从随机游走到布朗运动 — 布朗运动与伊藤积分

上海某私募的量化研究员在白板上为沪深300 指数搭一个日内连续时间价格模型。她先画出一条平滑、处处可微的候选价格曲线 $t \mapsto S_t$ ，立刻被同事打断：「只要 $S_t$ 处处可微，你看到斜率为正的时刻就买入、转负就卖出，几秒内便能锁定无风险收益——这与无套利冲突。」结论是，连续时间随机模型背后的噪声源必须连续，但处处不可微。本节按龚光鲁《随机微分方程引论》的顺序：先把唯一满足这一描述的对象——布朗运动（Brownian motion，亦称 Wiener process / 维纳过程）——用四条性质钉死，再用最朴素的对称简单随机游走（symmetric simple random walk）做一次时间-空间双重缩放，把这个对象「逼出来」。

一、布朗运动：四条定义性质

日常工作中你不会通过极限去操作 $W_t$ ，而是把它当成已知对象使用。标准布朗运动 $W_t$ （ $t \geq 0$ ）由以下四条性质刻画：

\begin{aligned} &\text{(i)} \quad W_0 = 0 \text{ a.s.} \\ &\text{(ii)} \quad W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t - s), \quad 0 \leq s < t \\ &\text{(iii)} \quad \text{increments on disjoint intervals are independent} \\ &\text{(iv)} \quad t \mapsto W_t \text{ is continuous a.s.} \end{aligned}

读法是：性质 (i) 把时间起点钉在零；性质 (ii) 把每一段增量都塞进单参数正态分布（Gaussian distribution）族，方差仅依赖于时间长度而与具体位置无关；性质 (iii) 是「无记忆」——已经走过的路径对未来的增量不携带任何信息；性质 (iv) 排除跳跃，保留「连续但处处不可微」这一对前面无套利论证的最低要求。这四条性质唯一刻画 $W_t$ 的法则，是它在本模块乃至 Track 2 后续课程中的工作定义。

存在性由 Kolmogorov 一致性定理与 Kolmogorov–Centsov 路径连续性定理共同保证，详见 Karatzas & Shreve 第 2 章；本节只把这四条作为可使用的公理，下一节起把它当作已知对象推路径性质与积分。但还有一件事必须先讲清楚：为什么这样的对象「应当存在」？这正是接下来随机游走双重缩放要回答的——它给出一条具体的逼近序列，让你看到 $W_t$ 不是凭空指定的公理对象，而是离散对称随机游走在合适尺度下唯一非平凡的极限。

二、对称简单随机游走与双重缩放

先用最小的离散骨架做动机。设 $X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布，各取值 $+1$ 或 $-1$ 各以概率 $1/2$ 。每步 $E[X_i] = 0$ 、 $\mathrm{Var}(X_i) = 1$ ，独立性把方差累加： $E[S_n] = 0$ 、 $\mathrm{Var}(S_n) = n$ 。游走的典型幅度按 $\sqrt{n}$ 扩张——这条 $\sqrt{n}$ 律决定了下面双重缩放的比例。

要在连续时间 $[0, 1]$ 上得到一个非平凡极限，必须同时压缩时间步长与空间幅度。时间加速 $n$ 倍、空间收缩 $\sqrt{n}$ 倍：

W^{(n)}_t = \dfrac{S_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}}, \qquad S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i, \qquad P(X_i = +1) = P(X_i = -1) = \tfrac{1}{2}

若按更快的速度（譬如 $n$ ）收缩空间，极限退化为零；若按更慢的速度（譬如 $n^{1/4}$ ）收缩，方差发散。 $\sqrt{n}$ 是把方差留在 $O(1)$ 上的唯一比例。直接算： $\mathrm{Var}(W^{(n)}_t) = \lfloor nt \rfloor / n \to t$ ，恰好对上四条性质里 (ii) 取 $s = 0$ 给出的 $\mathrm{Var}(W_t) = t$ 。

三、CLT 与 Donsker 不变性原理

对每个固定 $t > 0$ ，中心极限定理（central limit theorem, CLT；即模块 2.1.1 第 5 节棣莫弗—拉普拉斯框架的一般化）把 $S_{\lfloor nt \rfloor}$ 这一 $\lfloor nt \rfloor$ 项独立同分布单位方差和的极限钉成正态分布：

W^{(n)}_t \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, t), \qquad n \to \infty

这只刻画了单点边际，是「在一个时刻像高斯」。唐斯克不变性原理（Donsker's invariance principle）把它升级为路径级结论：把 $W^{(n)}$ 的折线插值看作连续函数空间 $C[0, 1]$ 上的随机元素，则随机游走的折线插值在 $C[0, 1]$ 上依分布收敛到一个连续时间随机过程 $W$ ，即标准布朗运动。Donsker 的意义在于：你能把跑高（running maximum）、首次穿越时间、占用时（occupation time）等路径泛函都连同极限一起搬过去——这正是定价工程把期权收益写成 $W_t$ 路径泛函时所需的核心保障。

