几何布朗运动与量化金融应用 — 布朗运动与伊藤积分

路演桌上的两条收益率

周三下午，沪深300 量化对冲产品的路演会。某私募管理人把净值幻灯片翻到第四页：年化预期收益 8%，年化波动率 40%。代销渠道的合规突然问：「按这个预期收益，投资者持有三年的中位数到底是多少？」管理人愣了三秒。这正是几何布朗运动（geometric Brownian motion, GBM）在路演桌上现形的瞬间——算术意义的期望收益与对数尺度的中位收益，可以相差整整一个 $\sigma^2 / 2$ 。本课把这条裂缝拆透，并把上一课伊藤引理（Itô's lemma）的校正项搬到衍生品定价的入口。

1. GBM 方程与闭式解

对初始价格 $S_0 > 0$ 、常数 $\mu \in \mathbb{R}$ 与 $\sigma > 0$ ，几何布朗运动定义为

dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t, \quad S_0 > 0

其中 $W_t$ 为标准布朗运动（Brownian motion）。漂移与扩散都正比于 $S_t$ ，因此在原始尺度上这是变系数 SDE；但一旦换到对数尺度，它会立刻变成常系数 SDE。

逐步求解。 把伊藤引理应用到 $f(s) = \log s$ ：偏导为 $\partial_t f = 0$ 、 $\partial_s f = 1/s$ 、 $\partial_{ss} f = -1/s^2$ 。代入 GBM 的漂移 $\mu_t = \mu S_t$ 与扩散 $\sigma_t = \sigma S_t$ ，伊藤引理给出

\begin{aligned} d(\log S_t) &= \left( 0 + (\mu S_t) \cdot \tfrac{1}{S_t} + \tfrac{1}{2}(\sigma S_t)^2 \cdot \left(-\tfrac{1}{S_t^2}\right) \right) dt + (\sigma S_t) \cdot \tfrac{1}{S_t}\, dW_t \\ &= \left( \mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2 \right) dt + \sigma\, dW_t \end{aligned}

$S_t$ 因子全部约去。原本看起来是非线性 SDE 的方程，在 $\log S_t$ 尺度上化作常系数 SDE，可以逐项积分。对 $[0, t]$ 两端取积分： $\log(S_t/S_0) = (\mu - \sigma^2/2)\, t + \sigma W_t$ 。取指数即得闭式解：

S_t = S_0 \exp\!\left((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2) t + \sigma W_t\right)

这是连续时间量化金融里复用次数最多的恒等式：每条蒙特卡洛路径、每一笔欧式期权（European option）闭式价、每一次方差互换的合理执行率，最终都靠它落地。漂移 $(\mu - \sigma^2/2) t$ 比裸 $\mu t$ 少了一项 $\sigma^2/2$ ——这正是上一课在 $f(s) = \log s$ 的二阶导上嵌入的伊藤校正。它不是来自任何金融假设，而是来自路径的二次变差 $[W]_t = t$ ，是把不可微的布朗路径搬到光滑函数上后必须支付的代价。下面的滑块用来扫描 $S_0$ 、 $\mu$ 、 $\sigma$ 、 $t$ 与一次布朗采样 $w = W_t$ ，观察单条 GBM 轨迹的形态。

Formula Explorer

S0 * exp((mu - 0.5 * sigma^2) * t + sigma * w)

参数化交互控件将在 beta 后续版本接入；当前先展示公式与正文。

2. 分布后果与「两个漂移」

由闭式解直接读出： $\log(S_t/S_0)$ 服从正态分布（Gaussian distribution），均值 $(\mu - \sigma^2/2) t$ 、方差 $\sigma^2 t$ ；等价地 $S_t$ 服从对数正态分布。把它写成显式形式：

\log(S_t / S_0) \sim \mathcal{N}\!\left((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2) t,\ \sigma^2 t\right)

由对数正态的矩生成函数或直接计算 $E[\exp(\sigma W_t)] = \exp(\tfrac{1}{2}\sigma^2 t)$ ，可读出前两阶矩：

E[S_t] = S_0 e^{\mu t}, \qquad \mathrm{Var}(S_t) = S_0^2 e^{2\mu t}\left(e^{\sigma^2 t} - 1\right)

注意这里的语义切换：期望 $E[S_t]$ 以裸 $\mu$ 复利，而典型路径的指数则带 $\mu - \sigma^2/2$ 。 $\sigma^2/2$ 出现在典型路径里，不在期望里。

