鞅表示定理与风险中性视角下的 Black-Scholes

周一早盘的两张价表

周一早上九点二十，一家做股指增强的私募衍生品桌。前四节课你已经把测度从 $P$ 换到了 $Q$，把沪深300股指期货（CFFEX IF 主力合约）的无套利价格写成了 $V_t = e^{-r(T-t)}\, E_Q[V_T \mid \mathcal{F}_t]$。现在风控来催价表：上证 50ETF 期权的平值合约要在十分钟后挂出做市报价。第 4 课的风险中性（risk-neutral）公式告诉了你期望的形式，却留下两个未结清的缺口：在连续时间里，「贴现价是 $Q$-鞅（martingale）」凭什么成立？这条期望又该如何积出一个能挂在屏幕上的数？本课用一条定理填掉前者，用一段五步推导填掉后者，并在结尾把整条 Track 2 的逻辑压回一个公式。

1. 鞅表示定理

设 $W_t$ 是 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的标准布朗运动（Brownian motion），$\mathcal{F}_t^W$ 为其增广右连续自然滤波。​​鞅表示定理（Martingale Representation Theorem, MRT）​ 的陈述是：

则存在唯一（在 $dt \times dP$ 零集意义下）的 $\mathcal{F}_t^W$-适应过程 $(H_t)$，满足 $E\!\left[\int_0^T H_t^2\, dt\right] < \infty$，使得

读起来一句话：​​在布朗滤波下，随机性的唯一来源就是布朗增量，所以每一个平方可积鞅都能写成针对 $W$ 的伊藤积分​​。证明涉及伊藤-维纳 chaos 分解，本课只用结论；完整版本参见 Karatzas-Shreve 第 3.4 节、Shreve《金融数学方法 II》第 5.3 节。这是个​​存在性​​结果——它不告诉你 $H_t$ 怎么算，只保证它存在并适应。

2. 用鞅表示完成市场的完备性证明

第 4 课里我们承诺过一张 IOU：贴现价值 $\widetilde V_t = e^{-rt} V_t$ 之所以在 $Q$ 下是鞅，是因为它对 $\widetilde S_t$ 的随机积分。现在用 MRT 把这张票兑现。

设 $H$ 为 $\mathcal{F}_T$-可测的平方可积或有权益（square-integrable contingent claim），目标是构造自融资策略 $(\phi_t, \psi_t)$ 使 $V_T = H$。三步：

1. 定义 $\widetilde V_t = E_Q\!\left[e^{-rT} H \mid \mathcal{F}_t\right]$。由条件期望塔性，$\widetilde V_t$ 是 $Q$-鞅，且 $\widetilde V_T = e^{-rT} H$。
2. 在 $Q$ 测度下用 MRT。由 Girsanov 定理，$W_t^Q = W_t + \theta t$ 也是布朗运动，滤波保持不变。于是存在适应过程 $(H_t^\ast)$ 使 $\widetilde V_t = \widetilde V_0 + \int_0^t H_s^\ast\, dW_s^Q$。
3. 读出复制策略：取标的份数 $\phi_t = H_t^\ast / (\sigma\, \widetilde S_t)$，债券份数 $\psi_t = \widetilde V_t - \phi_t\, \widetilde S_t$。直接验证 $dV_t = \phi_t\, dS_t + \psi_t\, dB_t$（自融资）且 $V_T = e^{rT}\, \widetilde V_T = H$（复制）。

这就是 Black-Scholes 模型对所有平方可积或有权益完备的全部理由：MRT 把「$\widetilde V_t$ 在 $Q$ 下是鞅」这一第 4 课口头承诺，升级成了一个​​有显式被积过程的伊藤积分​​——而那个 $H_t^\ast$ 正是连续 Delta 对冲账户每一瞬间持有的标的份数。换句话说，定理不仅告诉你「价格可以被复制」，还把复制策略的瞬时构成写成了一个可微的随机过程；这是把抽象的无套利论证转译成可执行交易动作的关键一步。

3. 闭式解的五步推导

落到具体的欧式期权（European option）——欧式 call，行权价 $K$，到期 $T$。第 4 课已经告诉你在 $Q$ 下 $\log S_T \sim \mathcal{N}(\mu_Q, \sigma_Q^2)$，其中 $\mu_Q = \log S_0 + (r - \sigma^2/2) T$、$\sigma_Q^2 = \sigma^2 T$，且 $C_0 = e^{-rT}\, E_Q[(S_T - K)^+]$。把这条期望积出来：

