决定。下一课展开二阶希腊字母与对冲损益分解：为什么「西塔是曲率的对价」、为什么单按 Delta 对冲在剧烈行情中会漏出可观的残差 P&L，以及交易台如何把日内 P&L 一行一行归因到对应的二阶项上。