离散时间鞅 — 鞅与风险中性定价

周一上午十点，深圳一家私募的量化研究员盯着一份十年期回测：她构造的多空对冲组合（long-short hedge）净值在零附近来回游走，最大回撤不到 3%，平均年化收益接近零。同事质疑「这条线随机得不像策略」。她想用一个数学对象精确刻画「下一步的期望就是当前位置」这种公平博弈（fair game）的特性——而不只是把它当噪声打发掉。这正是本节的主角：离散时间鞅（martingale）。理解清楚后，你能在第二课把同样的三条公理推到连续时间，在第四课把贴现后的沪深300 股价（在风险中性测度下）认成同一类对象。

一、信息流与鞅的三条公理

把时间记为 $n = 0, 1, 2, \ldots$ 。在每个时刻你掌握的信息用一个 σ-代数 $\mathcal{F}_n$ 抽象表达，这一族 σ-代数构成信息流（filtration，下文简称滤波）。信息只增不减，因此

\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots

对一个适应过程 $(M_n)_{n \geq 0}$ ，离散时间鞅的定义是三条公理同时成立：

\begin{aligned} &\text{(i)}\ E|M_n| < \infty \text{ for all } n \geq 0; \\ &\text{(ii)}\ M_n \text{ is } \mathcal{F}_n\text{-measurable for all } n \geq 0; \\ &\text{(iii)}\ E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n \text{ a.s. for all } n \geq 0. \end{aligned}

(i) 是可积性（integrability），保证条件期望（conditional expectation）有定义；(ii) 是适应性（adaptedness）—— $n$ 时刻的取值只依赖于到 $n$ 为止的信息，禁止偷看未来；(iii) 是鞅恒等式：给定过去，下一步的最佳预测就是当前值。在不另作声明时，使用过程自身生成的自然滤波，即使 $(X_n)$ 适应的最小滤波：

\mathcal{F}_n^X = \sigma(X_0, X_1, \ldots, X_n)

二、三个标准例子

(a) 对称简单随机游走。 $X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布、各以 $1/2$ 概率取 $\pm 1$ ，令 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ 、 $S_0 = 0$ 。验证鞅恒等式：

E[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = E[S_n + X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = S_n + E[X_{n+1}] = S_n + 0 = S_n

第二步用了 $S_n$ 已被 $\mathcal{F}_n$ 决定（拉出条件之外），第三步用了 $X_{n+1}$ 与 $\mathcal{F}_n$ 独立。这就是模块 2.7.1 第一课讲的同一过程，只是那里关心 $\sqrt{n}$ 缩放下的极限分布，这里关心其鞅性。三条公理均成立——可积性平凡，适应性来自 $S_n$ 是 $X_1, \ldots, X_n$ 的函数。

(b) 中心化计数过程。 设 $N_n$ 为 $n$ 次独立 Bernoulli( $p$ ) 试验中的成功次数。令 $M_n = N_n - n p$ ，同样的条件论证给出 $E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n$ ——把确定性漂移 $np$ 减掉之后，剩下的部分就是偏离均值的累积，本身是一个鞅。原始计数 $N_n$ 不是鞅（当 $p \neq 0$ 时严格向上漂移），需要做这一步「中心化」才能落到鞅的框架里。

(c) 指数鞅。 对上述对称游走，任意实数 $\theta$ 都使 $\exp(\theta S_n) / \cosh(\theta)^n$ 成为鞅——验证只需一行 $E[\exp(\theta X_{n+1})] = \cosh(\theta)$ ，把它代入恒等式即可。这族鞅既能给出对 $\max_k S_k$ 的指数矩界（在第二课讲到 Doob 不等式时再见），也是第三课 Girsanov 测度变换在离散时间的预演——分母里的 $\cosh(\theta)^n$ 正对应连续时间里的 $\exp(-\tfrac{1}{2}\theta^2 t)$ 。

三、上鞅、下鞅与符号约定

把鞅恒等式的等号松成不等号，得到两类相邻概念。警告：中文译名不统一，本课采用龚光鲁《随机微分方程引论》的约定（黄志远《随机分析学基础》取反向，使用时请认准定义而非译名）：