1. ​写积分​​。令 $y = \log S_T$，期望写成 $C_0 = e^{-rT} \displaystyle\int_{\log K}^\infty (e^y - K)\, \tfrac{1}{\sigma_Q}\, \varphi\!\left(\tfrac{y - \mu_Q}{\sigma_Q}\right) dy$，其中 $\varphi$ 是标准正态密度。
2. ​拆分​​。$(e^y - K) = e^y - K$，积分拆成两块 $I_1 - I_2$。
3. ​配方，第一块​​。$I_1$ 含 $e^y \cdot e^{-(y-\mu_Q)^2/(2\sigma_Q^2)}$。把指数合并、对 $y$ 配方得 $e^{\mu_Q + \sigma_Q^2/2}\, e^{-(y - \mu_Q - \sigma_Q^2)^2/(2\sigma_Q^2)}$。前因子 $e^{\mu_Q + \sigma_Q^2/2} = S_0\, e^{rT}$ 把贴现 $e^{-rT}$ 抵掉——​​这就是 $d_1$ 里 $(r + \sigma^2/2)$ 项的来源，来自配方时的雅可比，而非漂移本身​​。换元 $z = (y - \mu_Q - \sigma_Q^2)/\sigma_Q$，下限化为 $-d_1$，得 $I_1 = S_0\, N(d_1)$。
4. ​换元，第二块​​。$I_2$ 没有 $e^y$，直接换元 $z = (y - \mu_Q)/\sigma_Q$，下限化为 $-d_2$，得 $I_2 = K\, e^{-rT}\, N(d_2)$。
5. ​相减​​。$C_0 = I_1 - I_2$，立得闭式：

其中

put 的对称推导可重复同一套配方与换元，但更省事的做法是看跌看涨平价（put-call parity）——它对任何无套利市场都成立，与 Black-Scholes 模型无关：

4. 数值锚点

把第 4 课的参数代进去：$S_0 = 100$，$K = 100$，$r = 0.04$，$\sigma = 0.20$，$T = 1$。

这两个数就是整条连续时间风险中性框架在 ATM 欧式期权上的全部输出。值得记住的是它​​所依赖的输入有多少​​（五个参数）和​​它不依赖的输入有多少​​（真实漂移 $\mu$、风险偏好、效用函数——全都被 Girsanov 吸进 $Q$ 里抹掉了）。

100 * exp(0.02 + 0.20 * z) - 100

上图把 $T=1$ 终端 call 支付 $(S_T - K)^+$ 画成布朗终值 $z = W_T^Q$ 的函数：左半段截断为零（行权放弃），右半段近似指数上行（行权得手）。Black-Scholes 公式就是这条折线在 $z$ 的标准正态密度下、再贴现回 $t = 0$ 的期望。

5. Track 2 回顾

把整条 Track 2 主线压在一张箭头图上（下文即图说明）：

​鞅​​（第 1 课：公平博弈）$\to$ ​滤波 + 停时​​（第 2 课：信息结构）$\to$ ​Girsanov 测度变换​​（第 3 课：把 $P$ 漂移吸进 $Q$）$\to$ ​资产定价基本定理​​（第 4 课：无套利 $\iff$ 存在 EMM）$\to$ ​鞅表示 + Black-Scholes 闭式​​（第 5 课：复制存在、期望可算）$\to$ 模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母（接力点）。

整条链路最终压缩成同一个计算配方：$C_0 = e^{-rT}\, E_Q[\text{payoff}]$。第 1 课的「公平博弈」给了你「鞅」这个抽象对象；第 2 课让你能在连续时间里谈论「到了哪一刻」；第 3 课把真实漂移从测度里拿掉；第 4 课告诉你这件事永远能做、并且解唯一——这就是市场完备；第 5 课告诉你那个被复制的伊藤积分长什么样，以及对欧式期权它具体等于多少。伊藤引理（Itô's lemma）在这条链路里出现两次：一次在第 4 课验证 $\widetilde S_t$ 是 $Q$-鞅时，一次在 Black-Scholes PDE 推导中提供 $\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\, \partial_{SS}V$ 校正项。

接力到模块 1.4.3

到这里 Track 2 结束。接下来模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母把这条闭式公式当作起点，推出 $C_0$ 对 $S$、$\sigma$、$r$、$t$ 的偏导（希腊字母族），并把连续 Delta 对冲账户的离散执行成本算出来。隐含波动率（implied volatility）的曲面校准在模块 1.4.x 波动率曲面；PDE 数值解、Monte Carlo 风险中性采样、美式期权早行权与多资产期权，分散在模块 1.4.x 的衍生品扩展课里——但它们的入口都是这条 $C_0 = e^{-rT}\, E_Q[\text{payoff}]$。

在 A 股实务里，上证 50ETF / 300ETF 期权与沪深300股指期货的盘口报价，本质上都是市场参与者在某个隐含 $\sigma$ 下用本课公式倒推出来的；场内 SSE 流动性较薄的个股期权与境内私募结构化产品，则在同一框架下再叠融券成本与涨跌停约束的修正，但 $C_0 = e^{-rT}\, E_Q[\text{payoff}]$ 仍是定价的起点。

练习