向量、向量空间与线性映射

周一上午，上海某私募的量化研究员同时开了三张表：30 只沪深300 成分股近三年的日收益矩阵、当前持仓的市值列向量、PM 便签上的一句话——「整个组合杠杆到 1.4 倍，新的暴露向量是多少？」屏幕上所有对象——收益序列、持仓清单、杠杆算子——本质都是向量或向量之间的线性映射。在按下回车之前，你必须先把「向量是什么、它住在什么空间、什么变换才算线性」这件事讲清楚。这正对应 Bilibili 上跟着 Strang 的 MIT 18.06 与同济《线性代数》补的同一套基本功。

一、$\mathbb{R}^n$ 中的具体向量

先从你熟悉的对象开始。$\mathbb{R}^n$ 中的一个向量是 $n$ 个实数构成的有序数组，按列竖排：

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

同长向量按分量相加，标量 $c \in \mathbb{R}$ 把每个分量乘 $c$。这就是 $\mathbb{R}^n$ 的全部运算故事。30 只票的持仓向量住在 $\mathbb{R}^{30}$ 中，仓位翻倍即标量乘 2，调仓即加上变动向量。

二、向量空间的公理化定义

下一步是初学者最容易跳过的：向量空间 $V$ 是任何一个支持上述两种运算、并满足八条公理的集合。形式地，$(V, +, \cdot)$ 是一个实向量空间，当且仅当对任意 $u, v, w \in V$ 与任意 $a, b \in \mathbb{R}$ 有：

1. $u + v = v + u$（加法交换律）；
2. $(u + v) + w = u + (v + w)$（加法结合律）；
3. 存在零向量 $0 \in V$，使 $v + 0 = v$（加法单位元）；
4. 每个 $v$ 存在加法逆元 $-v$，使 $v + (-v) = 0$；
5. $a(u + v) = au + av$（对向量加法的分配律）；
6. $(a + b) v = av + bv$（对标量加法的分配律）；
7. $a(bv) = (ab) v$（标量乘法结合律）；
8. $1 \cdot v = v$（标量单位元）。

公理化的好处是一次定义、处处复用。$\mathbb{R}^n$ 之外有三类例子：

• $\mathcal{P}_n$，次数不超过 $n$ 的多项式空间，加法为同次项相加，零向量是零多项式。
• $\mathbb{R}^{m \times n}$，所有 $m \times n$ 实矩阵的空间，逐元素加法；协方差矩阵就住在这里。
• $\mathcal{F}(S, \mathbb{R})$，集合 $S$ 上的实值函数空间，逐点加法；把股票代码映射到因子暴露的打分函数即属此列。

任何在抽象向量空间上证明的命题，对上述全部对象同时成立。

三、子空间、张成与线性相关性

子空间 $W \subseteq V$ 是非空的、对加法与标量乘封闭的子集；等价地，它包含零向量，并且包含其元素任意线性组合。给定向量 $v_1, \ldots, v_k$，它们的​​张成​ $\mathrm{span}\{v_1, \ldots, v_k\}$ 是所有形如 $a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k$ 的子空间。若 $\sum a_i v_i = 0$ 当且仅当所有 $a_i = 0$，则称 $\{v_i\}$ 是​​线性无关​​的。线性无关恰好刻画了「每一个 $v_i$ 都带来了别人没有的信息」。

下面这个交互组件让你拖动三个系数，看三个向量在 $\mathbb{R}^3$ 中组合出的点如何移动：

a*v1 + b*v2 + c*v3

若 $\{v_1, v_2, v_3\}$ 线性无关，你可以通过 $a, b, c$ 抵达 $\mathbb{R}^3$ 中任何点；若相关，你将被困在一张平面或一条直线上。

四、基与维数

$V$ 的一个​​基​​是线性无关且张成 $V$ 的向量集合。基中向量的个数称为$V$ 的​​维数​ $\dim V$；同一空间任意两组基的元素个数相同。$\mathbb{R}^n$ 的标准基为 $\{e_1, \ldots, e_n\}$；$\mathcal{P}_n$ 的标准基 $\{1, t, \ldots, t^n\}$ 有 $n+1$ 个元素，故 $\dim \mathcal{P}_n = n+1$。固定基 $B = (v_1, \ldots, v_n)$ 后，任何 $v \in V$ 都有唯一坐标 $[v]_B = (c_1, \ldots, c_n)$ 使 $v = \sum c_i v_i$。

五、线性映射

把视角从对象切换到保持结构的态射。$T: V \to W$ 称为​​线性映射​​，当且仅当对任意 $u, v \in V$ 与 $a, b \in \mathbb{R}$ 有

$T(au + bv) = a\, T(u) + b\, T(v)$

这一条恒等式就是完整定义。例子：

• 求导算子 $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_{n-1}$，$D(p) = p'$，由微积分线性性立即成立。
• 定积分 $I: \mathcal{P}_n \to \mathbb{R}$，$I(p) = \int_0^1 p(t)\, dt$，线性。
• 给定 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，$x \mapsto Ax$ 线性。

反例：$T(x) = x + c$ 当 $c \neq 0$ 时​​不​​线性（$T(0) = c \neq 0$）。仿射映射不是线性映射。

六、线性映射的矩阵表示

一旦在 $V$ 上取定基 $B = (v_1, \ldots, v_n)$、在 $W$ 上取定基 $C = (w_1, \ldots, w_m)$，$T: V \to W$ 就​​完全由其在基向量上的取值决定​​。写 $T(v_j) = \sum_i a_{ij} w_i$，则矩阵 $[T]_{BC} = (a_{ij})$ 编码 $T$ 的全部信息，对任何 $v \in V$ 有

$[T(v)]_C = [T]_{BC}\, [v]_B$

这是抽象到具体的桥梁：取基之后，线性映射立刻变成可计算的矩阵；矩阵乘向量本质上就是把 $T$ 的作用在所选基下重写。$[T]_{BC}$ 的列空间正是 $T$ 的像在基 $C$ 下的坐标——这一对名字在下一节会大量出现。

七、练习

八、通往下一节

本节给你两件东西：抽象向量空间，以及向量空间之间的线性映射，并且看到了取基之后二者立刻化为可算数组。下一节把数组提升为一等公民：矩阵如何复合、何时可逆、对 $A x = b$（设想一个由沪深300 成分股仓位构成的约束）做高斯消元如何揭示秩，以及本节末尾点名的列空间与零空间如何从行变换中自动跑出来。Strang 的四个基本子空间，距离你只差一次消元。