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布朗运动的性质与路径

2.7.1 · 布朗运动与伊藤积分 · 数学与统计能力

钩子：沪深300期货上的已实现方差

周五尾盘，你坐在某 CTA 私募的随机分析席位上。组合在 CFFEX 的 IF（沪深300股指期货）主力合约上挂着一笔做市头寸，每周一你都会把上周 5 分钟对数收益逐项平方后求和，再与上周五收盘隐含的方差对比。经验上这条规律相当锐利：那个求和稳定在「已实现方差 × 经过时长」上，从 5 分钟切到 1 分钟、再切到逐笔，收敛只会更紧。这并非市场的怪癖，而是噪声驱动项本身的性质——布朗运动（Brownian motion）每单位时间累积 dtdt 量级的增量平方，与采样粒度无关。同一条性质也解释了为何对冲账目的累积盈亏不能写成对 dWtdW_t 的经典 Riemann-Stieltjes 积分——积分子的变差太大。本课同时把这两件事写实：WtW_t 的鞅结构、二次变差等式 [W]T=T[W]_T = T，以及下一课构造伊藤积分（Itô integral）的根本动机。

一、自然滤波

随着行情滴答推进，信息也在堆积。把「截至 tt 时刻已经知道什么」精确化的工具，是给每个时刻挂一个 σ\sigma-代数：

Ft=σ(Ws:0≤s≤t)\mathcal{F}_t = \sigma(W_s : 0 \leq s \leq t)

这就是​​自然滤波​​：包含所有形如 {Ws1∈B1,…,Wsk∈Bk}\{W_{s_1} \in B_1, \ldots, W_{s_k} \in B_k\}（0≤si≤t0 \leq s_i \leq t，BiB_i 为博雷尔集）事件的最小 σ\sigma-代数。tt 增大时 Ft\mathcal{F}_t 同步增大；s<ts < t 时 Fs⊆Ft\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t。一个随机过程 XtX_t 称为 ​​Ft\mathcal{F}_t-适应​​（adapted）的，若对每个 t≥0t \geq 0，XtX_t 都是 Ft\mathcal{F}_t-可测的。直白说：在 tt 时刻，XtX_t 的取值只依赖 WW 在 [0,t][0, t] 上的历史，不偷看未来。下一课要对 dWtdW_t 积分的每一个被积过程都必须适应——否则积分会向前看，无套利结构当场崩塌。

布朗运动本身适应于自然滤波：WtW_t 按构造即 Ft\mathcal{F}_t-可测。对 s<ts < t，增量 Wt−WsW_t - W_s ​独立​​于 Fs\mathcal{F}_s，因为不相交区间上的增量独立，而 Fs\mathcal{F}_s 只编码 [0,s][0, s] 上的路径信息。这一条独立性在下面的鞅推导中几乎承担全部重量。

二、布朗运动是鞅

把增量独立性与零均值合在一起，就能写出本课最干净的事实：

E[Wt∣Fs]=Wsfor 0≤s<tE[W_t \mid \mathcal{F}_s] = W_s \quad \text{for } 0 \leq s < t

这就是​​鞅​​（martingale）性：对未来的最佳猜测等于当下值。推导由四条等式串成，每一步标出所依赖的性质——这是模块 2.1.2 第 4 节​​重期望公式​​（即条件期望（conditional expectation）的塔性质）在连续时间上的复用（见 conditional-expectation-and-multivariate-normal）：

  1. E[Wt∣Fs]=E[Ws+(Wt−Ws)∣Fs]E[W_t \mid \mathcal{F}_s] = E[W_s + (W_t - W_s) \mid \mathcal{F}_s]——代数恒等式。
  2. =Ws+E[Wt−Ws∣Fs]\quad = W_s + E[W_t - W_s \mid \mathcal{F}_s]——条件期望的线性，加上 WsW_s 已经 Fs\mathcal{F}_s-可测（适应）。
  3. =Ws+E[Wt−Ws]\quad = W_s + E[W_t - W_s]——增量 Wt−WsW_t - W_s 独立于 Fs\mathcal{F}_s，条件可去。
  4. =Ws+0=Ws\quad = W_s + 0 = W_s——零均值高斯增量。

把这一行结论收下：把所有与今日已知信息一致的样本路径上 WW 在某未来时刻的取值取平均，结果恰是今日的值。这是为何风险中性测度（risk-neutral measure，模块 2.7.2）下的折现资产价格构成鞅——也是「公平博弈在连续时间记账下仍然公平」的技术理由。

