等价测度与 Girsanov 定理 — 鞅与风险中性定价

周五下午,你在一家以沪深300股指期货(CFFEX 主力 IF 合约)为底层的私募(private fund)结构化产品桌上,把一份新发产品交给定价引擎。模型里标的的年化预期收益率 $\mu = 10\%$ 没有出现在最终定价里——程序读到的是无风险利率 $r = 4\%$ 。隔壁桌的一个同事在白板上写下 $\theta = (\mu - r)/\sigma$ ,说「Girsanov 把 $\mu$ 换成了 $r$ 」。这一节要把这条变换从测度论开始拆开:为什么定价用的是 $r$ ,被换掉的 $\mu - r$ 跑到哪里去了,以及做这一步替换需要什么数学条件。

等价测度与绝对连续

设 $(\Omega, \mathcal{F})$ 是一个可测空间, $P$ 与 $Q$ 是它上的两个概率测度。 $Q$ 关于 $P$ 绝对连续(absolutely continuous),记作 $Q \ll P$ ,指任何 $P$ -零测事件也是 $Q$ -零测事件,即 $P(A) = 0 \Rightarrow Q(A) = 0$ 。 $P$ 与 $Q$ 等价(equivalent),记作 $Q \sim P$ ,要求双向蕴含:

Q \sim P \iff \forall A \in \mathcal{F}, \ P(A) = 0 \Leftrightarrow Q(A) = 0

直觉上,等价测度对「哪些事件可能发生、哪些不可能」给出同一份答案,只在可能事件上分配不同的概率。等价正是 Girsanov 给出的标准关系——它保证在 $P$ 与 $Q$ 之间来回切换时不丢失零测信息,也不会无中生有出新的可能路径。

Radon-Nikodym 定理

绝对连续有构造性刻画:若 $Q \ll P$ ,则存在一个唯一(在 $P$ -a.s. 意义下)的非负 $\mathcal{F}$ 可测随机变量 $Z = dQ / dP$ ,使得

Q(A) = \int_A Z \, dP \quad \text{for all } A \in \mathcal{F}, \quad Z = \frac{dQ}{dP}, \quad E_Q[X] = E_P[Z X]

$Z$ 称为 Radon-Nikodym 导数(R-N 导数),也叫 $Q$ 关于 $P$ 的密度。 $Q \sim P$ 时, $Z > 0$ 几乎处处成立, $dP/dQ = 1/Z$ 。两条计算性后果在定价里最常用:第一, $Q$ 下的任何积分都能搬回 $P$ 上做,只需带上权重 $Z$ ;第二, $E_P[Z] = Q(\Omega) = 1$ 。本课只用陈述形式,证明涉及 Hahn-Jordan 分解,见龚光鲁《随机微分方程引论》第四章,不在范围内展开。

用一枚公平硬币把这套机械跑一遍。 $\Omega = \{H, T\}$ , $P(\{H\}) = P(\{T\}) = 1/2$ ;目标 $Q(\{H\}) = 2/3$ , $Q(\{T\}) = 1/3$ 。逐点列表:

结果	$P$	$Q$	$Z = dQ/dP$
$H$	$1/2$	$2/3$	$4/3$
$T$	$1/2$	$1/3$	$2/3$

验证 $E_P[Z] = (1/2)(4/3) + (1/2)(2/3) = 1$ , $Z$ 的确是合法密度。两种结果都仍然「可能」,只是概率被重新分配——这就是测度变换最朴素的样子:路径不变,概率改变。

Girsanov 定理(连续时间)

把同一图景抬到连续时间。设 $W_t$ 是 $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}, P)$ 上、 $[0, T]$ 时段的标准布朗运动(Brownian motion), $\{\theta_t\}$ 是 $\mathcal{F}_t$ 适应过程。Girsanov 定理(也称 Cameron-Martin-Girsanov 定理)断言:若 Novikov 条件

E_P\!\left[\exp\!\left(\tfrac{1}{2} \int_0^T \theta_s^2 \, ds\right)\right] < \infty

成立,定义指数过程

Z_t = \exp\!\left(-\int_0^t \theta_s \, dW_s - \tfrac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 \, ds\right)

则 $(Z_t)$ 是 $P$ -鞅(martingale), $E_P[Z_t] = 1$ ;在 $\mathcal{F}_T$ 上由 $dQ/dP = Z_T$ 定义的 $Q$ 与 $P$ 等价;在 $Q$ 下,过程

W_t^Q = W_t + \int_0^t \theta_s \, ds

是 $Q$ 的标准布朗运动。Novikov 是保证 $(Z_t)$ 真为鞅的标准充分条件,失败时 $(Z_t)$ 退化成局部鞅,需要额外技术,本课不深入。

理解要点:Girsanov 不动 $W_t$ 的样本路径——这些路径仍然连续、几乎处处不可微——它只重新分配赋给路径的概率,使新测度下的漂移整体抬升了 $\int_0^t \theta_s \, ds$ 。把上一讲构造的指数鞅作为 sanity check:取 $\theta_s = \theta$ 常数, $Z_t = \exp(-\theta W_t - \theta^2 t / 2)$ ,正是常数 $\theta$ 情形下的密度。漂移没有「消失」,它被吸进了测度本身。

Formula Explorer

exp(-theta * x - theta^2 / 2)

上面是常数 $\theta$ 下 $t = 1$ 的 Girsanov 密度 $Z_1$ 看作 $W_1 = x$ 的函数。把 $\theta$ 从 $0$ 拨到 $0.30$ ,密度质量从 $x > 0$ 一侧搬到 $x < 0$ 一侧——这就是 $Q$ 给路径重新加权的几何画面。

