题目3361 · 数学
为什么凸性会让 KKT 特别有力
为什么在很多凸优化问题里，KKT 条件不只是必要条件，而且也是充分条件？
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English questions题目3363 · 数学
什么时候仅靠 KKT 还不够
请给出一个原因，说明在非凸问题里只解 KKT 方程为什么可能找不到全局最优。
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拉格朗日对偶与 KKT 条件
开篇场景（Hook）：PM 真正想要的那个数 上海一家中型私募的 PM 周一早盘正在跟风控拉锯：当前组合的总杠杆（gross leverage）顶在 200% 的合规上限，他想申请抬到 220%。风控的问题不是「能不能」，而是「值不值」——多 20 个百分点能换多少边际信息比率（marginal information ratio）？答案其实早就躺在凸求解器...
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x 便宜、y 昂贵的加权二次规划
最小化 $1x^2+3y^2$，约束为 $x+y\ge 4$。求 $(x^*,y^*)$ 以及 KKT 乘子。
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为什么 Slater 类正则条件重要
在应用 KKT 时，为什么 Slater 条件这类正则性条件很重要？
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最优点在下界之上
最小化 $(x-2)^2$，约束为 $x\ge 0$。使用 KKT 形式 $g(x)=0-x\le 0$，求最优解 $x^*$ 与最优乘子 $\lambda$。
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凸优化
凸优化 · KKT · 梯度下降 · 组合约束优化
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可行中心意味着零乘子
考虑最小化 $(x-1)^2+(y-1)^2$，约束为 $x+y\ge 1$。在最优点处，不等式是激活还是不激活？KKT 对乘子 $\lambda$ 有什么结论？
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平移后的点本身已可行
考虑最小化 $(x-2)^2+(y--1)^2$，约束为 $x+y\ge 0$。在最优点处，不等式是激活还是不激活？KKT 对乘子 $\lambda$ 有什么结论？
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负目标与轻微激活的下界
最小化 $(x--2)^2$，约束为 $x\ge -1$。使用 KKT 形式 $g(x)=-1-x\le 0$，求最优解 $x^*$ 与最优乘子 $\lambda$。
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较高的 y 坐标使约束松弛
考虑最小化 $(x--1)^2+(y-3)^2$，约束为 $x+y\ge 1$。在最优点处，不等式是激活还是不激活？KKT 对乘子 $\lambda$ 有什么结论？
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预算线之上离原点最近的点
最小化 $x^2+y^2$，约束为 $x+y\ge 1$。对不等式 $g(x,y)=1-x-y\le 0$，求 $(x^*,y^*)$ 与最优 KKT 乘子。
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仅做多与 MV QP 中的线性约束
某沪深300指增公募的高级量化研究员,把 4.4.1 的均值方差闭式解 w = (1/gamma) Sigma^ (mu lambda 1) 直接套到她管理的 30 只 CSI 300 成分股核心仓上。闭式解给出的结果:招商银行 600036 做空 300%、宁德时代 300750 多头 +250%、组合 78% 的仓位扎堆在前三只动量名上。她的产品合同写得...
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凸优化问题与标准形式
开篇场景（Hook）：一位 PM 的两份委托书 周一上午，你在一家 沪深300 指数增强 私募 基金的研究台收到两份新增的客户委托书。第一份要求满仓多头、公式、公式、行业偏离度上限 ±3%（一组线性不等式）——干净的二次规划（quadratic program, QP）：二次目标 + 仿射约束，求解器十秒出结果。第二份加了一句「持仓数不得超过 50 只」，可...
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组合优化与锥规划建模
周五下午三点，你在某 公募 基金管理一只 沪深300 指数增强（CSI 300 enhanced index）产品。当前基金合同把年化 跟踪误差（tracking error）上限设在 300 bp。求解器把当日再平衡的解返回过来——主仓位都合理，但对偶价格表里 跟踪误差 约束的乘子写着 公式 bp。翻译成 PM 听得懂的语言：若把上限从 300 bp 放到...
打开 →题目1793 · 统计
Elastic Net 的分组效应
两个特征几乎重复，但在经济上都很有意义。为什么 Elastic Net 在这种情况下常常比纯 Lasso 表现更好？
打开 →题目2510 · 机器学习
lambda 为零时会回到 OLS 16
为什么 ridge 与 lasso 在正则化参数设为零时都会退化成 OLS？
打开 →题目1776 · 统计
Lasso 阈值校准 1
一个标准化 lasso 拟合的得分向量是 (4.1, 2.3, 1.7)。使所有系数都恰好变成 0 的最小 lambda 是多少？
打开 →题目1779 · 统计
Lasso 阈值校准 4
在正交设计下的一步 lasso 更新中，某坐标的得分是 z = -3.2，惩罚参数 lambda = 0.7。软阈值之后的系数是多少？
打开 →题目2503 · 机器学习
ridge 的 MAP 解释 10
在线性模型的高斯噪声设定下，给 beta 施加什么样的高斯先验会让 ridge 成为 MAP 估计？
打开 →题目2509 · 机器学习
ridge 范数会随 lambda 单调收缩 15
为什么 ridge 解的范数通常会随着 lambda 增大而下降？
打开 →题目1795 · 统计
为什么 One-SE 规则更保守
为什么实践中在选择正则化参数时，很多人会偏好 one-standard-error rule，而不是直接选交叉验证误差最小的那个点？
打开 →题目2515 · 机器学习
为什么小 lambda 意味着弱正则 20
为什么很小的 lambda 会让正则化解贴近 OLS？
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凸集与凸函数
开篇场景（Hook）：基数约束如何把 MVO 从 QP 推到 MIP 周二下午，你在一家百亿规模的私募（private fund）量化部门里，给沪深300 成分股做一只全仓做多组合。脚本是教科书版本的均值方差优化（mean variance optimization, MVO）：最小化 公式，约束 公式、公式。CVXPY 在 80ms 内返回全局最优。你顺手...
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影子价格的解释
为什么最优乘子常被解释为放松或收紧约束时的边际价值？
打开 →题目3362 · 数学
把互补松弛看成经济学陈述
向 PM 用直白语言解释 complementary slackness，可以把约束理解成稀缺资源配额。
打开 →题目2512 · 机器学习
数值计算 lasso 激活阈值 18
在一个正交坐标里，若 z = 7，什么样的最小 lambda 会把 lasso 系数压成零？
打开 →题目2505 · 机器学习
正交单特征下 ridge 不会翻符号 12
在正交单特征情形下，若 z = x^T y，为什么 ridge 对所有 lambda >= 0 都会保留 z 的符号？
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由 ridge 解反推等价 L2 半径 6
若 ridge 在 R^p 中的最优解是 beta_hat_lambda，那么什么样的半径 t 会让它同时解出约束问题 min RSS(beta) subject to ||beta||_2 <= t？
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达到目标 ridge 收缩比例所需的 lambda 5
在正交坐标里，ridge 会用 d/(d+lambda) 的比例收缩 beta_ols。若目标收缩比例是 r in (0,1)，lambda 应是多少？
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