接下来要花真功夫。GBM 同时给出两个看似都叫漂移的数，而它们的实务含义截然不同：

$\mu$ 是算术期望增长率： $E[S_t]/S_0 = e^{\mu t}$ 。这是基金路演幻灯片上口语报出的「预期年化收益」，也是宣传材料里默认对标的那一项。
$\mu - \sigma^2/2$ 是对数尺度漂移，等于 $\log(S_t/S_0)$ 均值除以 $t$ ，刻画的是对数收益的中位数——也就是有一半路径会落在其下、一半落在其上的那条分隔线。

两者的差 $\sigma^2/2$ 正是上一课的伊藤校正项穿上金融外衣后的名字，业界称为波动率拖累（volatility drag）。它的实务含义是：在 $\mu$ 不变的前提下， $\sigma$ 越大，中位数路径越被压低，即便算术期望仍然为正。直观上，算术期望由少数极端上涨路径拉高，中位数只关心「中间那条」路径——波动率越大，分布越偏，两者裂得越开。这本质上是 Jensen 不等式在指数函数上的表现： $E[\exp(\cdot)] \geq \exp(E[\cdot])$ ，缺口随方差线性增长。固定 $\sigma$ 、令 $T$ 增大，算术期望 $S_0 e^{\mu T}$ 与中位数 $S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2) T}$ 的比值 $e^{(\sigma^2/2) T}$ 随 $T$ 指数张开：路演幻灯片上的「年化预期」越往远期复利，越远离投资者真正能体验到的「中间结局」。

数值锚点。 把数字摆出来才看得清。取 $\mu = 0.08$ 、 $\sigma = 0.40$ （年化），代入：

\mu - \sigma^2 / 2 = 0.08 - 0.08 = 0

即对数尺度漂移恰为 $0$ ，于是中位数意义上的年化对数收益为 $0\%$ 。然而算术期望端 $E[S_1]/S_0 - 1 = e^{0.08} - 1 \approx 8.33\%$ 看上去依然「健康」。同一对参数下，路演幻灯片上的「预期 8%」与投资者持有一年后真实拿到的中位体验，差了整整一个 $\sigma^2/2$ ——高波动率私募管理人在年化预期收益看似可观时，仍可能在对数尺度上零增长。这是几何布朗运动模型对实务做基金路演的第一条警示（详见模块 4.6.2 业绩衡量与归因、模块 4.7.1 基金经济学与基金结构）。

需要记进肌肉记忆的诊断动作：每当有人甩给你一对 $\mu$ 和 $\sigma$ 问「典型投资者拿到的是什么」，先减掉 $\sigma^2/2$ 再答。

3. 多维伊藤公式与组合动态

把视角从单股放大到组合。设 $X_t = (X^1_t, \ldots, X^n_t)$ ，每个分量是伊藤过程

dX^i_t = \mu^i_t\, dt + \sum_{k=1}^{d} \sigma^{i,k}_t\, dW^k_t

其中 $W^1, \ldots, W^d$ 取为相互独立的标准布朗运动——任何瞬时相关 $\rho_{ij}$ 已经被吸收进系数矩阵 $\sigma^{i,k}_t$ （例如 Cholesky 分解，参见模块 2.4.1 线性代数基础）。对充分光滑的 $f(t, x_1, \ldots, x_n)$ ，多维伊藤引理给出

df(t, X_t) = \left( \partial_t f + \sum_i \mu^i_t\, \partial_{x_i} f + \tfrac{1}{2} \sum_{i,j} (\sigma \sigma^\top)_{ij,\, t}\, \partial_{x_i x_j} f \right) dt + \sum_{i,k} \sigma^{i,k}_t\, \partial_{x_i} f\, dW^k_t

二阶项里的 $\sigma \sigma^\top$ 即瞬时协方差矩阵——独立驱动加上 Cholesky 收口的写法下，它直接给出过程的瞬时协变结构（参见模块 2.1.2 第 4 课多维正态分布）。把这个公式代到双资产组合 $P_t = w_1 S^1_t + w_2 S^2_t$ （两支 GBM，由独立 $W^1, W^2$ 驱动，相关性已折入 $\sigma^{i,k}_t$ ）。 $P_t$ 是状态的线性函数，二阶偏导为零，因此

dP_t = (w_1 \mu_1 S^1_t + w_2 \mu_2 S^2_t)\, dt + w_1 \sigma_1 S^1_t\, dW^1_t + w_2 \sigma_2 S^2_t\, dW^2_t

