← 返回模块
2.7.2.4beta 可读 · 未来付费内容校验中内容版本 2026-05-26

风险中性定价与资产定价基本定理

2.7.2 · 鞅与风险中性定价 · 数学与统计能力

风险中性测度不是世界,它是估价工具

周四收盘前的最后一小时,你在某私募衍生品桌上挂着一份内嵌结构化产品,挂钩沪深300 股指期货 (CFFEX 主力合约 IF) 与上证50ETF 期权 (SSE 50ETF) 的组合敞口。基金经理跑过来问:「这张内嵌期权,我们今晚要不要按交易对手报的价格出货?他们的价格合理吗?」第三课里你已经看过 Girsanov 怎么把真实漂移 μ\mu 吸收到测度变换里。这一课要把这件事从「技术手段」升级为「为什么这是唯一合理的价格」——也就是资产定价基本定理 (Fundamental Theorems of Asset Pricing, FTAP) 与风险中性 (risk-neutral) 定价公式。

1. 市场设置:一根债券,一只 GBM 风险资产

在 [0,T][0, T] 上考虑最简单的二资产市场:无风险债券 BtB_t 与风险资产 StS_t。在概率测度 PP 下,

dSt=μSt dt+σSt dWt,Bt=ert,dBt=rBt dtdS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t, \qquad B_t = e^{rt}, \quad dB_t = r B_t \, dt

其中 WtW_t 是 PP 下的标准布朗运动,μ,σ,r\mu, \sigma, r 为常数。风险资产服从几何布朗运动 (GBM),债券按连续复利无风险增长。

2. 自融资策略与套利定义

一笔交易策略是一对 Ft\mathcal{F}_t-适应过程 (ϕt,ψt)(\phi_t, \psi_t):ϕt\phi_t 是持有的股数,ψt\psi_t 是持有的债券份额。组合价值与其动态写作

Vt=ϕtSt+ψtBt,dVt=ϕt dSt+ψt dBtV_t = \phi_t S_t + \psi_t B_t, \qquad dV_t = \phi_t \, dS_t + \psi_t \, dB_t

第二个等式即​​自融资​ (self-financing) 条件:盈亏完全来自标的价格波动,期间无外部注资或抽资。

​套利机会​ (arbitrage opportunity) 定义为一个满足以下条件的自融资策略:

V0=0,VT≥0  P-a.s.,P(VT>0)>0V_0 = 0, \quad V_T \geq 0 \ \ P\text{-a.s.}, \quad P(V_T > 0) > 0

直白说:零本金入场、绝不亏损、有正概率盈利——这就是「不可能存在的免费午餐」。​​无套利​ (arbitrage-free) 市场就是不允许这种策略存在的市场。

3. 第一基本定理 (FTAP-1):无套利 ⟺ 存在等价鞅测度

记贴现价格 S~t=e−rtSt\widetilde{S}_t = e^{-rt} S_t。第一基本定理 (Harrison-Pliska 1981, Harrison-Kreps 1979, 一般 NFLVR 形式由 Delbaen-Schachermayer 1994 完成) 把无套利等价为一条测度论事实:

市场无套利  ⟺  ∃ Q∼P 使得 S~t=e−rtSt 是 Q-鞅\text{市场无套利} \iff \exists\, Q \sim P \text{ 使得 } \widetilde{S}_t = e^{-rt} S_t \text{ 是 } Q\text{-鞅}

这里 Q∼PQ \sim P 表示 QQ 与 PP 等价,QQ 称为​​等价鞅测度​ (equivalent martingale measure, EMM),工作语境下也叫​​风险中性测度​​。本课只用结论,不证。

​在 GBM 设定下显式构造 QQ。​ 对 f(t,x)=e−rtxf(t, x) = e^{-rt} x 应用伊藤引理 (Itô's lemma):

dS~t=−re−rtSt dt+e−rt dSt=−rS~t dt+μS~t dt+σS~t dWt=(μ−r) S~t dt+σS~t dWt\begin{aligned} d\widetilde{S}_t &= -r e^{-rt} S_t \, dt + e^{-rt} \, dS_t \\ &= -r \widetilde{S}_t \, dt + \mu \widetilde{S}_t \, dt + \sigma \widetilde{S}_t \, dW_t \\ &= (\mu - r) \, \widetilde{S}_t \, dt + \sigma \widetilde{S}_t \, dW_t \end{aligned}

