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连续时间鞅与停时

2.7.2 · 鞅与风险中性定价 · 数学与统计能力

风控线触发的那一秒

某私募量化部门给挂在沪深300 ETF 上的 50ETF 期权做市账户加了一条风控规则：当标的价格相对当日开盘价漂出 [b,a][b, a] 这条区间任意一边，立即砍平整套 Delta 头寸。研究员被风控负责人追问的第一个数字不是收益，也不是 IV，而是「以波动率 σ\sigma 计，价格先触上沿的概率是多少？平均要经过多少秒触出？」这两个量都不是布朗运动（Brownian motion）在固定时刻 TT 的分布，而是在​​未知的、由轨迹本身决定的时刻​​上的分布——它的数学名字叫​​停时​​。它出现在每一个跟障碍价、止损线、敲入敲出条款相关的实务问题里：一旦触发，开仓时根本不知道它会落在哪一秒。把上一课离散时间的鞅（martingale）与停时机器搬到连续时间，再装上 Doob 最优停时定理（optional stopping theorem, OST），就是回答这类问题的标准入口；本课要把这套工具一次性铺齐，并用它解一个有闭式答案的退出问题作为示范。

1. 连续时间鞅的三条定义

固定一个概率空间 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) 和一族递增的子 σ\sigma-代数 {Ft}t≥0\{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}（Fs⊆Ft\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t，s≤ts \leq t）——称作滤波（filtration）或信息流。连续时间下还要加两条技术性条件：​​右连续​ Ft=∩u>tFu\mathcal{F}_t = \cap_{u > t} \mathcal{F}_u，以及 F0\mathcal{F}_0 包含全部 PP-零测集（​​完备性​​），合称「常用条件」（usual hypotheses）。本课只在名义上引用，不展开。

适应于 {Ft}\{\mathcal{F}_t\} 的过程 (Mt)t≥0(M_t)_{t \geq 0} 是​​鞅​​，如果

(i)E∣Mt∣<∞ for all t≥0;(ii)Mt is Ft-measurable for all t≥0;(iii)E[Mt∣Fs]=Ms a.s. for all 0≤s≤t.\begin{aligned} &\text{(i)} \quad E|M_t| < \infty \text{ for all } t \geq 0; \\ &\text{(ii)} \quad M_t \text{ is } \mathcal{F}_t\text{-measurable for all } t \geq 0; \\ &\text{(iii)} \quad E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s \text{ a.s. for all } 0 \leq s \leq t. \end{aligned}

右连续与完备性听起来像是技术细节，但它们的作用是让停时论证（下一节登场）不被零测的怪事件绊倒：如果允许 Ft\mathcal{F}_t 在 tt 上不右连续，「事件 {τ≤t}\{\tau \leq t\} 落在 Ft\mathcal{F}_t 里」就可能因为时间端点的处理失败。Doob 正则化定理进一步保证每条鞅都有右连左极（cadlag, 即 right-continuous with left limits）版本，本课默认就在这一版本上工作。三条性质合起来等价于一句话：当下值即下一刻的​​条件期望​​（conditional expectation），过程不允许「向前看」。这是离散情形 E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n 在连续时间的直接平移。

2. 三个布朗运动鞅

记 WtW_t 为标准布朗运动，FtW\mathcal{F}_t^W 为其自然滤波。下面三个过程都是 FtW\mathcal{F}_t^W-鞅：

Mt(1)=Wt,Mt(2)=Wt2−t,Mt(3)=exp⁡(θWt−θ2t/2) for θ∈R.M^{(1)}_t = W_t, \quad M^{(2)}_t = W_t^2 - t, \quad M^{(3)}_t = \exp(\theta W_t - \theta^2 t / 2) \text{ for } \theta \in \mathbb{R}.

