持有成本与无套利定价 — 期货与远期

周一早盘开盘前 15 分钟，一位上海的私募基金量化研究员把沪深300 指数 (CSI 300) 的现货收盘 3,800 输入终端，按 90 天到期、年化股息率 2.0%、SHIBOR 3M 1.8% 估算出一个理论 IF 远期价 3,797.8 点。屏幕上中金所 (CFFEX) IF2406 的开盘报价是 3,802。差 4.2 点——折成名义价值 0.11%，对应 1 手 ¥1,260 的「机会窗口」。是真套利、还是被买卖价差 (bid-ask spread) 和融资融券借券成本一口吃掉？本节给你一把分析尺：从无套利论证推出 $F_0 = S_0 \cdot e^{(r-q)T}$ ，把每一项偏离都翻译成现金流，并算出在真实交易成本 (transaction cost) 下「值得动手」的最小价差。

一、无套利核心思想：现金—持有的两条路径

固定一个未来时点 $T$ 和一个标的资产 $S_t$ 。两种方法在 $T$ 时刻都能让你「持有 1 单位 $S$ 」：

路径 A——现货持有：今天借入 $S_0$ 现金，按无风险利率 $r$ 复利，立刻买入 1 单位 $S$ ，持有到 $T$ 。若资产支付连续股息率 $q$ ，分红可再投资到 $S$ 上，期末持有 $e^{qT}$ 单位 $S$ 。
路径 B——远期合约：今天签远期，约定到期日 $T$ 以约定价 $F_0$ 买入 1 单位 $S$ 。今天无现金支出，期末需要支付 $F_0$ 。

两条路径在 $T$ 时刻交付的资产数量相同（路径 A 多持有的 $(e^{qT} - 1)$ 单位 $S$ 可在 $T$ 时刻卖回换现）。无套利 (no-arbitrage) 要求两条路径今天的成本相同，否则可同时做多便宜的一边、做空贵的一边，锁定无风险利润。这一条约束直接给出投资型资产的远期定价公式：

F_0 = S_0 \cdot e^{(r-q)T}

这一推导隐含两条假设：现金可按 $r$ 借贷，标的可按 $S_0$ 自由多空。在风险中性 (risk-neutral) 测度下，贴现后的远期价格是鞅 (martingale)——这是同一关系的概率视角，本节不展开，下文需要时再点到。

二、滑块感受参数变化

下面的探针让你拨动 $S_0$ 、 $r$ 、 $q$ 、 $T$ ，观察 $F_0$ 的响应：

Formula Explorer

S0 * exp((r - q) * T)

直觉检查：(1) $r > q$ 时 $F_0 > S_0$ （净持有成本为正，远期升水）；(2) $r < q$ 时 $F_0 < S_0$ （升水翻贴水）；(3) $T \to 0$ 时 $F_0 \to S_0$ （到期收敛）。

三、加上仓储与便利收益的商品情形

对实物商品，公式需要扩展。除了利率 $r$ ，持有现货还要付仓储成本 $u$ （按连续年化率），但持有现货也带来便利收益 $y$ （库存可应对突发需求、避免运输延误）。完整形式：

F_0 = S_0 \cdot e^{(r + u - y) T}

以 SHFE 铜 (CU) 为例： $r$ 取上海银行间隔夜利率 (DR007) 折年； $u$ 包含上海期货交易所认证仓库租金、保险与资金占用，年化通常在 1–3%； $y$ 在库存紧张时拉高、宽松时回落，靠近 LME 铜的便利收益可作交叉参考。当 $u - y$ 翻成正值时 $F > S$ （contango，升水）；翻成负值时 $F < S$ （backwardation，贴水）——下一节再做基差分析。

四、远期 vs 期货：什么时候两者相等

公式推出的是远期价格，而我们在终端上看的是期货价格。两者在如下条件下完全相等：标的与无风险利率无相关。

实务里大多数情况近似成立，但严格不成立时，期货每日盯市 (mark-to-market) 会引入一个凸度调整 (convexity adjustment)：当标的与短期利率正相关，期货价高于远期价；负相关则低于。形式上记作 $F_{\text{futures}} \approx F_{\text{forward}} + \text{Cov}_Q(\Delta S, \Delta r) \cdot T$ 的小项。对短到期股指期货而言，凸度调整通常在 1 个基点 (basis point) 内，可忽略；对长到期利率期货，必须显式校准。

五、把公式拿到 IF 报价上做一次校准（worked example）

输入	数值
$S_0$ （CSI 300 现货）	4500
$r$ （年化无风险利率）	0.045
$q$ （年化股息率）	0.015
$T$ （年化期限）	0.25

代入 $F_0 = S_0 \cdot e^{(r-q)T}$ ：

\begin{aligned} F_0 &= 4500 \cdot e^{(0.045 - 0.015) \cdot 0.25} \\ &= 4500 \cdot e^{0.0075} \\ &= 4500 \cdot 1.007528 \\ &= 4533.83 \end{aligned}

如果 IF 当月报价 4540，则远期溢价约 6 点；折成名义价值约 0.13%。下一步把可观察的交易成本逐项落地：买卖价差 (bid-ask spread) 一个最小变动 = 0.2 点；交易所手续费按双边万分之零点几估算约 0.3 点；融资融券借券成本年化 6% 折 90 天约 1.5%—这一项才是 A 股市场上 IF 套利往往不可行的真正原因。把这三项打到一边，可执行的无套利带宽接近 2–4 点，4540 与 4533.83 之差刚好挤在带边——做不做这笔基差，取决于你能不能凑齐借券。

六、练习

Exercise

某不分红股票，现价 $S_0=100$ ，年化无风险利率 $r=4\%$ 。求 6 个月远期价格 $F_0$ ；若市场远期报 105，请指出可锁定的套利路径。

提示

不分红 (

q=0

) 直接套用

F_0 = S_0 e^{rT}

，

T = 0.5

。把套利想成两条现金—持有路径的成本差：若市场价 > 理论价，应做空远期、同时借钱买现货。

提示

F_0 = 100 \cdot e^{0.02} = 102.02

。市场 105 > 102.02：今天借 100、买入 1 股，签远期卖 105；到期偿还借款本息

100 \cdot e^{0.02} = 102.02

；锁定无风险利润

105 - 102.02 = 2.98

。

七、通往下一节

到这里你已经能从无套利论证推出 $F_0 = S_0 \cdot e^{(r-q)T}$ 、处理仓储与便利收益的商品扩展、识别远期与期货发生凸度差异的条件，并把交易成本翻译成实操的无套利带宽。但屏幕上看到的不是单个 $F_0$ ，而是整条期货曲线：当月、下月、当季、下季四个到期合约同时报价，形状（升水还是贴水）随 $r$ 、 $q$ 、 $u$ 、 $y$ 滚动变化。下一节把这条曲线拆开来看——定义基差 (basis)、解释 contango 与 backwardation，并把多头滚月时的滚动收益 (roll yield) 算清楚。