要让 S~t\widetilde{S}_t 在新测度 QQ 下成为鞅,只需把 (μ−r)(\mu - r) 这一漂移项消掉。第三课的 Girsanov 给出唯一手段:取​​市场风险价格​ θ=(μ−r)/σ\theta = (\mu - r) / \sigma,在 dQ/dP=ZTdQ/dP = Z_T 下令 WtQ=Wt+θtW_t^Q = W_t + \theta t 为 QQ-布朗运动,等价地 dWt=dWtQ−θ dtdW_t = dW_t^Q - \theta \, dt。代入上式:

dS~t=(μ−r)S~t dt+σS~t (dWtQ−θ dt)=σS~t dWtQd\widetilde{S}_t = (\mu - r) \widetilde{S}_t \, dt + \sigma \widetilde{S}_t \, (dW_t^Q - \theta \, dt) = \sigma \widetilde{S}_t \, dW_t^Q

零漂移、纯扩散,S~t\widetilde{S}_t 在 QQ 下确为鞅 (martingale)。Black-Scholes 模型市场至此被显式纳入 FTAP-1 框架,因此无套利。

4. 第二基本定理 (FTAP-2):完备 ⟺ 等价鞅测度唯一

一份​​或有权益​ (contingent claim) 是 FT\mathcal{F}_T-可测、可积的随机变量 HH,代表到期日的支付。称市场​​完备​ (complete) 若每一个或有权益都可以用一个自融资策略​​复制​​:存在 (ϕt,ψt)(\phi_t, \psi_t) 使得 VT=HV_T = H。第二基本定理:

无套利市场完备  ⟺  等价鞅测度 Q 唯一\text{无套利市场完备} \iff \text{等价鞅测度 } Q \text{ 唯一}

Black-Scholes 模型市场是完备的典范——只有一个布朗运动作为随机源,θ=(μ−r)/σ\theta = (\mu - r) / \sigma 由 (μ,r,σ)(\mu, r, \sigma) 唯一定出,因此 QQ 唯一。相对地,随机波动率模型 (如 Heston) 通常​​不完备​​:存在多个独立随机源 (标的扩散与波动率扩散) 而仅有一个可交易标的,定价测度类是一族而非一点——这条支线延伸到模块 1.4.x 波动率模型,本课只一句话指明方向。完备性把「定价」与「复制」捆在一起:对一份合约报价,本质上等于宣告自己愿意承接其复制策略的成本与误差,因此 FTAP-2 同时也是衍生品做市可行性的最低条件。

5. 风险中性定价公式的推导

设或有权益 HH 已被某自融资策略 (ϕt,ψt)(\phi_t, \psi_t) 复制,组合价值过程为 VtV_t 且 VT=HV_T = H。考察贴现组合 V~t=e−rtVt\widetilde{V}_t = e^{-rt} V_t,核心断言是:​​​V~t\widetilde{V}_t 在 QQ 下是鞅​​。直观理由是 V~t\widetilde{V}_t 可以写成对 S~t\widetilde{S}_t 的随机积分,而 S~t\widetilde{S}_t 已是 QQ-鞅,Itô 积分保持鞅性;形式化证明依赖鞅表示定理,留到第五课。接受这一断言,把 QQ-鞅性质一步一步用起来:

  1. QQ-鞅恒等式:V~t=EQ[V~T∣Ft]\widetilde{V}_t = E_Q[\widetilde{V}_T \mid \mathcal{F}_t]。
  2. 代入 V~T=e−rTVT\widetilde{V}_T = e^{-rT} V_T:V~t=e−rTEQ[VT∣Ft]\widetilde{V}_t = e^{-rT} E_Q[V_T \mid \mathcal{F}_t]。
  3. 在左侧还原贴现 Vt=ertV~tV_t = e^{rt} \widetilde{V}_t:
Vt=e−r(T−t)EQ[VT∣Ft],V0=e−rTEQ[VT].V_t = e^{-r(T - t)} E_Q[V_T \mid \mathcal{F}_t], \qquad V_0 = e^{-rT} E_Q[V_T].

