二叉树定价与美式期权提前行权

周二上午八点四十二，上海陆家嘴一家私募基金的衍生品台。屏上一笔港股通项下美式期权（American option）报价请求：标的为低股息港股 ETF，6 个月到期，对端要求当日开仓。下一模块 1.4.3 你会推出的 Black-Scholes 模型（Black-Scholes）一行就能定出欧式期权（European option）孪生合约的价，却答不出今天的核心问题——无股息标的上的美式看跌，凭什么严格贵于欧式同款？本课交给你的工具是一棵后向归纳的二叉树：每个内部节点让立即行权与折现连续值比一刀。你会顺手拿到欧式定价器、用看跌看涨平价（put-call parity）做交叉校验，以及一座可在下一模块坍缩到 Black-Scholes PDE 的离散脚手架。

一步树与复制论证

一个周期 $\Delta t$ 内，标的现货 $S_0$ 上行到 $S_0 u$（$u > 1$）或下行到 $S_0 d$（$0 < d < 1$），无风险利率 $r$ 连续复利。一张行权价 $K$、到期 $T = \Delta t$ 的欧式期权两状态收益分别为 $C_u$、$C_d$——看涨时 $C_u = \max(S_0 u - K, 0)$、$C_d = \max(S_0 d - K, 0)$；看跌交换 $\max$ 内两项的位置。

构造 $\Delta$ 股标的加 $B$ 现金的复制组合。匹配两状态：

1. 相减得到对冲股数 $\Delta = (C_u - C_d) / [S_0 (u - d)]$。
2. 代回得 $B = e^{-r \Delta t} (u C_d - d C_u) / (u - d)$。
3. 无套利下，期权 $t = 0$ 价等于复制成本 $C_0 = \Delta S_0 + B$。

整理合并，历史的上行概率消失。留下

与一步定价恒等式

权重 $p^*$ 落入 $(0, 1)$ 当且仅当 $d < e^{rT} < u$——这正是无套利条件。落到区间之外，就能空现金、多优势资产套出一笔无风险收益。复制锁住公式，公式锁住概率。

风险中性测度与鞅性质

把 $p^*$ 叫做上行的​​风险中性​​（risk-neutral）概率。在权重 $p^*$ 的等价测度 $\mathbb{Q}$ 下，折现后的标的 $e^{-r t} S_t$ 是一只​​鞅​​（martingale）：$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_{\Delta t}] = p^* S_0 u + (1 - p^*) S_0 d = S_0 \, e^{r \Delta t}$，折现回 $S_0$。同一恒等式说期权价等于到期收益在 $\mathbb{Q}$ 下的折现期望——这是 1.4.3 每条闭式结论背后的思维范式。两点记牢：你从未估过现实漂移；规则按归纳自然外推——任意更早节点的价等于一步以后价的 $\mathbb{Q}$ 折现期望，这就是后向归纳引擎的全部内容。

一步欧式 call 代入演练

取 $S_0 = 100$、$u = 1.10$、$d = 0.9091$（$u d = 1$，中心对称树）、$r = 0.04$ 每周期、$\Delta t = 1$、平值 $K = 100$。末端 $S_u = 110$、$S_d \approx 90.91$，一步欧式 call 收益 $C_u = \max(110 - 100, 0) = 10$、$C_d = 0$。风险中性概率

把 $p^*$、折现因子 $e^{-0.04} \approx 0.9608$ 与两条收益代入恒等式，再让同一套脚手架推过下面 BinomialTree 组件给出的第二个周期；这组参数下欧式 call 的价格 $C_0 \approx 7.45$（人民币）。比数字更要紧的是它怎么来：你把 $S_T$ 未知的现实分布换成有限状态加一个风险中性权重，价格以折现期望的形式落地。偏好、预期收益、现实漂移——一个都不在场。

exp(-r * T) * (p * Cu + (1 - p) * Cd)

把 $p$ 从 $0.5$ 拖到 $0.9$，价格线性追踪；把 $r$ 从 $0$ 推到 $0.10$，折现因子把答案压扁。价格对 $p$ 远比对 $r$ 敏感——同一项排序在 1.4.3 闭式希腊字母上对应 vega 主导、rho 次之。

两步树的后向归纳

把脚手架延伸到两个周期。末端 $S_{uu} = 100 \cdot 1.10^2 = 121$、$S_{ud} = 100$（中心树一上一下回到现货）、$S_{dd} = 100 \cdot 0.9091^2 \approx 82.64$。call 末端收益 $C_{uu} = 21$、$C_{ud} = 0$、$C_{dd} = 0$，逐节点用一步公式回推一格，再回推到 $t = 0$。下面的 BinomialTree 组件把欧式 call 与美式看跌的每个节点现货、收益与回推价并排展示。

