凸性与关键利率风险 — 利率风险与信用

周三午盘，CPI 数据偏软，长端 CGB（中国国债）一口气下行 30bp。你持有 10 年期 CGB，早盘只用久期算出预期盈利 800 万元；收盘实际记账 850 万元。多出来的 50 万元不是算错，而是凸性（convexity）——久期线性近似系统性遗漏的二阶项。跨周期看，大幅利率变动时无论方向忽略凸性都会偏离实际损益，且决定哪些 CFFEX 上的交易结构本质上做多或做空曲率。本课在上节课久期工具之上加两块：凸性（二阶泰勒项），以及关键利率 DV01（key-rate DV01）——把虚构的「平行情景」拆成多个期限点的真实曲线敏感性。

久期线性近似在哪里失效

上节课的修正久期近似说 $\Delta P / P \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y$ 对任意 $\Delta y$ 都成立。这是切线估计。债券价格关于收益率（即收益率曲线，yield curve）的函数本身是凸的（向上弯），切线永远在曲线之下——久期一项高估利率上行损失、低估利率下行盈利。对那张修正久期 4.45 的 5Y CGB：+200bp 久期估计约 -8.90%，实际重定价约 -8.25%；-200bp 久期估计 +8.90%，实际约 +9.62%。两边的偏差都对持有人有利——对无嵌入式选择权债券来说，凸性是多头白送的礼物、空头被收的税。

凸性即二阶导

把凸性定义为债券价格对收益率的二阶导，按价格归一化：

C = \frac{1}{P} \cdot \sum_{t=1}^{N} \frac{t(t+1) \cdot CF_t}{(1+y)^{t+2}}

读法上像麦考利久期的一阶矩公式，但权重换成 $t(t+1)$ 而非 $t$ ——这是一个二阶矩量，单位是 (期数)^2。对那张 5Y、年付息、票面 4%、平价的 CGB 算下来约 23 年-平方，CN 中债登日表的凸性字段直接公布同口径数字。报表用「年-平方」还是「期-平方」取决于系统，看列头单位前先核对一次。

久期 + 凸性的损益近似来自 $P(y)$ 的二阶泰勒展开：

\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2

第一项是线性久期估计；第二项是曲率修正。因为无嵌入式选择权债券 $C > 0$ 且 $(\Delta y)^2 > 0$ ，修正项永远为正——久期单项永远低估持有人的实际结果。

Formula Explorer

-mod_duration * delta_y + 0.5 * convexity * delta_y**2

拖动久期、凸性、收益率变动，观察组合的相对损益估计。久期 7、凸性 60、+10bp 冲击：久期项 -0.07%，凸性修正 +0.0003%——这个量级下看不见。冲击放到 +200bp：久期项 -1.40%，凸性修正 +0.12%，约为久期项的 8.6%——对 ¥10 亿规模组合就是实打实的钱。

三种情景的对比

下面这张 Markdown 表把 5Y CGB 例子在三种平行情景下的久期-only 与久期+凸性估计放在一起。设置： $D_{\text{mod}} = 4.45$ 、 $C = 23$ （年-平方）、实际列由全重定价得到。

情景（ $\Delta y$ ）	线性估计	凸性修正	总估计	实际重定价
-200bp	+8.90%	+0.46%	+9.36%	+9.62%
+10bp	-0.445%	+0.0012%	-0.444%	-0.443%
+200bp	-8.90%	+0.46%	-8.44%	-8.25%

三条要点。第一，+10bp 处凸性修正肉眼不可见，日内 P&L 归因用久期一项足够。第二，+200bp 处修正约为久期项的 5%，跳空日忽略它就在 MTM 上有缺口。第三，即便加上凸性，-200bp 处仍小幅低估实际——缺的是三阶项，对无嵌入式选择权债券通常太小不必管。

