伊藤公式与随机微分方程 — 布朗运动与伊藤积分

钩子：周五下午两点四十分，私募衍生品桌上的一个数

周五下午两点四十分，你在一家沪深300指数增强私募的衍生品桌上，手里挂着一张以 300ETF 期权（300ETF options）对冲的指数风险敞口。模拟引擎用几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）跑了 10 万条 60 个交易日的路径，你发现一个让人不安的现象：输入的年化收益率 $\mu = 8\%$ 、年化波动率 $\sigma = 40\%$ ，但所有模拟路径终点对数收益率（log return）的中位数算下来只有 $0\%$ 左右。代码并没有写错——这是伊藤引理（Itô's lemma）给出的真实结论。本节要把这条 $-\sigma^2/2$ 的缺口从哪儿冒出来讲清楚，顺便把第一类随机微分方程（stochastic differential equation, SDE）写下来。

伊藤过程

回顾上一节构造的伊藤积分。设 $W_t$ 是 $[0, T]$ 上的标准布朗运动（Brownian motion）， $\mathcal{F}_t$ 是它生成的自然滤波（natural filtration）。一个 伊藤过程（Itô process）是 $[0, T]$ 上的连续 $\mathcal{F}_t$ 适应过程，写成积分形式

X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s\, ds + \int_0^t \sigma_s\, dW_s

或等价的微分简记

dX_t = \mu_t\, dt + \sigma_t\, dW_t

其中 $\mu_s$ 与 $\sigma_s$ 都是 $\mathcal{F}_t$ 适应过程，只需满足温和的可积条件（ $\mu \in L^1([0, T])$ a.s.， $\sigma \in L^2_{\mathrm{ad}}$ ），右边两个积分就都有定义。 $\mu_t$ 称为 漂移（drift）， $\sigma_t$ 称为 扩散系数（diffusion coefficient）；二者都可以依赖 $X_t$ 与 $t$ 。积分形式适合证明，微分形式适合手算——后面所有扩散过程都长这一个样子： $dt$ 一项漂移、 $dW_t$ 一项扩散，由同一条 $W_t$ 驱动。

伊藤引理

主结果。设 $f(t, x) \in C^{1, 2}$ ，即对 $t$ 一阶连续可微、对 $x$ 二阶连续可微。则 $f(t, X_t)$ 仍是伊藤过程，且

df(t, X_t) = \left(\partial_t f + \mu_t \partial_x f + \tfrac{1}{2} \sigma_t^{\,2} \partial_{xx} f\right) dt + \sigma_t \partial_x f\, dW_t

这就是 伊藤引理（业内也常写作伊藤公式）。和经典链式法则对比：中括号里多出来的 $\tfrac{1}{2} \sigma_t^{\,2} \partial_{xx} f\, dt$ 是 伊藤校正项（Itô correction），来源完全在于布朗运动的二次变差不可忽略。划掉它，你回到普通微积分；保留它，整个衍生品定价框架才立得住。

启发式推导（四步）

清晰地看到伊藤校正项的来源，最干净的办法是对 $f(t, X_t)$ 做二阶 Taylor 展开（此处用到模块 2.4.2 第 3 讲「Taylor 展开与 Hessian」的标准结论），再套用随机微分的乘法规则。每一步把账记清楚。

写出对 $X$ 二阶、对 $t$ 一阶的 Taylor 展开。

df = \partial_t f\, dt + \partial_x f\, dX_t + \tfrac{1}{2}\partial_{xx} f\, (dX_t)^2

$dt$ 一阶足够，因为 $dt$ 没有二次变差； $dX$ 二阶必须保留，因为它有。上一讲已经在 $L^2$ 极限意义下把更高阶项扫掉。

代入 $dX_t = \mu_t\, dt + \sigma_t\, dW_t$ 并平方。

(dX_t)^2 = \mu_t^{\,2}\, (dt)^2 + 2 \mu_t \sigma_t\, dt\, dW_t + \sigma_t^{\,2}\, (dW_t)^2

套用随机乘法表。 在无穷小尺度上，

dt\,dt = 0, \qquad dt\,dW_t = 0, \qquad (dW_t)^2 = dt

前两条是量纲问题： $dt$ 的阶为 $1$ ，所以 $(dt)^2$ 与 $dt\,dW_t \sim dt^{3/2}$ 都属于次主项，丢掉。第三条才是实质内容，它正是上一模块第 2 讲里布朗运动 二次变差（quadratic variation） $[W]_t = t$ 的微分版本——同一事实换了一身衣服。代入后 $(dX_t)^2 = \sigma_t^{\,2}\, dt$ 。