组合本身不再是 GBM——漂移与扩散都不再正比于 $P_t$ 。若假设权重选择使得 $P_t > 0$ 几乎必然成立（多头组合且各分量为 GBM 即满足），则可以再对 $\log P_t$ 应用一次多维伊藤引理：此时非对角项 $\rho_{12} \sigma_1 \sigma_2$ 会立刻出现在对数尺度漂移里——组合层面的波动率拖累，由协方差矩阵的完整结构决定，而非仅由对角元素。这是为什么对冲组合即使方差被压下来，长期复利意义上的中位收益仍可能优于裸多头。把多维伊藤公式与协方差矩阵的特征分解（模块 2.4.1）拼起来，下一步自然过渡到主成分组合与风险因子模型（模块 4.4.1 多因子组合构建）。

4. Black-Scholes PDE 预览

最后落到衍生品定价的入口。在量化定价里，未到期欧式期权价格通常由偏微分方程（partial differential equation, PDE）刻画——这里的 PDE 是工具，不是新概念。考虑写在 GBM 标的 $S_t$ 上、行权价 $K$ 、到期 $T$ 的欧式 call，终端支付 $(S_T - K)^+$ 。在常数无风险利率 $r$ 与常数 $\sigma$ 设定下，Black-Scholes 模型给出的无套利价格 $V(t, S_t)$ 满足

\partial_t V + r S\, \partial_S V + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\, \partial_{SS} V - r V = 0, \quad V(T, S) = (S - K)^+

完整的德尔塔对冲（delta hedging）推导留给模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母——本课只点明哪一步用到伊藤引理：把伊藤公式应用到 $V(t, S_t)$ ，正是产生 $\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\, \partial_{SS} V\, dt$ 项的那一步。换句话说，BS PDE 中每一个常系数项，都能直接追溯回本模块构造的对象： $\partial_t V$ 来自伊藤展开的时间偏导， $r S\, \partial_S V$ 来自一阶项的无套利平衡（原 $\mu$ 在对冲论证里被替换为 $r$ ）， $\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\, \partial_{SS} V$ 来自 $(dW)^2 = dt$ 的伊藤校正， $-rV$ 来自贴现因子。整个模块的回报在这里兑现：从 lesson 1 的随机游走极限、lesson 2 的二次变差、lesson 3 的伊藤等距、lesson 4 的伊藤引理，到本课的 GBM 闭式解与多维伊藤公式，最后落到一条期权交易员每天看的偏微分方程——这条工具链没有跳过任何一步，也没有引入任何外部假设。

练习

Exercise

设 $S_t$ 服从 GBM，初值 $S_0 = 100$ 、 $\mu = 0.10$ 、 $\sigma = 0.30$ 、 $T = 1$ 。计算 (i) $E[S_T]$ ；(ii) $S_T$ 的中位数；(iii) $P(S_T > 100)$ 。涉及数值时保留两位小数。

提示

对数尺度的中位数与算术均值不是同一个量。(i) 用

E[S_T] = S_0 e^{\mu T}

；(ii) 中位数取

S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2) T}

；(iii) 把

\log(S_T/S_0)

标准化为标准正态后求尾概率。

提示

(iii) 等价于

P(\log(S_T/S_0) > 0)

；中心项是

\mu - \sigma^2/2 = 0.055

、标准差

\sigma\sqrt{T} = 0.30

，查

\Phi(0.1833) \approx 0.5727

。

通向下一模块

到这里 Track 2 的积木已经摆齐：布朗运动、伊藤积分、伊藤引理、SDE、几何布朗运动与 Black-Scholes 模型的 PDE。BS PDE 与风险中性（risk-neutral）期望两种表述的等价性——

V(t, S_t) = e^{-r(T - t)}\, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[(S_T - K)^+ \mid \mathcal{F}_t\right]

——正是下一模块 2.7.2 鞅论与风险中性定价的核心内容，涉及 Girsanov 定理（漂移变换把 $\mu$ 换成 $r$ ）、Feynman-Kac 公式（抛物 PDE 与条件期望之间的桥）与鞅表示定理（对冲组合存在性的根因）。这是 Track 2 的终点，也是 Track 1 衍生品定价（模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母、模块 1.4.5 高级衍生品）的起点。