机械步骤就是整个算法：每个节点上，价 $=$ 折现 $\times$ 下一步价的风险中性期望。两个状态、一个权重、一次折现，反复套用。树只是这套递归的记账方式。

欧式看跌与平价自检

把看跌末端收益代入回推：$P_{uu} = 0$、$P_{ud} = 0$、$P_{dd} = 100 - 82.64 \approx 17.36$。中间节点欧式看跌 $P_u = 0$（下游两路皆零）、$P_d \approx 5.19$（只剩 $dd$ 一条路径贡献），根节点回推 $P_0 \approx 1.55$。

用看跌看涨平价（put-call parity）在同一棵树上做交叉校验：无股息、同 $(K, T)$ 时 $C_0 - P_0 = S_0 - K \, e^{-rT}$。此处 $T = 2 \Delta t = 2$、$K \, e^{-rT} = 100 \, e^{-0.08} \approx 92.31$，平价预测 $C_0 - P_0 \approx 7.69$。把树上回推的 call 与 put 代入左侧，残差超出舍入量级就一定是递归里有符号错——这是你能跑在树状定价器上最便宜的一项单元测试，也是任何卖方独立估值组在切净值前都要对全本期权账复核的同一项检查。

美式期权：连续值与立即行权取较大

美式期权（American option）允许持有人在到期前任意节点行权。后向归纳递归只改一行——每个内部节点上，期权价取「立即行权收益 $\text{IV}(S_t)$」与「折现的风险中性连续值」两者较大：

其中看跌 $\text{IV}(S_t) = \max(K - S_t, 0)$、看涨 $\max(S_t - K, 0)$；末端值不变。形式上只多一道 $\max$，价格上却能差出一截。

把同一棵两步树跑美式看跌。末端与欧式同。$t = \Delta t$ 上节点 $S_u = 110$，立即行权 $0$、连续值 $0$，美式价与欧式持平。下节点 $S_d \approx 90.91$ 才是戏眼：立即行权拿 $K - S_d \approx 9.09$，连续值仅 $e^{-0.04} \cdot 0.3111 \cdot 17.36 \approx 5.19$。美式持有人当场行权锁住 $9.09$；欧式合约约束下不能动手，只能持有到期，止于 $5.19$。

根节点上的提前行权溢价 $P_0^{\text{Am}} - P_0^{\text{Eu}} \approx 1.17$——按现货 $100$ 折算约 $1.2\%$，全部来自下节点上「比欧式早一格行权」的权利。境内 SSE 与 SZSE 挂牌的 ETF 期权（如 510050.SH、510300.SH）以及 CFFEX 沪深300 股指期权（IO）都是欧式现金交割，这道美式溢价在 A 股一侧不会咬到；真正咬到的场景是港股通项下美式权证、跨境美股 ADR 期权一类标的——你为「美式」上市真正交付的，正是它。

无股息标的上的美式 call

接下来这一项不对称会让头一次见的人惊讶：在无股息标的上，提前行权美式 call 从来不是最优。第 3 课的下界论证给你 $C \geq S - K \, e^{-rT} \geq S - K$：提前行权交回内在价值 $S - K$，活的 call 至少值 $S - K \, e^{-rT}$，只要 $r > 0$、$T > 0$ 就严格更大——把 call 卖到市场上永远好过行权。二叉树上一目了然：每个内部节点 $\max$ 里立即行权一项都输给连续值一项，于是美式 call 价恒等于欧式 call 价。二叉树之所以是国内外量化金融入门课的标准早期定价器，正是因为它把这道美式调整压成了这一行，远比给连续 Black-Scholes 模型 PDE 加自由边界条件来得轻巧。

例外是股息。一笔现金股息恰好在除息日发放，除息后 $S$ 瞬时下跌一个股息额、随后的 call 收益整体下移；除息前一刻行权可以把这笔本会被吞掉的股息拿到手。香港低股息单股期权、境外高股息 ADR 上看到的「提前行权美式 call」操作就来自这条机制——在递归里只需在对应节点把 $S$ 减去股息额、让 $\max$ 里立即行权一项重新参与比较即可。

通向 Black-Scholes

到这里你已拿到本模块第一个量化定价模型：无套利复制锁定唯一价、风险中性概率 $p^*$ 吞掉不需估的现实漂移、后向归纳同时承欧式与美式、一行 $\max$ 把两者切换开。还缺的是连续时间极限。让步数趋于无穷、$\Delta t \to 0$，保持 $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ 与 $d = 1/u$，二叉树递归就收敛到 Black-Scholes 偏微分方程及其闭式 call 价。这一极限是下一模块 1.4.3 的主线：你会从 PDE 推出 Black-Scholes、分解出闭式希腊字母、再用「步数足够多的二叉树价」与闭式价对到几个 bp 之内作互检。把本课的代入算例与平价自检随身带去——同一组参数就是检验极限收敛的天然标定，校验脚本一字不改地能复用。