收集系数。 回到 Taylor 展开：

df = \partial_t f\, dt + \partial_x f\, (\mu_t\, dt + \sigma_t\, dW_t) + \tfrac{1}{2} \partial_{xx} f \cdot \sigma_t^{\,2}\, dt

按 $dt$ 与 $dW_t$ 分组，即得伊藤引理的标准形式。

更高阶项在 $L^2$ 意义下消失的严格证明，由伊藤等距（Itô isometry）控制，参见 Shreve / Karatzas-Shreve 的处理；手算用乘法表已经足够。

三个标准例子

例 1：自洽性检验—— $d(W_t^{\,2})$

取 $X_t = W_t$ （即 $\mu = 0$ 、 $\sigma = 1$ ）与 $f(x) = x^2$ ，则 $\partial_t f = 0$ 、 $\partial_x f = 2x$ 、 $\partial_{xx} f = 2$ ，代入伊藤引理：

d(W_t^{\,2}) = \left(0 + 0 + \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\right) dt + 1 \cdot 2 W_t\, dW_t = dt + 2 W_t\, dW_t

两端从 $0$ 到 $T$ 积分：

W_T^{\,2} = T + 2 \int_0^T W_s\, dW_s \quad \Longrightarrow \quad \int_0^T W_s\, dW_s = \tfrac{1}{2} W_T^{\,2} - \tfrac{1}{2} T

这正是上一讲直接由简单过程极限算出来的恒等式。两行套伊藤引理就把它复现一次，是这套公式与底层积分之间最干净的一致性检查。

例 2：指数函数

设 $X_t$ 满足 $dX_t = \mu\, dt + \sigma\, dW_t$ （ $\mu$ 与 $\sigma$ 为常数）， $f(x) = e^{x}$ 。则

d(e^{X_t}) = e^{X_t}\left[\left(\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right) dt + \sigma\, dW_t\right]

指数尺度上的漂移是 $\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}$ ，不是 $\mu$ 。这半个方差是伊藤校正项第一次以金融形式出场。

例 3：GBM 的对数尺度——一个会反复出现的常数

对几何布朗运动 $dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$ 取 $f(s) = \log s$ ，则 $\partial_s f = 1/S_t$ 、 $\partial_{ss} f = -1/S_t^{\,2}$ 。代入伊藤引理（注意此处 $\mu_t = \mu S_t$ 、 $\sigma_t = \sigma S_t$ ）：

d(\log S_t) = \left(\mu S_t \cdot \tfrac{1}{S_t} + \tfrac{1}{2}\, \sigma^{2} S_t^{\,2} \cdot \left(-\tfrac{1}{S_t^{\,2}}\right)\right) dt + \sigma S_t \cdot \tfrac{1}{S_t}\, dW_t

化简得

d(\log S_t) = \left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right) dt + \sigma\, dW_t

对数尺度漂移是 $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}$ ，而不是 $\mu$ ——那 $-\tfrac{1}{2}\sigma^{2}\, dt$ 一项就是伊藤校正项。在普通链式法则下根本不会出现这一项；要是头脑里把它漏掉，你估算连续复利收益就会被系统性地高估半个方差。这条修正会原样出现在每一份方差互换（variance swap）的合理执行价里、每一笔连续复利持有收益的估算里，以及你将在模块 1.4.3 推导的每一张 Black-Scholes 模型（Black-Scholes）期权价里。

下面这个滑块把校正项的大小变得可触摸——挑一个漂移、一个波动率，读出市场实际经历的对数漂移：

Formula Explorer

mu - 0.5 * sigma^2

把波动率从 $\sigma = 20\%$ 拨到 $\sigma = 40\%$ ，对数漂移从 $\mu - 0.02$ 掉到 $\mu - 0.08$ ；当 $\mu = 8\%$ 时，后一种参数下对数漂移恰好接近 $0$ ，开头那只「年化预期收益 $8\%$ 、跑出中位收益 $0\%$ 」的模拟之谜就此收尾。从业者口头报的是算术均值、口袋里收的是几何均值，这一项正是两者的差。我们把它叫做 波动率拖累（volatility drag）。

