伊藤积分的构造

钩子：$\int \Delta_s\, dS_s$ 究竟在写什么？

上海某量化私募的衍生品研究组周一例会上，桌上摆着一份连续时间 Delta 对冲方案的初稿：策略对沪深300 股指期货持有动态头寸 $\Delta_s$，结算时账上的对冲腿累计盈亏被写成 $\int_0^T \Delta_s\, dS_s$。主管把上一课的笔记翻到边角，红笔划了一行——只要 $S_t$ 在背后由布朗运动（Brownian motion）$W_t$ 驱动，几乎每条样本路径的总变差（total variation）在任意区间上都是无穷，经典 Riemann–Stieltjes 积分对 $dW_t$ 根本不存在。要么承认这一对冲账目是空文，要么把 $\int_0^T \Delta_s\, dS_s$ 从头重新定义。本课做的正是后者。这是 Track 2 中最陡的一跳，做完以后你手里会有一个保鞅（martingale）、保 $L^2$ 范数、样本路径连续的随机积分。

一、左端点的选择与「伊藤约定」

回到上一课的结论：对几乎每条布朗路径，任意子区间上的总变差都是无穷，所以 Riemann–Stieltjes 和

在网格 $\max_k(t_{k+1} - t_k) \to 0$ 时，并不收敛到一个与求值点 $t_k^* \in (t_k, t_{k+1})$ 无关的极限。同一个被积过程 $H$，取左端点 $t_k^* = t_k$、中点 $(t_k + t_{k+1})/2$、右端点 $t_{k+1}$，会得到三个不同的极限值。

伊藤（Itô）的选择是​​始终取左端点​ $t_k^* = t_k$。这一条约定有两条直接后果：它让 $\int_0^t H_s\, dW_s$ 成为关于自然滤波 $\mathcal{F}_t$ 的鞅（martingale）；它也是下一课伊藤引理（Itô's lemma）中二阶修正项 $+\tfrac{1}{2}\,\sigma^2\, \partial_{xx} f\, dt$ 的来源（在本课算例 $f(w) = \tfrac{1}{2} w^2$ 中，它把闭式答案位移 $-\tfrac{1}{2} T$）。一句旁注：取中点的版本称为 Stratonovich 积分，在某些物理文献中常见；两套积分的换算见龚光鲁《随机微分方程引论》第二章第五节，本课与本模块通篇坚持​​伊藤约定​​。

二、第一步——在简单过程上按表观定义

固定区间 $[0, T]$ 上的分划 $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T$，以及一列 $\mathcal{F}_{t_k}$-可测的随机变量 $h_0, h_1, \ldots, h_{n-1}$。把

称为（对该分划的）​​简单过程​​（simple process）。「简单」的字面含义是：$H_t$ 在子区间 $(t_k, t_{k+1}]$ 上取常值 $h_k$，且这个常值在区间​​起点​ $t_k$ 时刻就已经被决定——这正是「不偷看前向增量」的精确叙述。在简单过程上，伊藤积分​​按表观​​定义：

定义不涉及任何极限，只是一个有限和。它能立刻被解释为「合法对冲账目」的原因来自伊藤约定：每个权重 $h_k$ 在 $\mathcal{F}_{t_k}$ 下可测，而对应的前向增量 $W_{t_{k+1}} - W_{t_k}$ 关于 $\mathcal{F}_{t_k}$ 独立、条件期望为零（布朗运动的独立增量）。所有后续性质都从这两件事派生。整套构造的成败现在压在一个问题上：如何把这条表观定义延拓到一个远更大的被积类。手工逐项延拓是不行的；按连续性延拓需要一条度量。这条度量就是伊藤等距。

三、第二步——伊藤等距：撬动一切的恒等式

对任意 $\mathcal{F}_t$-适应的简单过程 $H$，

称为​​伊藤等距​​（Itô isometry）。左边是 $\int H\, dW$ 在 $L^2(\mathbb{P})$ 中的二阶矩，右边是 $H$ 自身在 $L^2(d\mathbb{P} \times dt)$ 中的范数平方。等距告诉你：算子 $H \mapsto \int_0^T H_s\, dW_s$ 把第二种空间的范数原封不动地搬到了第一种。

​证明​​。把和的平方展开：

1. 展开： $$\left(\sum_{k} h_k (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})\right)^{\!2} = \sum_{k, j} h_k h_j (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})(W_{t_{j+1}} - W_{t_j})$$
2. 拆成交叉项（$j < k$，并按对称性涵盖 $j > k$）与对角项（$j = k$）。
3. ​交叉项消失​​。固定 $j < k$。在 $\mathcal{F}_{t_k}$ 下取条件期望：因子 $h_k\, h_j (W_{t_{j+1}} - W_{t_j})$ 关于 $\mathcal{F}_{t_k}$ 可测（所有部分都在时间 $t_k$ 之前决定），而前向增量 $W_{t_{k+1}} - W_{t_k}$ 关于 $\mathcal{F}_{t_k}$ 独立、且均值为零，故 $$E\!\left[h_k h_j (W_{t_{j+1}} - W_{t_j})(W_{t_{k+1}} - W_{t_k}) \mid \mathcal{F}_{t_k}\right] = h_k h_j (W_{t_{j+1}} - W_{t_j}) \cdot E[W_{t_{k+1}} - W_{t_k}] = 0$$ 由塔性质，无条件期望也为零。
4. ​对角项坍缩到 $L^2$​​​。再次在 $\mathcal{F}_{t_k}$ 下取条件期望： $$E\!\left[h_k^2 (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 \mid \mathcal{F}_{t_k}\right] = h_k^2\, E[(W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2] = h_k^2\,(t_{k+1} - t_k)$$ 其中用到 $E[(W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2] = t_{k+1} - t_k$——布朗增量的方差恰是时间长度。
5. 把幸存项求和： $$E\!\left[\sum_k h_k^2 (t_{k+1} - t_k)\right] = E\!\left[\int_0^T H_s^2\, ds\right]$$ 括号里的和正是 $\int_0^T H_s^2\, ds$ 在该分划上的黎曼和；又因 $H_s$ 分片为常，该等式是精确等号而非近似。

