久期与 DV01：利率的一阶敏感性 — 利率风险与信用

周二早上九点半，CFFEX 开盘前。某保险资管（私募之外的机构主力）固收交易台调出今日风险日报，组合 DV01 行写着 ¥1,240,000——中债利率曲线平移 1bp，账户当日盈亏约 124 万元。这是风险总监开盘前唯一会盯的数字。本课把这行数字拆开：从麦考利久期（Macaulay duration）出发，过到修正久期（modified duration），再到 DV01（dollar value of an 01）这一交易台日常报的敏感性单位，最后说明 DV01 在组合层面线性可加——这就是它成为风险预算单位的根本理由。

从现金流到一个敏感性数字

模块 1.3.1 收尾的债券定价公式：

P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1+y)^t},

其中 $CF_t$ 是第 $t$ 期现金流——每个付息日的票息（coupon），加上最后一期的面值—— $y$ 是每期收益率（per-period yield）。 $y$ 变化时 $P$ 随之变化，久期就是「一阶意义上变多少」的结构化回答。

先看麦考利久期。把债券想成一篮子单笔到期的零息债权，每笔现金流的时间 $t$ 用「该笔现金流现值占整张债券现值的比重」加权求和：

D_{\text{Mac}} = \frac{\sum_{t=1}^{N} t \cdot \dfrac{CF_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^{N} \dfrac{CF_t}{(1+y)^t}}

麦考利久期等于现金流加权平均收款时间，单位与 $y$ 相同（年化则单位为年）。

算一张 5 年期 CGB（中国国债）：面值 ¥1,000、票面 4%、年付息一次（CGB 5 年及以上的惯例，CN 学员易把美式半年付误带过来），YTM 4% 平价交易。共 5 期、每期票息 ¥40、每期折现率 $0.04$ ，对应的 Markdown 现金流表如下：

$t$ （年）	$CF_t$ （¥）	$PV_t$ （¥）	$t \times PV_t$
1	40.00	38.46	38.46
2	40.00	36.98	73.96
3	40.00	35.56	106.68
4	40.00	34.19	136.78
5	1,040.00	854.80	4,274.02

$PV_t$ 求和 = 1,000.00（平价）； $t \times PV_t$ 求和 = 4,629.90。故 $D_{\text{Mac}} = 4629.90 / 1000.00 = 4.63$ 年。

修正久期：每单位收益率变动对应的百分比价格变动

麦考利久期是一段时间，不是敏感性。要得到「每单位收益率变动的百分比价格变动」，除以 $1 + y/k$ ， $k$ 为年付息次数：

D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + y/k}

此例 $k = 1$ 、 $y = 0.04$ ，故 $D_{\text{mod}} = 4.63 / 1.04 = 4.45$ 年。收益率平行上行 1%，价格约下跌 4.45%；下行 1% 上涨同比例。这就是久期近似，仅对小幅利率变动适用。中债登（中央国债登记结算公司）每日估值表直接发布每只券的修正久期。

DV01：交易台报的人民币敏感性

修正久期是百分比，交易台要的是人民币。两边乘以全价（dirty price）与「1bp 大小」：

\text{DV01} \approx D_{\text{mod}} \times P \times 0.0001

对那张面值 ¥1,000、全价 ¥1,000、 $D_{\text{mod}} = 4.45$ 的 CGB：DV01 ≈ $4.45 \times 1000 \times 0.0001 = 0.445$ 元；放到 ¥10MM 面值即 ¥4,450/bp。CN 银行间市场（CIBM）的 DV01 报价惯例常为「每 ¥1 亿面值」，看报表前先核对列头单位。

Formula Explorer

mod_duration * price * 0.0001

拖动修正久期与全价，DV01 线性放大。10 年期 CGB 修正久期约 8.4、全价近 ¥100，DV01 约 ¥0.084/张；折成 ¥1 亿面值约 ¥84,000/bp——CN 利率交易员能直接说出的口径。

组合 DV01：线性是一切

麦考利与修正久期在组合层面要做价格加权平均，运算麻烦。DV01 直接相加：

\text{DV01}_{\text{port}} = \sum_{i=1}^{n} \text{DV01}_i

举一个保险资管（liability-matching 主导）组合：¥100MM 3Y CGB、¥200MM 5Y CGB、¥150MM 10Y CGB，均平价。

仓位	单 ¥1MM 面值 DV01	面值（¥MM）	仓位 DV01（¥）
3 年 CGB	285	100	28,500
5 年 CGB	445	200	89,000
10 年 CGB	840	150	126,000
组合		450	243,500

+25bp 平行情景下，预期盈亏约 $-25 \times 243{,}500 = -6{,}087{,}500$ 元。这就是 DV01 的目的：把情景翻译成人民币答案。CN 机构对冲这部分 DV01 主要走中国国债期货（CFFEX：2Y TS、5Y TF、10Y T、30Y TL），非现券做空——CTD（cheapest-to-deliver）与单合约 DV01 留给模块 1.4.1。

久期的三个结构性驱动

固定票息债券的久期对三条结构性杠杆呈现一致方向的响应（Markdown 汇总）：

杠杆	对久期的影响	一句话直觉
到期时间更长	久期上升	现金流落点更远，PV 加权的时间均值被推到右侧。
票面利率更高	久期下降	更大比例的总 PV 通过早期票息提前到手，把均值拉到左侧。
到期收益率更高	久期下降	远端现金流被打更深的折扣，权重被压缩，均值往左走。

这三个驱动解释了大部分久期排序。30 年 CGB 零息债的久期是固收最高（长期 + 无票息缓冲）。带嵌入式选择权的债券（可赎回结构）不再适用这一图景，需用 reprice-up / reprice-down 求有效久期（effective duration）——本课不展开。

练习

Exercise

一张 3 年期债券，每年付息一次，票面利率 5%，面值 1,000，到期收益率 5%。(a) 通过现金流加权时间表，计算该债券的麦考利久期。(b) 计算修正久期。(c) 已知债券平价交易（价格 = 1,000），计算 DV01。(d) 若收益率平行上行 50bp，该债券价格大约下跌多少元？

提示

建一张三行表，列为 t、现金流、5% 下的 PV、t 加权的 PV。现金流是 t = 1, 2, 3 时的 50、50、1050。对 t 加权 PV 列求和后除以价格。

提示

修正久期 = 麦考利久期 / (1 + y / k)，年付息 k = 1，故除数为 1.05。DV01 = 修正久期 × 价格 × 0.0001。50bp 的价格变动 = 50 × DV01。

通往下一课

至此你能读懂组合 DV01 行、把平行情景翻译为人民币盈亏，解释为何 5Y CGB 的久期高于 5Y 高票息信用债。本课没解决两件事：大幅利率变动时久期直线低估实际价格（10bp 看不出，200bp 就明显）；曲线形态非平行（陡峭、平坦、蝴蝶都在平行情景之外）。下一课同时处理：凸性（convexity，中债登日表中的凸性字段）补上二阶泰勒项，关键利率 DV01（key-rate DV01）把单一久期数拆成按 CGB 期限点位（3M/6M/1Y/3Y/5Y/7Y/10Y/30Y 八点位）的剖面——机构组合的曲线风险报告口径。