题目2921 · 概率
k 个祖先下的总后代期望
一个平均子代数为 $m<1$ 的次临界分枝过程从 $k$ 个祖先开始。总后代数的期望是多少？
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English questions题目2917 · 概率
k 个祖先下第 n 代的期望规模
一个分枝过程从 $Z_0=k$ 个祖先开始，平均子代数为 $m$。求 $E[Z_n]$。
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一步中的移民加分枝
设 $Z_t$ 是一个带移民的分枝过程。第 $t$ 代中的每个个体都独立地产生子代，其子代 PGF 为 $\phi(s)$；另外，在下一代还会独立到来一批移民，其个数的 PGF 为 $\psi(s)$。请用 $Z_t$ 的 PGF 表示 $Z_{t+1}$ 的 PGF。
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一步之后的条件方差
在一个分枝过程中，设单个个体的子代分布方差为 $\sigma^2$。用 $Z_n$ 表示 \[ \mathrm{Var}(Z_{n+1}\mid Z_n). \]
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三个独立祖先下的灭绝概率
若一个以单个祖先开始的分枝过程的灭绝概率为 $q=2/3$，那么当它改为从三个独立祖先开始时，至少有一条谱系永远存活的概率是多少？
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临界情形下的期望人口保持不变
一个分枝过程从单个祖先开始，平均子代数为 $m=1$。求 $E[Z_n]$。
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临界的 0 或 2 子代分枝
某分枝过程的子代 PGF 为 $\phi(s)=\frac12+\frac12 s^2$。它的灭绝概率是多少？
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临界的 0 或 2 子代分枝过程
设每个个体以概率 $1/2$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $1/2$ 产生 $2$ 个子代。灭绝概率是多少？
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五个祖先下的存活概率
某个分枝过程从单个祖先开始时的灭绝概率为 $q=3/7$。若该过程改为从五个相互独立的祖先开始，至少有一条谱系永远存活的概率是多少？
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亚临界情形下的总 progeny 均值
设一个 Galton-Watson 分枝过程从一个祖先开始，其子代 PGF 为 $\phi$，平均子代数为 $m=\phi'(1)<1$。用总 progeny 的 PGF 方程推导 $E[T]$。
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均值增长并不保证单条路径一定存活
某个分枝过程的平均子代数为 $1.1$，但其灭绝概率却是 $q=2/3$。请用一两句话解释为什么这两件事并不矛盾。
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子代为 0 或 2 的灭绝概率
一个 Galton-Watson 分枝过程的子代 PGF 为 $\phi(s)=0.3+0.7s^2$。求其灭绝概率。
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总 progeny 的 PGF 方程
设 $\phi(s)$ 是一个以单个祖先开始的 Galton-Watson 分枝过程的子代 PGF，记总 progeny 为 $T$。证明 $T$ 的 PGF 满足 \[ G_T(s)=s\,\phi(G_T(s)). \]
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标准分枝过程鞅
设 Galton-Watson 过程的平均子代数为 $m>0$。证明 \[ M_n=\frac{Z_n}{m^n} \] 关于自然滤过是一个鞅。
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次临界过程中第五代的期望规模
一个分枝过程从 $10$ 个祖先开始，平均子代数为 $m=0.8$。求 $E[Z_5]$。
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若不可能生出 0 个子代，则不会灭绝
设每个个体几乎必然至少有一个子代。对于从单个祖先开始的分枝过程，灭绝概率是多少？
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跨代方差递推公式
设一个分枝过程的平均子代数为 $m$、方差为 $\sigma^2$。证明 \[ \mathrm{Var}(Z_{n+1})=m^2\mathrm{Var}(Z_n)+\sigma^2 E[Z_n]. \]
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轻度超临界时第四代的期望规模
一个分枝过程从 $Z_0=2$ 个祖先开始，平均子代数为 $m=1.3$。求 $E[Z_4]$。
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0 或 2 子代时的精确灭绝概率
每个个体以概率 $0.3$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $0.7$ 产生 $2$ 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。
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Bernoulli 子代数除确定性外几乎必然灭绝
设每个个体以概率 $p$ 产生一个子代、以概率 $1-p$ 产生零个子代。灭绝概率是多少？
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k 个祖先下的灭绝概率
若从单个祖先开始的灭绝概率为 $q$，那么从 $k$ 个相互独立的祖先开始时的灭绝概率是多少？
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一个具有整洁根的超临界三次方程
设每个个体以概率 $1/2$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $1/2$ 产生 $3$ 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。
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一步条件期望公式
在平均子代数为 $m$ 的 Galton-Watson 过程中，用 $Z_n$ 表示 $E[Z_{n+1}\mid Z_n]$。
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单个祖先下第 n 代的期望规模
一个 Galton-Watson 分枝过程从单个祖先开始，每个个体的平均子代数为 $m$。求 $E[Z_n]$。
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另一个可精确求解的灭绝根
每个个体的子代分布为 \[ P(\xi=0)=0.2,\qquad P(\xi=1)=0.5,\qquad P(\xi=2)=0.3. \] 从单个祖先开始，求灭绝概率。
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另一个超临界二点子代分布
设每个个体以概率 $0.4$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $0.6$ 产生 $2$ 个子代。求灭绝概率。
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所有次临界过程都几乎必然灭绝
一个 Galton-Watson 过程的平均子代数满足 $m<1$。它的灭绝概率是多少？
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次临界情形下的总后代期望
一个 Galton-Watson 过程从单个祖先开始，平均子代数满足 $m<1$。令 \[ T=\sum_{n\ge 0} Z_n \] 表示总后代数。求 $E[T]$。
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泊松子代：什么时候存在正的存活概率？
若子代分布是 $\mathrm{Poisson}(\lambda)$，写出灭绝概率方程，并说明什么时候存活概率为正。
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若每个个体都生一到两个子代
设每个个体以概率 $p$ 产生一个子代、以概率 $1-p$ 产生两个子代。灭绝概率是多少？
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