四、协方差结构与一般联合分布

由 (ii) 取 $s = 0$ 立得 $E[W_t] = 0$ 、 $\mathrm{Var}(W_t) = t$ 。再用两条性质组合，得到把 $W_t$ 接入任何线性高斯框架（卡尔曼滤波、最小二乘、二维正态条件公式）所需的唯一新信息：

\mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \min(s, t), \qquad s, t \geq 0

推导。不妨设 $0 \leq s \leq t$ 。把 $W_t$ 拆成可观测量加增量：

写 $W_t = W_s + (W_t - W_s)$ 。
由性质 (iii)， $W_s$ （即 $[0, s]$ 上的增量）与 $W_t - W_s$ （定义在不相交区间 $[s, t]$ 上）独立，故 $\mathrm{Cov}(W_s, W_t - W_s) = 0$ 。
协方差对加法线性展开：

\mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \mathrm{Cov}(W_s, W_s) + \mathrm{Cov}(W_s, W_t - W_s) = \mathrm{Var}(W_s) + 0 = s = \min(s, t)

对称地，当 $t \leq s$ 得到 $\min(s, t) = t$ 。合起来即上面的普适等式。把 $\min(s, t)$ 读作「两个时刻共享的历史长度」：在 $\min(s, t)$ 之前的随机抖动同时进入 $W_s$ 与 $W_t$ ，构成全部协方差；之后的抖动只进入更晚的那一个，独立于另一个，贡献为零。

一般联合分布。对任意 $0 < s < t$ ， $(W_s, W_t)$ 是均值为零的二维正态向量，方差 $s, t$ ，协方差 $\min(s, t) = s$ ；换一组等价坐标， $(W_s, W_t - W_s)$ 仍二维正态、零均值、方差 $s$ 与 $t - s$ ，但协方差为 $0$ 、因而独立——后一组在条件推断里更顺手，因为已知 $W_s$ 不会移动 $W_t - W_s$ 的分布。

五、数值例子

取 $s = 1$ 、 $t = 4$ 。由四条性质， $(W_1, W_4)$ 服从均值为零的二维正态分布（bivariate normal；模块 2.1.2 第 4 节多维正态分布在 $d = 2$ 时的形态），方差分别为 $1$ 与 $4$ ，协方差为 $1$ ，相关系数

\begin{aligned} (W_1, W_4) &\sim \mathcal{N}_2\!\left(\mathbf{0},\, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\right), \\ \rho(W_1, W_4) &= \frac{\mathrm{Cov}(W_1, W_4)}{\sqrt{\mathrm{Var}(W_1)\,\mathrm{Var}(W_4)}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 4}} = 0.5 \end{aligned}

记住这个 $0.5$ ：同一条布朗路径上「短时刻」与「长时刻」位置的相关性按时间比值开方衰减，是后面所有连续时间定价公式里时间因子的源头之一。下面的滑块让你拖动 $t > 0$ 观察 $W_t$ 边际密度——方差随 $t$ 线性增长，峰高按 $1/\sqrt{t}$ 收缩（ $t \to 0$ 时密度退化为零点处的 Dirac 质点，因此滑块范围保持严格大于零）：

Formula Explorer

exp(-x^2 / (2 * t)) / sqrt(2 * pi * t)

六、练习

Exercise

设 $W_t$ 为标准布朗运动。计算 $P(W_2 > 1)$ 、 $E[W_3 W_5]$ ，并给出 $W_5$ 在 $W_3 = 0.2$ 条件下的分布。请写出最终数值答案与条件分布。

提示

三问各对应一条基本性质：第一问由 (ii) 把

W_2

标准化为单点正态后查表；第二问对

E[W_s W_t]

直接套协方差等式；第三问把

W_5 = W_3 + (W_5 - W_3)

拆成已知量加独立增量。

提示

P(W_2 > 1) = 1 - \Phi(1/\sqrt{2}) \approx 0.2398

；

E[W_3 W_5] = \min(3, 5) = 3

；增量

W_5 - W_3 \sim \mathcal{N}(0, 2)

独立于

W_3

，故

W_5 \mid W_3 = 0.2 \sim \mathcal{N}(0.2, 2)

。

七、通往下一课

至此你能把布朗运动当作「已知对象」使用：四条性质、均值为 $0$ 、方差为 $t$ 、协方差为 $\min(s, t)$ 。下一课要把镜头拉近到路径层面——以概率 $1$ ， $W_t$ 处处不可微、总变差在任意区间上无界，而二次变差 $[W]_t = t$ 而非 $0$ 。这些反常的路径性质正是为什么 $\int f \, dW$ 不能按经典 Riemann–Stieltjes 积分定义；伊藤积分将在本模块第 3 节为此从头搭脚手架。再往后，几何布朗运动作为沪深300 指数等连续时间股价模型的数学骨架将在本模块第 5 节登场，并在模块 1.4.3 进入 Black-Scholes 公式的推导。