一句话边注：可赎回公司债与 MBS 在部分收益率区间可能呈负凸性——提前赎回行为把现金流提前。机制留给专题课，此处保持无嵌入式选择权框架。

关键利率 DV01：替代平行情景的虚构

真实曲线很少平行移动。前端可能因央行偏鸽信号下行，长端同日因供给压力上行——根本谈不上平行情景。机构标准做法是把曲线风险拆成关键利率 DV01（key-rate DV01，又称 partial DV01 或 bucket DV01）：曲线上某一期限点位变动 1bp、其他点位不变时债券价格的人民币变动。

CN 银行间市场（CIBM）标准期限点位由中债登发布：3M、6M、1Y、3Y、5Y、7Y、10Y、30Y 八点位，比美式 11 点位稀疏。把分量与单一久期数联系起来的恒等式：

\text{DV01}_{\text{parallel}} = \sum_{i} \text{KRD}_i \cdot 0.0001 \cdot P

或更常见的紧致形式 $\text{DV01}_{\text{parallel}} = \sum_i \text{KRDV01}_i$ ——平行 1bp 冲击对每个点位都打 1bp，所以分点位人民币变动之和等于平行冲击的总人民币变动。

两个 stylized 组合说明问题。两者平行 DV01 都是 ¥1,000/bp，但关键利率剖面差很多。Markdown 关键利率 DV01 表：

期限点位	10Y 子弹组合 KRDV01（¥）	5Y/30Y 杠铃组合 KRDV01（¥）
3Y	0	0
5Y	50	500
7Y	250	0
10Y	700	0
30Y	0	500
合计	1,000	1,000

平行 +25bp 冲击下，两者都亏 ¥25/bp——恒等式保证。但若是 5Y-10Y 陡峭化（5Y 下行 10bp、30Y 上行 10bp），子弹基本不动，杠铃打出方向性损益：5Y 腿赚约 ¥5,000、30Y 腿亏约 ¥5,000，净额近零但有可见的 P&L 跳动——平行 DV01 看不到。机构层面：同样 DV01，曲线敞口截然不同。CN 利率市场最典型的曲线交易是 5Y-10Y CGB 陡峭化：多 5Y CFFEX TF 期货、空 10Y CFFEX T 期货，按平行 DV01 中性化择比。对冲比率机制留给模块 1.4.1。

三因子解释曲线

经验上对 CGB 历史曲线做主成分分解，三因子可解释约 93–96% 方差：水平、斜率、曲率。2014 年后 CN 利率波动率下降，水平因子占比上升——这是 CN 自身的经验规律，不是借用美式。

实务意义：组合在 2Y、10Y、30Y 三个 CGB 期货或利率互换上做到中性，正常一周内基本免疫曲线波动；残差落在更高阶 PCA 因子里。PCA 数学留给模块 2.4.1。

练习

Exercise

某债券修正久期 7.0、凸性 60、价格 100.00。(a) 用久期一项估计 +50bp 平行情景下的百分比价格变动。(b) 用久期 + 凸性重做 (a)。(c) 对 +300bp 平行情景重做 (a) 与 (b)，给出两个估计的差（百分比）。(d) 大幅利率上行时，忽略凸性会高估还是低估实际价格？为什么？

提示

(a)(b) 用线性与二阶泰勒，delta_y 用小数（50bp = 0.005）。(c) 取 delta_y = 0.03 重做并相减。凸性修正 = 0.5 × C × (delta_y)^2。

提示

(d) 无嵌入式选择权债券的价格-收益率曲线是凸的，切线在曲线下方；久期估计会低估真实价格——亏得比久期少、赚得比久期多。

通往下一课

至此你能为久期估计加上曲率修正、把一个久期数拆成期限点位剖面，解释为什么相同平行 DV01 可能掩盖差异极大的曲线敞口。本课没碰一样东西：信用定价。上面每张债都是 CGB——零违约风险、单一收益率曲线、唯一随机源。下一课引入信用利差（credit spread）——AAA 央企公司债或 AA+ 民企公司债相对同期限 CGB 多要的收益率溢价——并拆解到期望损失机器：PD × LGD，配合 G-spread、Z-spread、OAS 这三种利差报价口径。