矩阵代数与线性方程组

深圳某券商衍生品做市团队周五下午收到一封 CFFEX 合规问询：47 套挂在沪深300 股指期货上的对冲策略，监管想知道是否存在两套策略相互冗余——也就是说某一套是其他几套的线性组合。问题背后是同一个矩阵 $A$：列是各策略的盯市 P&L，秩决定了一切。若 $A$ 列满秩，47 个方向线性无关；若不满秩，过去几个月里有人在重复申报相同的风险敞口。本节给你回答这个问题需要的代数工具：把矩阵乘法理解为映射复合，把高斯消元用作揭示秩的引擎，把可逆性的四个等价刻画一次性厘清。

一、矩阵乘法即线性映射的复合

上一节里你已经看到，一旦取基，线性映射 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 化作矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$。同理，若 $S: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ 化作 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，则复合 $T \circ S: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m$ 也必然对应一个矩阵——它就是 $AB$。按列推开复合的定义，立刻得到熟悉的行乘列公式：

$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$

「乘法即复合」这一观点立刻给出三件事：第一，结合律 $(AB)C = A(BC)$ 成立，因为函数复合本身满足结合律；第二，分配律 $A(B + C) = AB + AC$ 成立；第三，乘法​​不​​满足交换律，一般 $AB \neq BA$，因为反过来复合需要 $S$ 接受 $T$ 的输出，多数情况下根本无定义。乘之前先做尺寸检查：$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。

矩阵转置 $A^T$ 翻转行列，$(A^T)_{ij} = A_{ji}$。常用的两条恒等式：$(A^T)^T = A$，以及 $(AB)^T = B^T A^T$（次序反转）。

二、用高斯消元求解 $Ax = b$

方阵方程 $Ax = b$ 问的是：哪个 $x \in \mathbb{R}^n$ 给出右端 $b$？高斯消元的策略是对增广矩阵 $[A \mid b]$ 反复施加​​初等行变换​​——交换 $r_i \leftrightarrow r_j$、伸缩 $cr_i$、替换 $r_i + cr_j$——每一步都保持解集不变，最终把 $A$ 化为​​行阶梯形​​：主元（pivot）沿对角下行右移，主元下方为零。

考虑 3 阶具体例子：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 17 \end{pmatrix}$

第一步 $r_2 - 2 r_1 \to r_2$ 与 $r_3 - 3 r_1 \to r_3$ 之后，增广矩阵的第 2、3 行分别变为 $(0, 0, 1, 3)$ 与 $(0, 0, -1, -1)$；再做 $r_3 + r_2 \to r_3$，得到 $(0, 0, 0, 2)$。第三行被读作 $0 = 2$，​​方程无解​​。若把 $b$ 换成 $(6, 15, 18)$，第三行会变成 $0 = 0$，$x_2$ 成为​​自由变量​​，参数化出一族无穷解。

三、秩、自由变量与秩-零度定理

矩阵 $A$ 的​​秩​ $\mathrm{rank}(A)$ 是其行阶梯形中主元的个数，等价于其列空间的维数；其​​零空间​ $\ker A = \{x : Ax = 0\}$ 衡量映射把哪些输入压成零，维数称为​​零度​​。无论怎样消元，这两个维数都不会变。对任意 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，秩-零度定理把它们绑在一起：

$\mathrm{rank}(A) + \dim \ker(A) = n$

它是数解的标准工具，三种情形：(i) $b$ 不在列空间，无解；(ii) $b$ 在列空间且 $\mathrm{rank}(A) = n$（零空间平凡），有唯一解；(iii) $b$ 在列空间且 $\mathrm{rank}(A) < n$，有 $\dim \ker(A) = n - \mathrm{rank}(A)$ 个自由变量参数化的无穷多解。下面的滑块演示 $Ax = b$ 第一行残差随系数与右端变化的情况：

a11*x1 + a12*x2 - b1

几何上，一行就是一张约束超平面随系数移动，方程组的解必须同时落在每一张约束面上。这与 Strang 的「行图像」一致；「列图像」则反过来问如何用 $A$ 的各列组合出 $b$。

四、逆矩阵与四条等价的可逆判据

方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 称为​​可逆​​，若存在矩阵逆 $A^{-1}$ 使 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$（$I$ 为单位矩阵）。逆矩阵唯一：若 $B, C$ 同为 $A$ 的逆，则 $B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C$。对实方阵，下列五条​​两两等价​​：

1. $A$ 可逆。
2. $\det(A) \neq 0$。
3. $\mathrm{rank}(A) = n$（满秩）。
4. $\ker A = \{0\}$（零空间平凡）。
5. 对任何 $b \in \mathbb{R}^n$，$Ax = b$ 有唯一解。

只要任一条成立，其余四条自动成立。实操中最廉价的判据是高斯消元：若消元过程中出现一整行零，则 $A$ 奇异。

五、行列式（一段话）

按行公理化定义行列式：(a) 对每一行多重线性，(b) 交错（交换两行变号），(c) $\det(I) = 1$。这三条公理唯一决定了函数 $\det: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}$。两条要点：$\det(AB) = \det(A) \det(B)$；以及高斯消元后行列式等于主元乘积乘以 $(-1)^{\text{行交换次数}}$。$n > 3$ 时的代数余子展开存在，但手算极少用到。

六、练习

七、通往下一节

到这一节末尾，你已经掌握矩阵的代数运算，以及通过秩去读懂方阵或长方形线性方程组的能力。下一节为 $\mathbb{R}^n$ 装上几何：内积、L2 范数、正交性。借助这些工具，你将推出向 $A$ 的列空间做正交投影的公式，并进一步给出量化常用的最小二乘闭式估计 $\hat\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$——它正是任何一次 OLS 回归（无论作用在沪深300 收益上还是其他数据上）在底层执行的同一段代数。