三、二次变差：[W]T=T[W]_T = T

接下来是路径层面的意外。把 [0,T][0, T] 分划为 Πn={0=t0<t1<⋯<tn=T}\Pi_n = \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\}，网目 ∥Πn∥=max⁡k(tk−tk−1)\|\Pi_n\| = \max_k (t_k - t_{k-1})。WW 沿 Πn\Pi_n 的​​二次变差​​（quadratic variation）即增量平方之和：

Qn=∑k=1n(Wtk−Wtk−1)2Q_n = \sum_{k=1}^{n} (W_{t_k} - W_{t_{k-1}})^2

要内化的等式：

[W]T=T,equivalently∑k=1n(Wtk−Wtk−1)2→PTas ∥Πn∥→0[W]_T = T, \quad \text{equivalently} \quad \sum_{k=1}^{n} (W_{t_k} - W_{t_{k-1}})^2 \xrightarrow{P} T \quad \text{as } \|\Pi_n\| \to 0

收敛是依概率的；增量平方之和聚拢在经过的时长本身上，无需缩放，右端也没有依赖样本路径的常数。

论证只走前两阶矩。每个增量 Wtk−Wtk−1∼N(0,tk−tk−1)W_{t_k} - W_{t_{k-1}} \sim \mathcal{N}(0, t_k - t_{k-1})，因此

E[(Wtk−Wtk−1)2]=tk−tk−1,Var ⁣((Wtk−Wtk−1)2)=2(tk−tk−1)2E[(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})^2] = t_k - t_{k-1}, \qquad \mathrm{Var}\!\left((W_{t_k} - W_{t_{k-1}})^2\right) = 2 (t_k - t_{k-1})^2

其中方差用到 Z∼N(0,σ2)Z \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) 的四阶矩 E[Z4]=3σ4E[Z^4] = 3 \sigma^4。由增量独立性，

E[Qn]=∑k=1n(tk−tk−1)=T,Var(Qn)=2∑k=1n(tk−tk−1)2≤2T∥Πn∥→0E[Q_n] = \sum_{k=1}^{n} (t_k - t_{k-1}) = T, \qquad \mathrm{Var}(Q_n) = 2 \sum_{k=1}^{n} (t_k - t_{k-1})^2 \leq 2 T \|\Pi_n\| \to 0

切比雪夫不等式 P(∣Qn−T∣>ϵ)≤Var(Qn)/ϵ2P(|Q_n - T| > \epsilon) \leq \mathrm{Var}(Q_n) / \epsilon^2 收束论证：Qn→PTQ_n \xrightarrow{P} T。

对比任意连续可微函数 ff：由中值定理，∣f(tk)−f(tk−1)∣≤M(tk−tk−1)|f(t_k) - f(t_{k-1})| \leq M (t_k - t_{k-1})，其中 MM 为 ∣f′∣|f'| 在 [0,T][0, T] 上的某个上界，故

∑k(f(tk)−f(tk−1))2≤M∥Πn∥⋅∑k∣f(tk)−f(tk−1)∣→0\sum_k (f(t_k) - f(t_{k-1}))^2 \leq M \|\Pi_n\| \cdot \sum_k |f(t_k) - f(t_{k-1})| \to 0

光滑函数的二次变差为零，布朗运动的二次变差严格为正。这就是「WtW_t 比任何光滑函数都更皱」的精确陈述——样本路径以严格为正的速率累积增量平方，再怎么细化分划也磨不掉。

四、处处不可微、无界变差

二次变差非零只是第一个症状。两条更强的路径病态紧随其后——以下作为命名结果陈述，本课不予证明，证明见 Karatzas & Shreve 第二章定理 9.18 与 9.25：

  1. 几乎每条布朗样本路径​​处处不可微​​：不存在 t≥0t \geq 0 使得 lim⁡h→0(Wt+h−Wt)/h\lim_{h \to 0} (W_{t+h} - W_t)/h 存在。
  2. 几乎每条布朗样本路径在每个区间上具有​​无界总变差​​：对任一 [a,b]⊂[0,∞)[a, b] \subset [0, \infty)，sup⁡Π∑k∣Wtk−Wtk−1∣=+∞\sup_\Pi \sum_k |W_{t_k} - W_{t_{k-1}}| = +\infty a.s.