第一个直接来自增量独立性：E[Wt∣Fs]=E[Ws+(Wt−Ws)∣Fs]=Ws+E[Wt−Ws]=WsE[W_t \mid \mathcal{F}_s] = E[W_s + (W_t - W_s) \mid \mathcal{F}_s] = W_s + E[W_t - W_s] = W_s。第三个由正态增量的矩生成函数（MGF）推出，是连续时间金融的瑞士军刀，下一课会担纲 Girsanov 定理里的 Radon-Nikodym 密度。第二个看起来不显眼，但它把「布朗运动的平方」校正成了鞅，是稍后做退出问题闭式解的另一只脚——它的逐步推导值得写满。

​推导​​：E[Wt2−t∣Fs]=Ws2−sE[W_t^2 - t \mid \mathcal{F}_s] = W_s^2 - s。

  1. 拆分：Wt2=(Ws+(Wt−Ws))2=Ws2+2Ws(Wt−Ws)+(Wt−Ws)2W_t^2 = (W_s + (W_t - W_s))^2 = W_s^2 + 2 W_s (W_t - W_s) + (W_t - W_s)^2。
  2. 对三项分别取 E[⋅∣Fs]E[\cdot \mid \mathcal{F}_s]。WsW_s 是 Fs\mathcal{F}_s-可测的，Wt−WsW_t - W_s 与 Fs\mathcal{F}_s 独立。
  3. 三项依次给出 Ws2W_s^2；2Ws⋅E[Wt−Ws]=02 W_s \cdot E[W_t - W_s] = 0；E[(Wt−Ws)2]=t−sE[(W_t - W_s)^2] = t - s。
  4. 合并：E[Wt2∣Fs]=Ws2+(t−s)E[W_t^2 \mid \mathcal{F}_s] = W_s^2 + (t - s)。两边减 tt 即 E[Wt2−t∣Fs]=Ws2−sE[W_t^2 - t \mid \mathcal{F}_s] = W_s^2 - s。

二阶项 (Wt−Ws)2(W_t - W_s)^2 的期望正好把多出的 tt 吃掉——这与上一模块的伊藤校正项是同一件事的两种表述。

3. 停时与 Doob 最优停时定理

随机变量 τ\tau 称作 {Ft}\{\mathcal{F}_t\}-停时，如果

τ:Ω→[0,∞] is a stopping time for {Ft}t≥0 if {τ≤t}∈Ft for every t≥0.\tau : \Omega \to [0, \infty] \text{ is a stopping time for } \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0} \text{ if } \{\tau \leq t\} \in \mathcal{F}_t \text{ for every } t \geq 0.

直觉是：到了时刻 tt，事件「τ\tau 已经发生」可由当前信息流判定，无需窥探未来。三类典型停时：(a) 常数 τ=T\tau = T；(b) 首次击中时刻 τa=inf⁡{t≥0:Wt=a}\tau_a = \inf\{t \geq 0 : W_t = a\}，因 {τa≤t}={max⁡s≤tWs≥a}\{\tau_a \leq t\} = \{\max_{s \leq t} W_s \geq a\} 而适应；(c) 退出时刻 τ=inf⁡{t:Wt∉(b,a)}\tau = \inf\{t : W_t \notin (b, a)\}。

​Doob 最优停时定理​​（OST），有界停时版本：

If (Mt) is a martingale and τ is a stopping time with P(τ≤T)=1 for some constant T, then E[Mτ]=E[M0].\text{If } (M_t) \text{ is a martingale and } \tau \text{ is a stopping time with } P(\tau \leq T) = 1 \text{ for some constant } T, \text{ then } E[M_\tau] = E[M_0].

有界停时是核心的可积性保证：它把鞅性质里那条「取条件期望」的合法操作一直推到了随机时刻 τ\tau 上。一旦放宽到一般停时，得追加条件——例如停过过程 (Mt∧τ)(M_{t \wedge \tau}) 一致可积，或被一致界控——否则结论可能崩盘：让 WtW_t 首击 {−1,+1}\{-1, +1\} 的 τ\tau 几乎肯定有限但​​无界​​，朴素套 OST 会得到 E[Wτ]=0E[W_\tau] = 0，与 Wτ∈{−1,+1}W_\tau \in \{-1, +1\} 自相矛盾。矛盾的来源不在定理，而在停时无界、Wt∧τW_{t \wedge \tau} 没落进 OST 的假设。本课只在有界情形里活动，更细的扩展（一致可积扩展、Doob 极大不等式作辅助）只点名不展开。

