债券定价与到期收益率 — 债券基础

上海某保险资管固收交易台周二开盘，5 年期国债（CGB）二级买盘报「估值 -2bp」，卖盘挂「估值 +1bp」。所谓「估值」，是中债估值中心当日发布的官方到期收益率（yield to maturity, YTM）。同事问你：「估值 -2bp 是贵还是便宜？」要回答这个问题，你得先把现金流折现到价格、再从价格反解出 YTM——这两步是本课的全部内容。

把现金流折成价格

上一课里你已经把一张普通债券拆成「票息流 + 到期面值」。给定一个每期折现率 $y$ ，价格就是把这些现金流逐期贴回今天：

P = \sum_{t=1}^{N} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^N}

其中 $C$ 为每期票息， $F$ 为面值（par value）， $N$ 为总期数， $y$ 为每期折现率。CN 实务里多数 CGB 按年付息，所以 $N$ 就是年数；公司债常见年付。零息债券（zero-coupon bond）是边界情况——无期间票息，公式里 $C = 0$ ，价格退化为 $F / (1+y)^N$ 。

把这套公式用在 5Y、 $1,000 面值、半年付息、年化票息率 4% 的债券上（每期票息 =$ 20，共 $N = 10$ 期），下面的 Markdown 表给出三个不同 YTM 下的价格：

情境	每期票息率	每期 YTM	计算价格	状态
1	2.0%	1.5%	$1,046.11	溢价（premium）
2	2.0%	2.0%	$1,000.00	平价（par）
3	2.0%	2.5%	$956.24	折价（discount）

定性规律就一句话：票息率 > YTM → 溢价；票息率 = YTM → 平价；票息率 < YTM → 折价。直觉是这样的：投资者最终要赚到的是 YTM，如果票息已经付得比 YTM 高，那买入时就得多付一些（溢价）把超额票息「找回去」；反过来则要折价补偿。CN 端注脚：多数 CGB 按年付息，上表沿用合约的半年付参照以保持与 US 端字节一致；实际定价 CGB 替换为年口径即可。

反着来：从市场价反解 YTM

二级市场看到的是「价」，不是「率」。给定一个观察到的市场价格 $P_{\text{market}}$ ，到期收益率（yield to maturity, YTM）是让现金流贴现总和恰好等于市价的那个唯一折现率：

P_{\text{market}} = \sum_{t=1}^{N} \frac{C}{(1+y_{\text{YTM}})^t} + \frac{F}{(1+y_{\text{YTM}})^N}

对于一张 $N$ 期带息债，这等价于一个 $N$ 次多项式方程——没有解析解，只能数值求解。实务里就两条路：(a) Newton-Raphson 迭代，5 步以内收敛到 1bp；(b) 二分法，慢一点但永远不发散。中债估值中心的 YTM 内部就是这么算出来的。

Formula Explorer

coupon / (1+y)**t + face / (1+y)**N

把 $y$ 在 1%–10% 之间拖动，看价格如何随 $y$ 单调递减——这就是 price-yield 关系。两个性质先记下来，后续模块 1.3.2 才会量化：

单调性：价格是 $y$ 的严格递减函数。原理：每个折现因子 $(1+y)^{-t}$ 都随 $y$ 递减，求和也递减。这一性质支撑后续的久期（duration）。
凸性：价格曲线是凸的（二阶导数为正）。直觉：YTM 上升 100bp 造成的价格下跌，比 YTM 下降 100bp 造成的价格上涨要小一些。这一性质对应凸性（convexity）。

净价、全价与应计利息

券商系统里同一张债券会显示三个数字：净价、全价、应计利息（accrued interest）。它们的关系一行就能说清：

\text{AI} = C \times \frac{\text{days since last coupon}}{\text{days in coupon period}}

其中分子是「上次付息日到结算日之间的天数」，分母是「整个计息区间天数」，按照债券约定的日计数惯例（day-count convention）取值。全价 = 净价 + 应计利息。报价时一般给净价（卖方剥掉应计），但买方实际结算的资金是全价。

CN 市场两套主要日计数惯例并存：

国债（CGB）、政策性金融债（国开债）：实际/实际（Actual/Actual），按真实自然日计数。
多数公司债：30/360（具体多用 30E/360 欧式惯例），每月按 30 天、每年按 360 天近似。

举例：¥1,000 面值、票息 4% 年付的 CGB，上次付息 1 月 1 日，结算 7 月 1 日。Actual/Actual 下应计 = ¥40 × 181/365 ≈ ¥19.84；换成 30/360 则应计 = ¥40 × 180/360 = ¥20.00。CN 学生最容易忽略的就是 CGB 与公司债用不同日计数，结算盘的应计口径必须查清楚。

零售 A 股账户最常接触应计的场景是国债逆回购（GC001/GC007 在 SSE 上挂牌）和可转债——后者在交易所行情里直接显示全价。

中债估值中心的一行样例（仅文字示意）可以帮你把口径串起来：

字段	数值
净价（clean price）	¥100.1234
应计利息（accrued interest）	¥0.7867
全价（dirty price）	¥100.9101
中债估值 YTM	2.7350%

这是保险资管每日盯市 CGB 头寸的参照口径。

YTM 的三条隐含假设

把 YTM 当作「持有到期能赚的年化收益率」是入门最常见的误解。YTM 之所以是干净的单一折现率，背后压了三条假设：

持有到期（hold to maturity）：中途卖出会按当时的市价结算，与 YTM 无关。
零违约（no default）：发行人按合约支付所有票息和本金。CGB 视同零违约；信用债则需要把违约概率单独建模。
票息按 YTM 再投资（reinvestment at YTM）：每次收到的票息能以 YTM 这个利率再投出去——但实际利率环境在 5 年里通常会变。

实务里银行金融市场部把 CGB 持仓按中债估值 YTM 逐日盯市，但持有到期实际兑现的收益率（realized yield）会与 YTM 偏离，差值等于实际再投资利率与 YTM 假设之差。如何对冲这一偏离，是模块 1.3.2 久期（duration）的核心。

练习

Exercise

一张 3 年期债券，年付票息 6%，面值 1,000。当前市场价格 974.69。(a) 写出求 YTM 的现值方程。(b) 通过直接代入验证 YTM = 7%。(c) 这只债券是溢价、平价还是折价？这与你求得的 YTM 一致吗？

提示

把 3 期票息和到期面值贴回今天，让贴现总和等于 974.69，未知数是 YTM；每期票息 = 1000 × 6%。

提示

把 y = 0.07 代回方程：60/1.07 + 60/1.07² + 1060/1.07³，三项相加看是否等于市价；票息率 vs YTM 的大小决定溢价/平价/折价。

通往下一课

到这里你能在给定 YTM 下算出债价、能从市价反解 YTM、并区分净价/全价/应计利息。下一课把视角从一张债扩到一条曲线：同一信用品质下不同期限债券对应不同 YTM，沿期限轴串起来就是收益率曲线（yield curve）。CN 端基准是中债国债收益率曲线，10Y CGB 是宏观评论最常引用的无风险参照。下一课从曲线三种形状讲起，引入即期、远期与 bootstrapping。