两条性质紧密相连。有界变差是 Riemann-Stieltjes 积分给出的标准充分框架，而布朗路径恰好落在此框架之外。具体地，经典构造 ∫0TH(s) dW(s):=lim⁡∑kH(τk)(Wtk−Wtk−1)\int_0^T H(s)\, dW(s) := \lim \sum_k H(\tau_k) (W_{t_k} - W_{t_{k-1}}) 用在布朗运动上以最强方式失效：极限会依赖求值点 τk∈[tk−1,tk]\tau_k \in [t_{k-1}, t_k] 的选取，而 Riemann-Stieltjes 存在性定理——其充分条件要求积分子具有界变差——在此并不适用。布朗运动的总变差无穷，对 dWtdW_t 的 Riemann-Stieltjes 极限在通常意义下不再自动存在；这就是下一课要从零搭出伊藤积分要补的缺口，做法是把求值点钉死在左端点 τk=tk−1\tau_k = t_{k-1}，再用 L2L^2 等距代替 Riemann-Stieltjes 的极限机理。

五、两条命名结果：强马尔可夫性、重对数律

收尾给出本模块会反复调用、但不在此证明的两条结果。

​强马尔可夫性​​（strong Markov property）。设 τ\tau 为关于 Ft\mathcal{F}_t 的停时——即对每个 t≥0t \geq 0，事件 {τ≤t}\{\tau \leq t\} 属于 Ft\mathcal{F}_t 的随机时刻。在 τ<∞\tau < \infty 的条件下，过程 W~u:=Wτ+u−Wτ\tilde W_u := W_{\tau + u} - W_\tau 仍是标准布朗运动，且独立于 Fτ\mathcal{F}_\tau。布朗运动​​在任一停时处重新启动，并独立于该时刻之前的过去​​。这是障碍式期权（barrier option）定价与首达时（first passage time）分析的技术基础——本平台模块 1.4.5《高级衍生品》将在闭式定价敲出 call 时再次调用这一性质。

​重对数律​​（Hartman-Wintner law of the iterated logarithm）。

lim sup⁡t→∞Wt2tlog⁡log⁡t=1a.s.\limsup_{t \to \infty} \frac{W_t}{\sqrt{2 t \log \log t}} = 1 \quad \text{a.s.}

对称地 lim inf⁡=−1\liminf = -1 a.s.。上一课「t\sqrt{t} 量级波动」的直觉在此被精化：最紧的路径增长包络以 2tlog⁡log⁡t\sqrt{2 t \log \log t} 的速率扩张，布朗运动会无穷次地触到它。下面的滑块沿 t>et > e 区间追踪这条包络曲线（envelope 只在该区间上为正实数）；log⁡log⁡t\log \log t 修正项介入得极慢——在 t=1010t = 10^{10} 处迭代对数也不过 33 左右。

Formula Explorer

sqrt(2 * t * log(log(t)))

六、自我检查

Exercise

将 [0,2][0, 2] 等分为 n=100n = 100 个子区间。利用 E[Qn]=TE[Q_n] = T 与切比雪夫不等式，给出布朗运动二次变差 QnQ_n 在 [0,2][0, 2] 上 P(∣Qn−2∣>0.5)P(|Q_n - 2| > 0.5) 的一个上界。请写出推导过程，并给出最终数值上界。

提示
每个子区间长度 Δt=2/100=0.02\Delta t = 2/100 = 0.02。在 n=100n = 100 个等距增量下，由 Var(Qn)=2∑k(Δtk)2\mathrm{Var}(Q_n) = 2 \sum_k (\Delta t_k)^2 算出数值方差。
提示
切比雪夫：P(∣Qn−EQn∣>ϵ)≤Var(Qn)/ϵ2P(|Q_n - E Q_n| > \epsilon) \leq \mathrm{Var}(Q_n)/\epsilon^2，其中 EQn=2E Q_n = 2、ϵ=0.5\epsilon = 0.5、Var(Qn)=2⋅100⋅(0.02)2=0.08\mathrm{Var}(Q_n) = 2 \cdot 100 \cdot (0.02)^2 = 0.08。

七、通往下一课

你现在握有两条事实，足以迫出一种新的积分。其一，WtW_t 是鞅：对未来的最佳猜测就是当下值，任何对它的操作要么保留这一性质，要么必须以可控方式打破它。其二，样本路径具有无界总变差，因此经典 Riemann-Stieltjes 积分对 dWtdW_t 在通常意义下不存在。下一课从零构造​​伊藤积分​​（Itô integral）∫0tHs dWs\int_0^t H_s\, dW_s 来弥合这一缺口：先对简单适应过程按求和直接定义，再以伊藤等距（Itô isometry）延拓到所有平方可积适应被积函数。WW 的鞅性正是延拓得以成立的支柱——它精确控制部分和的 L2L^2 范数，让极限存在。把二次变差等式 [W]T=T[W]_T = T 一并带走；它会在每一步下游推导的伊藤修正项中以 (dW)2=dt(dW)^2 = dt 的形式再次出现。