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非代码面试题
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068独立性对子事件不遗传设 \Omega = \ 1,2,3,4\ ，等概率。A = \ 1,2\ ，B = \ 1,3\ 。(a) 验证 A 和 B 独立。(b) 设 A 1 = \ 1\ \subseteq A，判断 A 1 和 B 是否独立。(c) 一般地，若 A \perp\!\!\perp B 且 A 1 \subseteq A，A 1 \perp\!\!\perp B 是否必然成立？概率中等derivation未尝试免费098威尔·罗杰斯悖论（阶段迁移）A组包含值 \ 1, 2, 3, 9\ ，B组包含 \ 5, 6, 7, 8\ 。 (a) 计算每组的均值。 (b) 将元素 5 从B组移到A组，重新计算每组均值。验证两组均值均上升。 (c) 所有8个值的总均值不变。证明一般命题：若将一个值 x 从B组移到A组，且 A < x < B ，则移动后两组均值均严格增大。 (d) 一项医学研究报告称新诊断技术使I期和II期癌症患者的平均生存时间均有所提高，但总体生存率不变。在没有任何实际治疗改善的情况下，解释这如何可能。概率中等数值题未尝试免费219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费250折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩设 X \sim N( , 2)， 0。定义 Y = |X|。 (a) 推导 Y 在 y 0 上的 PDF。 (b) 证明 = 0 时 PDF 化简为半正态分布。 (c) 对一般的 , ，用 \phi 和 \Phi 表示 E[Y] 和 Var (Y)。 (d) 当 = 1， = 1 时数值计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率困难derivation未尝试免费1426指数余项的三次极限计算极限 lim x->0 [e (3x) - 1 - 3x - (9/2)x 2] / x 3。数学简单数值题未尝试免费1427对数展开的三阶抵消计算极限 lim x->0 [ln(1+2x) - 2x + 2x 2] / x 3。数学简单数值题未尝试免费1429平方根展开中的三次项系数计算极限 lim x->0 [sqrt(1+4x) - 1 - 2x + 2x 2] / x 3。数学中等数值题未尝试免费1431半次幂展开的三次极限计算极限 lim x->0 [(1+5x) (1/2) - 1 - (5/2)x + (25/8)x 2] / x 3。数学简单数值题未尝试免费1432有理函数极限中的二阶抵消计算极限 lim x->0 [(1-2x) (-1) - 1 - 2x] / x 2。数学中等数值题未尝试免费1434tan x 与恒等映射之差的极限计算极限 lim x->0 (tan x - x) / x 3。数学中等数值题未尝试免费1436双频余弦缺口极限计算极限 lim x->0 [1 - cos(2x)] / x 2。数学简单数值题未尝试免费1437立方根的线性化极限计算极限 lim x->0 [ (1+2x) (1/3) - 1 ] / x。数学简单数值题未尝试免费1441三角函数渐近 1计算 lim (x->0) [sin(2x + 7x 2) - 2x] / x 2。数学简单数值题未尝试免费1442指数函数减余弦函数的二阶极限计算极限 lim x->0 [e x - cos x - x] / x 2。数学中等数值题未尝试免费1446混合展开极限 1计算 lim (x->0) [((e x - 1) - ln(1+x)) / x 2]。数学简单数值题未尝试免费1447混合展开极限 2计算 lim (x->0) [((sqrt(1+x) - sqrt(1-x)) - x) / x 3]。数学简单数值题未尝试免费1449混合展开极限 4计算 lim (x->0) [e x cos(x) - 1 - x] / x 2。数学中等数值题未尝试免费1542Sherman-Morrison 向量更新 B 2设 A 可逆，A (-1)b = [2, 4] T，A (-1)u = [1, -1] T，v T A (-1)b = -3，v T A (-1)u = 1/4。问 (A + u v T) (-1) b 等于多少？数学中等数值题未尝试免费1546等因子行列式 1把 3 I + 2 11 T 看作一个 n=4 维矩阵。它的行列式是多少？数学简单数值题未尝试免费1549岭加全一矩阵行列式 4把 4 I + 1/2 11 T 看作一个 n=5 维矩阵。它的行列式是多少？数学中等数值题未尝试免费