看跌看涨平价与无套利价格边界 — 期权基础

上午十点十四分，你坐在某私募衍生品交易台前，510300.SH（沪深300 ETF）4.00 元行权价、30 天到期的近月合约刚刚跳价：欧式看涨期权（European option，简称 call）卖一报 0.082，看跌期权（put）卖一报 0.072。SSE 现货 ETF 价 4.01，30 天 RMB 回购利率（r）约 1.8%，ETF 隐含分红率 q 约 2.0%。把这些数代入带股息的看跌看涨平价（put-call parity），模型无关的 $C - P$ 应落在 0.016 附近。屏幕中价给出 $C - P = 0.010$ ，缺口约 0.006。这点缺口是真信号、还是被买卖价差（bid-ask spread）、交易成本（transaction cost）、融券借券利息一并吞掉的残差？本课给你一把尺子：不用任何波动率模型，也不用风险中性（risk-neutral）测度，只用无套利复制（no-arbitrage replication）和四个不等式，就能把每张欧式期权的合法价格框住。

两个组合，同一份到期收益

固定同一只标的、同一行权价 $K$ 、同一到期 $T$ 的一张欧式 call 与一张欧式 put。考虑两份持有到 $T$ 的组合：

组合 A：1 张 call，加上以无风险利率 $r$ 投资的现金 $K e^{-rT}$ ，到期时这笔现金正好滚成 $K$ 。
组合 B：1 张 put，加上 1 股标的。

把两份组合分别推到 $T$ ，比较两种情形下的到期收益：

组合	$S_T < K$ 时收益	$S_T \geq K$ 时收益
A：call + 现金 $K e^{-rT}$	$0 + K = K$	$(S_T - K) + K = S_T$
B：put + 1 股标的	$(K - S_T) + S_T = K$	$0 + S_T = S_T$

两行逐列相等。两份在任何 $S_T$ 路径下到期收益完全一致的组合，今天必须卖同一个价钱——否则做空较贵的一份、买入较便宜的一份，就能锁定无风险的差额。把今天的成本代入相等条件：

C + K e^{-rT} = P + S_0

整理得：

C - P = S_0 - K e^{-rT}

这就是无股息标的下的欧式看跌看涨平价。等式里没有任何关于 $S_T$ 分布的参数——既没有 sigma，也没有漂移，更没有概率测度的影子。它是一条结构性恒等式，对任何无套利市场都成立。

加入连续股息率

若标的支付连续股息率 $q$ （沪深300 ETF、上证 50ETF、CSI 300 指数本身都按这个模型处理），今天持有 1 股和到期持有 1 股就不是同一份交付凭证：期间分红被再投资后，到 $T$ 时累积成 $e^{qT}$ 股。更干净的对齐是让组合 B 期初买入 $e^{-qT}$ 股，分红再投资后到期正好持有 1 股。重做上面的比较，得到带股息修正的平价：

C - P = S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}

在沪深300 ETF 上， $e^{-qT}$ 这一项不能省：年化 2.0% 的分红率折到 30 天约 16 bp，远大于平值期权 1–2 bp 的买卖价差。 $q = 0$ 时公式退化回 $C - P = S_0 - K e^{-rT}$ ，单只无分红 A 股恰好如此。同一恒等式也可由风险中性定价下「贴现资产价格为鞅」的假设直接推出，本质内容并无新增。

拖动下方的滑条，观察各参数如何推动平价隐含的 $C - P$ ：

Formula Explorer

S0 * exp(-q * T) - K * exp(-r * T)

四条模型无关边界

平价钉死了 $C$ 与 $P$ 的差，但还没框出各自的水平。再补两条无套利论证——一条下界、一条上界——分别贴到 call 与 put 上即可。

call 的下界：在 $t = 0$ 比较两份组合：(i) 1 张 call；(ii) $e^{-qT}$ 股标的减去一笔 $K e^{-rT}$ 的借款。到期时 (ii) 收益为 $S_T - K$ ，(i) 收益为 $\max(S_T - K, 0)$ ，逐状态不小于 (ii)。因此 call 今天的成本不小于 (ii) 的成本： $C \geq S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}$ 。再加上 $C \geq 0$ 这条平凡下界：

C \geq \max(S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}, 0)

对 put 做对称论证：

P \geq \max(K e^{-rT} - S_0 e^{-qT}, 0)

上界：call 给你以 $K$ 换 1 股的权利，因此其价值不可能超过那 1 股本身——折掉分红后今天值 $S_0 e^{-qT}$ 。put 给你到期收 $K$ 的权利，因此其价值不可能超过那笔现金本身今天的贴现 $K e^{-rT}$ ：