过程类型	鞅恒等式方向	平均趋势
鞅（martingale）	$E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n$	公平
下鞅（submartingale）	$E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] \geq M_n$	有利（漂移向上）
上鞅（supermartingale）	$E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] \leq M_n$	不利（漂移向下）

直觉：把 $M_n$ 当成你账户余额——鞅是「赌场抽水为零」的理想公平游戏，下鞅是「有正期望收益」的策略（譬如长期持有指数），上鞅则是「每一步都让庄家赚一点」的散户视角（每笔交易吃手续费、滑点、买卖价差）。一个具体例：对称游走的平方 $S_n^2$ 是下鞅，因为 $E[S_{n+1}^2 \mid \mathcal{F}_n] = S_n^2 + 1$ ，比 $S_n^2$ 多了一个常数 1，平方过程在期望意义下匀速向上漂移。

四、塔性质与常数期望引理

把鞅恒等式反复套用，结合条件期望的塔性质 $E[E[X \mid \mathcal{F}_n] \mid \mathcal{F}_m] = E[X \mid \mathcal{F}_m]$ （ $m \leq n$ ，参见模块 2.1.2 第四课），可得

E[M_n] = E[E[M_n \mid \mathcal{F}_0]] = E[M_0]

即鞅的无条件期望沿时间恒定。这是鞅论里最朴素也最常用的一行——遇到任意鞅，先把这条记下，下游的所有论证都从它出发。

五、数值例：对称游走的二阶矩

直接套常数期望引理： $E[S_n] = E[S_0] = 0$ 。再算二阶矩。把 $S_n^2$ 写成 $S_{n-1}$ 与 $X_n$ 的展开

S_n^2 = S_{n-1}^2 + 2 S_{n-1} X_n + X_n^2

两端取期望：交叉项因 $X_n$ 与 $S_{n-1}$ 独立且 $E[X_n] = 0$ 而消失，平方项给出 $E[X_n^2] = 1$ ，于是 $E[S_n^2] = E[S_{n-1}^2] + 1$ 。从 $E[S_0^2] = 0$ 递推得 $E[S_n^2] = n$ ，标准差按 $\sqrt{n}$ 增长。

Formula Explorer

sqrt(n)

这条 $\sqrt{n}$ 律正是 2.7.1 第一课驱动布朗运动（Brownian motion）的时间—空间双重缩放的入口；连续时间下，它会被替换成 $\sqrt{t}$ 。

练习

Exercise

设 $X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布， $P(X_i = +1) = p$ 、 $P(X_i = -1) = 1 - p$ ，其中 $p \in (0, 1)$ 且 $p \neq 1/2$ 。令 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ 。(a) 证明 $S_n - n(2p - 1)$ 是关于自然滤波的鞅。(b) 找出常数 $c$ 使得 $c^{S_n}$ 是鞅；用 $p$ 表示 $c$ 的闭式解。

提示

先算

E[X_i] = 2p - 1

。中心化后

X_i - (2p - 1)

是均值零的独立增量，把对称游走那一行论证套上去即可。

提示

(b) 利用乘性结构

E[c^{S_{n+1}} \mid \mathcal{F}_n] = c^{S_n}\, E[c^{X_{n+1}}]

，把鞅条件化为

E[c^{X_i}] = 1

，即一元方程

c p + c^{-1}(1 - p) = 1

的非平凡解。

通向下一课

到这里你已经能写出离散时间鞅的三条公理、识别三种标准范例、并用塔性质把常数期望引理一行推出。下一课把同一三条公理推到连续时间——索引集变成不可数后，路径的可测性必须安顿在「右连续完备滤波」（usual conditions）之上，停时（stopping time）与 Doob 最优停时定理由此登场；这条路径上的第一个非平凡范例就是布朗运动本身，它正是连续时间鞅。再往后第四课会把今天的对象嵌入金融定价主线：在合适的风险中性测度下，贴现后的沪深300 股指期货价格本身就是一个鞅——这是所有无套利定价公式背后的引擎。