证毕。交叉项之所以干净地消失，正是因为被积过程在​​左​​端点取值——换任何别的求值规则，条件论证立刻坏掉。

四、第三步——按连续性延拓到 $L^2$

把目标空间定义为

测度论层面的一步引用但不证（参见 Karatzas–Shreve 第 3.2 节，或黄志远《随机分析学基础》第三章）：简单过程在 $L^2_{ad}$ 中按 $L^2(d\mathbb{P} \times dt)$ 范数​​稠密​​。对任意 $H \in L^2_{ad}$，取一列简单过程 $H^{(n)} \to H$。由等距，

所以 $\bigl\{\int_0^T H^{(n)}_s\, dW_s\bigr\}$ 是 $L^2(\mathbb{P})$ 中的 Cauchy 列。$L^2(\mathbb{P})$ 完备，故极限存在；我们​​定义​​该极限为 $\int_0^T H_s\, dW_s$。两件事是套路：极限不依赖于逼近列的选择，且等距从简单过程延拓到整个 $L^2_{ad}$。延拓后的伊藤积分是从 $L^2_{ad}$ 到 $L^2(\mathbb{P})$ 的连续 $L^2$-等距线性映射。

五、经典算例：$\int_0^T W_s\, dW_s$

取 $H_s = W_s$。用简单过程

逼近。其按定义的积分是 $\sum_k W_{t_k}\, (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})$。代数恒等式

只是把 $a(b-a) = \tfrac{1}{2}(b^2 - a^2) - \tfrac{1}{2}(b-a)^2$ 中代入 $a := W_{t_k}$、$b := W_{t_{k+1}}$。对 $k$ 求和：

1. 第一项​​望远镜求和​​到 $\tfrac{1}{2}(W_T^2 - W_0^2) = \tfrac{1}{2} W_T^2$，用 $W_0 = 0$。
2. 第二项是分划上 $W$ 在 $[0, T]$ 的​​二次变差​​（quadratic variation），由上一课的结论，依概率收敛到 $T$： $$\sum_{k=0}^{n-1} (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 \xrightarrow{P} T$$
3. 合起来，简单过程积分依概率（稍多一点功夫即可升级到 $L^2$）收敛到 $\tfrac{1}{2} W_T^2 - \tfrac{1}{2} T$。

按左端点约定的伊藤积分因此是

而把 $W$ 当成可微函数硬猜出的答案 $\tfrac{1}{2} W_T^2$ 恰好差了 $-\tfrac{1}{2} T$。这条差值不是计算瑕疵，而是上一课二次变差 $[W]_T = T$ 同一对象在积分里的第一次现身；下一课它会以伊藤引理中 $\tfrac{1}{2} \partial_{xx} f\, d[W]_t$ 的形式第三次出场。下面这个滑块把闭式结果当作终值 $w = W_T$ 与时长 $t = T$ 的函数画出来——你可以拖动其中任意一个，立刻读到那 $-\tfrac{1}{2} T$ 的几何效果。

0.5 * w^2 - 0.5 * t

六、三条工作性质

设 $H \in L^2_{ad}(0, T)$，记 $Y_t = \int_0^t H_s\, dW_s$。后续课程会反复调用以下三条：

1. ​关于 $H$ 的线性​​。对 $H, G \in L^2_{ad}$ 与常数 $a, b \in \mathbb{R}$，$\int_0^T (a H_s + b G_s)\, dW_s = a \int_0^T H_s\, dW_s + b \int_0^T G_s\, dW_s$。从简单过程定义继承，在 $L^2$ 极限下保留。
2. ​鞅性​​。$Y_t$ 是 $\mathcal{F}_t$-鞅：对 $s < t$，$E[Y_t \mid \mathcal{F}_s] = Y_s$。左端点约定换来的就是这条——条件期望中的交叉项消失，跟等距证明里的论证一字不差。
3. ​路径连续​​。$Y_t$ 存在 $t$-连续版本——总可以挑出一个使样本路径处处连续的过程作代表（用 Doob 极大不等式作用于鞅增量）。

第一条让你把对冲策略线性叠加。第二条是自融资（self-financing）对冲账目期望从零启动并保持为零的根源；模块 2.7.2 的风险中性定价机器整体压在它上面。第三条让 $Y_t$ 可以作为伊藤引理外层函数 $f(Y_t)$ 的合格输入。

七、练习

八、通往下一课

到这里你完成了 Track 2 最陡的一跳：在一族几乎处处不可微的随机路径上，构造出了一个 $L^2$-等距、保鞅、样本路径连续的积分算子。三条性质、一个对象——这正是随机链式法则需要的输入。下一课会把这套机器装进​​伊藤引理​​：在本课算例里出现的 $-\tfrac{1}{2}[W]_t$ 校正项，会化身为 $\tfrac{1}{2}\, \sigma_t^2\, \partial_{xx} f\, dt$，每当你把光滑函数推过一个伊藤过程时都会再露脸一次。掌握了这一规则，本模块第 5 节登场的几何布朗运动闭式解，以及由它通往 Black–Scholes 偏微分方程的桥梁，都会变成直接的代数推论。