4. 退出问题的闭式解

把上一节的机器对准退出问题。W0=0W_0 = 0、τ=inf⁡{t≥0:Wt∉(−2,1)}\tau = \inf\{t \geq 0 : W_t \notin (-2, 1)\}，即 a=1a = 1、b=−2b = -2。在 τ\tau 前 Wt∧τ∈[−2,1]W_{t \wedge \tau} \in [-2, 1] 一致有界，OST 可同时套到 WtW_t 与 Wt2−tW_t^2 - t：

  1. 对 WtW_t：0=E[W0]=E[Wτ]=1⋅P(Wτ=1)+(−2)⋅P(Wτ=−2)0 = E[W_0] = E[W_\tau] = 1 \cdot P(W_\tau = 1) + (-2) \cdot P(W_\tau = -2)，配合 P(Wτ=1)+P(Wτ=−2)=1P(W_\tau = 1) + P(W_\tau = -2) = 1，解得 P(Wτ=1)=2/3P(W_\tau = 1) = 2/3、P(Wτ=−2)=1/3P(W_\tau = -2) = 1/3。
  2. 对 Wt2−tW_t^2 - t：0=E[Wτ2−τ]=1⋅(2/3)+4⋅(1/3)−E[τ]=2−E[τ]0 = E[W_\tau^2 - \tau] = 1 \cdot (2/3) + 4 \cdot (1/3) - E[\tau] = 2 - E[\tau]，故 E[τ]=2E[\tau] = 2。

这就是连续时间下的「赌徒破产」（gambler's ruin）公式：先触上沿概率 −b/(a−b)-b / (a - b)、期望出场时间 −ab-ab。代入 a=1a = 1、b=−2b = -2 验证：先触上沿的概率 2/32/3、期望出场时间 22，与上面手算一致。注意这两条公式来自同一个 OST 套路，差别仅仅在于把 OST 套到 WtW_t（线性鞅）还是 Wt2−tW_t^2 - t（二次鞅）上：第一组方程提供概率，第二组方程提供时间。指数鞅 M(3)M^{(3)} 同一招式更进一步——配好 θ\theta 后可直接读出停时的拉普拉斯变换（见练习）。

Formula Explorer

exp(theta * x - theta^2 / 2)

练习

Exercise

设 WtW_t 为标准布朗运动，τa=inf⁡{t≥0:Wt=a}\tau_a = \inf\{t \geq 0 : W_t = a\}（a>0a > 0）。(a) 证明 τa\tau_a 是 WW 的自然滤波的停时。(b) 利用 θ<0\theta < 0 的指数鞅，推出拉普拉斯变换 E[exp⁡(−λτa)]=exp⁡(−a2λ)E[\exp(-\lambda \tau_a)] = \exp(-a \sqrt{2 \lambda})（λ>0\lambda > 0）。请给出闭式结果。

提示
把首次击中事件改写：{τa≤t}={max⁡s≤tWs≥a}\{\tau_a \leq t\} = \{\max_{s \leq t} W_s \geq a\}。连续路径的运行最大值适应于 FtW\mathcal{F}_t^W，故事件落在 FtW\mathcal{F}_t^W 里。
提示
对 exp⁡(θWt∧τa−θ2(t∧τa)/2)\exp(\theta W_{t \wedge \tau_a} - \theta^2 (t \wedge \tau_a)/2) 用 OST，再令 t→∞t \to \infty；选 θ=−2λ\theta = -\sqrt{2 \lambda} 让二次项与 λτa\lambda \tau_a 合并即可。

通向下一课

退出问题之所以闭式可解，关键是 WtW_t 与 Wt2−tW_t^2 - t 在 OST 假设下把「未知的退出时间」翻成了两条线性方程；指数鞅 M(3)M^{(3)} 把这套方法推广到拉普拉斯变换，再前进一步就要换测度了。下一课把 exp⁡(θWt−θ2t/2)\exp(\theta W_t - \theta^2 t / 2) 用作 Radon-Nikodym 密度 dQ/dPdQ/dP，在新测度 QQ 下把布朗运动的漂移项「吸收」进测度变换——这就是 Girsanov 定理。Girsanov 之后，CFFEX 沪深300 股指期货与 SSE 50ETF 期权的无套利定价、私募对冲账户的复制组合，都将变成对单一布朗运动取 QQ-期望的闭式问题，由模块 2.7.2 的后续课程与模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母合力完成。本课构造的三个鞅、停时定义与 OST，是后面四节内容的共同基础。