C \leq S_0 e^{-qT}, \qquad P \leq K e^{-rT}

四条不等式合起来圈出无套利走廊。任何越界的报价，扣掉摩擦后就是免费午餐。下图把 call 的两条边界画在一张图上，固定 $K = 100$ 、 $r = 0.04$ 、 $q = 0.015$ 、 $T = 0.25$ ：

Interactive Widget

该交互组件的正式实现会随课程交互层一起接入。当前 beta 先保留正文、公式和练习内容。

下界是一条折线——当 $S_0 e^{-qT} < K e^{-rT}$ 时压在 0；越过这个临界点后以斜率 $e^{-qT}$ 上行。上界是直线 $S_0 e^{-qT}$ 。真实 call 价格在这条走廊内部，与两条边界的距离即是时间价值，正是 Black-Scholes 课程要处理的对象。

一组数值核对

把以下参数代入带股息平价（在 CN 解读为沪深300 ETF 以 RMB 计价的合约）：

输入	数值
$S_0$	100
$K$	100
$r$ （年化无风险利率）	0.04
$q$ （年化分红率）	0.015
$T$ （到期年化）	0.25

直接计算：

\begin{aligned} C - P &= 100 \cdot e^{-0.015 \cdot 0.25} - 100 \cdot e^{-0.04 \cdot 0.25} \\ &= 100 \cdot e^{-0.00375} - 100 \cdot e^{-0.01} \\ &= 99.6257 - 99.0050 \\ &\approx 0.6210 \end{aligned}

平值 call 应当比 put 贵约 0.62。屏幕上的 $C - P$ 若落在 0.62 ± 买卖价差以内，平价成立；若偏离超过 0.10，先怀疑参数测错或 ETF 有特别分红落在窗口里，再考虑套利。

转换与反向：把平价差交易出来

当 $C - P$ 漂离 $S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}$ 时，套利交易也有固定名字与方向：

转换（conversion）： $C - P$ 偏高（call 相对 put 太贵）。卖出 call、买入 put、买入标的、借入 $K e^{-rT}$ 现金。今天的净现金流为正；到期时「多头 put + 多头标的 − 空头 call」无论 $S_T$ 多少都净额为 $K$ ，正好与借款本息相抵，开仓时的现金差额被锁定为无风险收益。
反向（reversal）： $C - P$ 偏低（put 相对 call 太贵）。反向操作上述四条腿。

两套交易都是纯复制——不押方向、不押波动率、不依赖任何模型。让它在实务里能不能跑通，全看摩擦能否被覆盖：两条期权腿的买卖价差、现货腿在 SSE 的印花税与佣金、做空标的所需的融券费率（A 股转融券）与 T+1 结算占用，以及现金腿用的真实回购利率而非教科书 $r$ 。在 CFFEX 的 CSI 300 IO 严格欧式指数期权上，这套对机构相对干净；散户则受限于投资者适当性与融券额度，多数无法实际执行。在单只 A 股上更微妙：转融券供给薄、借券费率高且时变，理论上违反边界的报价能持续相当长时间——无套利论证给的是「应该成立」，能不能交易出来还要看交易成本能否被覆盖。

最后一点提醒：本课所有等式均建立在欧式期权前提下。若标的为美式期权（American option），提前行权权利让等式变成不等式 $C - P \geq S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}$ ，模块第 5 课会把这个偏差用二叉树量化清楚。

练习

Exercise

European options on a non-dividend stock: $S_0 = 50$ , $K = 50$ , $r = 5\%$ , $T = 1.0$ . The call trades at $C = 6.00$ . (a) Use parity to compute the no-arbitrage put price $P$ . (b) If the market quotes $P = 4.50$ , identify the arbitrage trade and the locked-in P&L per share.

提示

无股息情形下，平价化为

C - P = S_0 - K e^{-rT}

。先算

K e^{-rT} = 50 e^{-0.05} \approx 47.56

，再解出

P

；与市场 4.50 比较，谁贵就卖谁、买入合成腿。

提示

理论

P \approx 3.56

；市场 4.50 偏贵 0.94。卖 put、做空标的、买 call、贷出 47.56：开仓净现金

4.50 + 50 - 6.00 - 47.56 \approx 0.94

每股，到期无论

S_T

多少均锁定。

衔接下一课

你现在能从一条无套利复制推出欧式看跌看涨平价、把它干净地扩展到连续股息率、并把 call 与 put 的合法价格框入四条模型无关边界。所有结果都建立在单张期权上。下一课把多张期权拼起来：构造牛市/熊市价差、跨式、勒式、零成本领口，把每种组合读成一张到期收益图。届时平价会反复登场——长仓标的可分解为「同行权价的多头 call 加空头 put」，正是交易台在无法或不愿持有标的时合成股票敞口的标准做法。