随机微分方程

现在可以反过来走：不再从一个伊藤过程出发再做变换，而是直接从 系数 出发，问是否存在一个过程满足这些系数。一维 随机微分方程（SDE）写成

dX_t = b(t, X_t)\, dt + \sigma(t, X_t)\, dW_t, \qquad X_0 = x_0

其中漂移 $b$ 与扩散 $\sigma$ 都是 $(t, x)$ 的确定性函数——比一般伊藤过程更紧：系数不再是任意适应过程。强解（strong solution）指在 $[0, T]$ 上连续、 $\mathcal{F}_t$ 适应的过程 $X_t$ ，在同一条驱动布朗运动 $W_t$ 下几乎必然满足方程的积分形式。后面会反复用到的基础定理：

强存在唯一性定理。 若 $b$ 与 $\sigma$ 关于 $(t, x)$ 联合连续、关于 $x$ 全局 Lipschitz（在 $t$ 上一致），并满足线性增长条件 $|b(t, x)| + |\sigma(t, x)| \le K(1 + |x|)$ ，则对任意初值 $x_0$ ，存在唯一一个 $\mathcal{F}_t$ 适应、轨道连续的强解 $X_t$ 。

证明是 Picard 迭代，平行于确定性 ODE 情形，只是把 $L^2$ 范数交给伊藤等距来控制（详见龚光鲁《随机微分方程引论》第三章）。手算跳过证明，验证条件即可。

GBM 即可一试： $b(t, s) = \mu s$ 与 $\sigma(t, s) = \sigma s$ 在 $s$ 上全局 Lipschitz、且线性增长，定理直接适用，存在唯一连续适应的强解。写成 闭式 是下一讲的事。

本模块解 SDE 只用三件工具：（i） 对候选变换用伊藤引理算出它满足什么 SDE；（ii） 反向地，用伊藤引理验证候选解满足给定 SDE；（iii） 用 Lipschitz 唯一性把候选解钉死为唯一解。

两扇今天不打开的门。多维伊藤引理： 当 $X_t$ 向量值、由多条独立布朗运动驱动时，乘法表会冒出协变项 $dW^i_t\, dW^j_t = \delta_{ij}\, dt$ ——下一讲一句话带过，模块 2.7.2 把它和偏微分方程（partial differential equation, PDE）形式的 Black-Scholes 公式接起来时再展开。Stratonovich 约定： 服从普通链式法则但破坏鞅性，物理里对、金融里错，本模块一律用伊藤约定。Euler-Maruyama 与 Milstein 数值格式不在本模块范围。

自检练习

Exercise

设 $dX_t = \mu\, dt + \sigma\, dW_t$ ，其中 $\mu$ 与 $\sigma$ 均为常数。用伊藤引理推导 $d(X_t^{\,3})$ 。写出最终的随机微分形式（包含伊藤校正项），并指出在普通链式法则下哪一项不会出现。

提示

伊藤引理需要

\partial_t f

、

\partial_x f

、

\partial_{xx} f

三个偏导。对

f(x) = x^{3}

来说，

t

不显式出现，

\partial_t f = 0

，只有

x

偏导携带信息。

提示

把

\mu_t = \mu

、

\sigma_t = \sigma

这两个常数代入公式。

\tfrac{1}{2}\sigma^{2} \partial_{xx} f\, dt

给出

3\sigma^{2} X_t\, dt

，这就是伊藤校正项——普通链式法则下不会出现。

下一讲预告

到这里你已经握住了随机微积分里的两件主力工具：上一讲的伊藤积分，与本讲的伊藤引理。下一讲把它们合起来求解 $dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t$ ，得到几何布朗运动的闭式解 $S_t = S_0 \exp\bigl((\mu - \sigma^2/2)\, t + \sigma W_t\bigr)$ ，并把对数尺度漂移 $\mu - \sigma^2/2$ 与算术期望 $\mathbb{E}[S_t] = S_0 e^{\mu t}$ 之间那个 $\sigma^2/2$ 的缺口正式命名为波动率拖累——开头那张沪深300 私募桌上「年化 $8\%$ 跑出 $0\%$ 中位」的模拟之谜也会在那里收尾。再往后一步，这个 $\sigma^2/2$ 会原样出现在偏微分方程形式的 Black-Scholes 公式里，为模块 2.7.2《鞅与风险中性定价》以及模块 1.4.3 的 Black-Scholes 推导预先打好桩。