应用:GBM 的测度变换

把工具对准几何布朗运动(geometric Brownian motion, GBM)。 $P$ 下标的价格满足 $dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$ 。定价关心的是 贴现价格 $\widetilde{S}_t = e^{-rt} S_t$ ——卖期权得到的现金按 $r$ 增值,无套利下贴现后的所有可交易资产应当是某个 $Q$ 下的鞅。

对 $f(t, S) = e^{-rt} S$ 用伊藤引理(Itô's lemma,参见模块 2.7.1 第 4 讲;由于 $\partial^2 f / \partial S^2 = 0$ ,无伊藤校正项):

d\widetilde{S}_t = -r e^{-rt} S_t \, dt + e^{-rt} \, dS_t = (\mu - r) \widetilde{S}_t \, dt + \sigma \widetilde{S}_t \, dW_t

漂移项 $(\mu - r) \widetilde{S}_t$ 是阻挡 $\widetilde{S}_t$ 成为 $Q$ -鞅的唯一障碍。用 Girsanov 把它消掉:把 $dW_t = dW_t^Q - \theta \, dt$ 代入,得

d\widetilde{S}_t = \bigl[(\mu - r) - \sigma \theta\bigr] \widetilde{S}_t \, dt + \sigma \widetilde{S}_t \, dW_t^Q

鞅条件要求 $dt$ 项系数归零: $(\mu - r) - \sigma \theta = 0$ ,解出

\theta = \frac{\mu - r}{\sigma}

这一比值在量化语境里有专名 市场风险价格(market price of risk),亦即 Black-Scholes 设置下风险资产的夏普比率(Sharpe ratio)。代回 $S_t$ 的 SDE,即得 $Q$ 下的动态与闭式解:

dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^Q, \qquad S_t = S_0 \exp\!\left(\left(r - \tfrac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t^Q\right)

实质差别:漂移由 $\mu$ 换成 $r$ ,扩散系数 $\sigma$ 不变——Girsanov 只动漂移、不动波动率,这正是它的精确范围。所谓 风险中性(risk-neutral)的命名并不意味着投资者主观上不在乎风险,它指的是:给定 $Q$ 之后,任何风险资产在 $Q$ 下的期望回报率都等于无风险利率 $r$ ——「无套利」直接写进了测度本身。这个 $Q$ 因此也叫 风险中性测度(risk-neutral measure),开头同事白板上的那条 $\theta = (\mu - r)/\sigma$ 就是把 $P$ 拧成 $Q$ 的那把扳手。多资产情形下的 Girsanov 与计价单位(numeraire)变换是这一构造的自然推广,留待利率模型相关章节展开。

数值示例

取 $\mu = 0.10$ 、 $r = 0.04$ 、 $\sigma = 0.20$ ,代入得

\theta = \frac{0.10 - 0.04}{0.20} = 0.30

把两套对数动态并排写出:

$P$ 下 $S_t = S_0 \exp(0.08 \, t + 0.20 \, W_t)$ ,对数尺度漂移 $\mu - \sigma^2/2 = 0.08$ 。
$Q$ 下 $S_t = S_0 \exp(0.02 \, t + 0.20 \, W_t^Q)$ ,对数尺度漂移 $r - \sigma^2/2 = 0.02$ 。

样本路径还是同一族——布朗运动仍是布朗运动,扩散系数 $0.20$ 没动;变的只是「该路径以什么概率出现」。算期权价值、贴现期望、构造对冲组合时统一用 $Q$ ;算真实持仓的预期 P&L、做历史回测、估资金成本时用 $P$ 。 $\theta = 0.30$ 这把扳手把两套世界扣在一起——开头那个把 $\mu$ 写进定价的同事,只是漏拧了这一步。

练习

Exercise

设 $W_t$ 是 $P$ 下 $[0, 1]$ 上的标准布朗运动。在 $\mathcal{F}_1$ 上定义 $Q$ 使 $dQ/dP = Z_1$ ,其中 $Z_1 = \exp(-W_1 - 1/2)$ 。(a) 验证 $E_P[Z_1] = 1$ ,从而 $Q$ 是合法概率测度。(b) 求 $W_1$ 在 $Q$ 下的分布。(c) 计算 $E_Q[W_1]$ 。三问均请给出闭式答案。

提示

这是 Girsanov 定理中

\theta_s \equiv 1

的常数情形;按定理,

W_t^Q = W_t + t

在

Q

下是标准布朗运动。把

W_1

用

W_1^Q

表示,再讨论分布。

提示

由

W_1 = W_1^Q - 1

,而

W_1^Q

在

Q

下服从

\mathcal{N}(0, 1)

,所以

W_1 \sim \mathcal{N}(-1, 1)

E_Q[W_1] = -1

。(a) 用

E_P[e^{-W_1}] = e^{1/2}

(标准正态矩母函数)直接验证。

下一课预告

到这里你已经握住了改测度的引擎,但还有两个结构性问题没回答:满足贴现鞅条件的等价测度 $Q$ 是否一定存在?若存在,是否唯一?下一讲(本模块第 4 讲)把答案写成定理形式——资产定价基本定理(fundamental theorems of asset pricing, FTAP):市场无套利当且仅当存在与 $P$ 等价的鞅测度 $Q$ ,使所有贴现可交易资产是 $Q$ -鞅;市场完备当且仅当这样的 $Q$ 唯一。在沪深300股指期货等可交易资产上,Girsanov 提供的就是 $Q$ 的具体构造,而 FTAP 把今天的「无套利定价」从直觉抬成定理:有 $Q$ ,就有定价;没有 $Q$ ,就有套利。