这就是​​风险中性定价公式​ (risk-neutral pricing formula)。请把它读两遍:任何或有权益在 tt 时刻的无套利价格,等于其到期支付在 QQ 测度下条件期望的贴现。注意 QQ ​不是真实世界的概率测度​​——它是把贴现价格强行变成鞅的数学构造,从而使无套利定价能写成 EQ[贴现支付]E_Q[\text{贴现支付}] 的简洁形式。

6. 数值锚:Black-Scholes 欧式 call 的设置

把所有零件装到一起:在前述 GBM 市场中,​​欧式期权​ (European option) 的看涨支付为 VT=(ST−K)+V_T = (S_T - K)^+。风险中性定价立刻给出

C0=e−rT EQ ⁣[(ST−K)+]C_0 = e^{-rT} \, E_Q\!\left[(S_T - K)^+\right]

而在 QQ 下 log⁡ST∼N ⁣(log⁡S0+(r−σ22)T, σ2T)\log S_T \sim \mathcal{N}\!\big(\log S_0 + (r - \tfrac{\sigma^2}{2}) T,\ \sigma^2 T\big)。取课内参数 S0=100S_0 = 100、K=100K = 100、r=0.04r = 0.04、σ=0.20\sigma = 0.20、T=1T = 1——下一课用鞅表示定理证完备并把这一对数正态积分算成闭式,得到 Black-Scholes 模型经典的 C0=S0N(d1)−Ke−rTN(d2)C_0 = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)。本课在这里​​只摆设​​,不算积分。

下方的 FormulaExplorer 把单条 QQ-路径上贴现的终端价格作为标准正态 zz 的函数画出来:其在 z∼N(0,1)z \sim \mathcal{N}(0, 1) 下的期望恰为 S0S_0,即贴现的 StS_t 是 QQ-鞅的自洽检验。

Formula Explorer

exp(-r * T) * S0 * exp((r - sigma^2 / 2) * T + sigma * sqrt(T) * z)

7. 一道练习,把 FTAP 装到指尖

Exercise

考虑 Black-Scholes 模型市场:S0=100S_0 = 100、r=0.04r = 0.04、σ=0.20\sigma = 0.20、T=1T = 1,且在 PP 下 μ=0.10\mu = 0.10。(a) 写出市场风险价格 θ\theta 并用 Girsanov 验证它;(b) 写出执行价 K=95K = 95 的欧式期权 (European put) 的风险中性定价公式;(c) 在 QQ 下,log⁡ST\log S_T 的分布是什么?给出均值与方差。

提示
θ=(μ−r)/σ=0.30\theta = (\mu - r) / \sigma = 0.30;Girsanov 给出 WtQ=Wt+θtW_t^Q = W_t + \theta t,使 S~t\widetilde{S}_t 零漂移、为 QQ-鞅。看跌的风险中性价为 P0=e−rT EQ[(K−ST)+]P_0 = e^{-rT} \, E_Q[(K - S_T)^+]。
提示
在 QQ 下 log⁡ST∼N(log⁡S0+(r−σ2/2)T, σ2T)\log S_T \sim \mathcal{N}(\log S_0 + (r - \sigma^2 / 2) T,\ \sigma^2 T);代入 S0=100S_0 = 100、r=0.04r = 0.04、σ=0.20\sigma = 0.20、T=1T = 1 得均值 log⁡100+0.02\log 100 + 0.02、方差 0.040.04。

通往第五课:鞅表示定理与 Black-Scholes 闭式

这一课只​​陈述​​了 FTAP 并把贴现组合的 QQ-鞅性当作既成事实使用。下一课要补上这块拼图:​​鞅表示定理​ (martingale representation theorem) 说明,布朗滤波下每个 L2L^2 鞅都是布朗运动的 Itô 积分,因此 V~t\widetilde{V}_t 必能写成 ∫Hs∗ dWsQ\int H_s^* \, dW_s^Q 的形式,从而显式读出复制策略 ϕt=Ht∗/(σS~t)\phi_t = H_t^* / (\sigma \widetilde{S}_t)。沿着这条路,第五课把 C0=e−rTEQ[(ST−K)+]C_0 = e^{-rT} E_Q[(S_T - K)^+] 在对数正态分布上积出闭式 S0N(d1)−Ke−rTN(d2)S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),把今天留下的占位算到底,并把整条 Track 2 的鞅机器交付给模块 1.4.3 Black-Scholes 与希腊字母——也正是境内沪深300 股指期货与 50ETF 期权 (含 A 股个股期权的私募 OTC 结构化定价) 实务上算无套利价的同一套公式。