题目2769 · 脑筋急转弯
一般 2x2 零和矩阵的公式
对零和矩阵博弈 \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] 假设不存在纯策略鞍点，且 $a-b-c+d \neq 0$。推导行玩家的混合策略、列玩家的混合策略以及博弈价值。
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English questions题目1601 · 数学
为什么协方差矩阵一定是半正定
为什么任何合法的协方差矩阵都必须是半正定的？
打开 →题目4064 · 金融与交易
为什么协方差矩阵接近奇异时总杠杆会爆炸 24
为什么当协方差矩阵接近奇异时，多资产 Kelly 的总杠杆可能会爆炸？
打开 →题目2777 · 脑筋急转弯
先约简再求解 3x3 矩阵博弈
考虑零和矩阵 \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \] 找出可以删除的劣势策略，将博弈约简后再求混合均衡及其价值。
打开 →题目1549 · 数学
岭加全一矩阵行列式 4
把 4 I + 1/2 11^T 看作一个 n=5 维矩阵。它的行列式是多少？
打开 →题目1753 · 统计
平均杠杆值与平均残差矩阵对角线
某个回归使用 n = 25 个观测，并估计 3 个参数（包含截距）。求：(i) 平均杠杆值；(ii) 残差生成矩阵 I - H 的对角线平均值。
打开 →题目1547 · 数学
广播矩阵行列式 2
把 5 I + -1 11^T 看作一个 n=3 维矩阵。它的行列式是多少？
打开 →题目2776 · 脑筋急转弯
把整个收益矩阵乘以常数
设 $A$ 是一个零和收益矩阵，博弈价值为 $v$，并且 $\lambda>0$。若收益矩阵变成 $\lambda A$，最优混合策略和博弈价值会如何变化？
打开 →题目1556 · 数学
模态加权矩阵幂 1
一个可对角化矩阵满足 Au_1 = 5u_1、Au_2 = 2u_2。若 v = 1u_1 + -1u_2，那么 A^3v 等于什么？
打开 →题目4320 · 机器学习
注意力矩阵内存
一个全注意力模型使用 L=1024 个 token，并以 float16 存储每个头的一张注意力分数矩阵。一个头的分数矩阵大约占多少内存？
打开 →题目2768 · 脑筋急转弯
点球大战的零和矩阵
一名前锋选择左或右，一名门将也选择左或右。前锋射门成功概率矩阵为 \[ \begin{pmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.8 & 0.7 \end{pmatrix}, \] 其中行对应前锋选择，列对应门将选择。把它视为行玩家为前锋的零和博弈。求均衡混合概率和博弈价值。
打开 →题目2782 · 脑筋急转弯
有一列不绑定的 2x3 零和矩阵
求解零和博弈 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \] 给出最优混合策略及博弈价值。
打开 →题目2786 · 脑筋急转弯
3x3 猜测博弈中的均匀混合
考虑如下零和矩阵：对角线上的收益为 $+1$，非对角线上的收益为 $-1$： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \] 求混合均衡及其价值。
打开 →题目545 · 概率
Kₙ 上惰性随机游走的混合时间
$K_n$ 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。
打开 →题目2140 · 数理金融
LMM 交易台直觉 20
为什么在生产环境的 LMM 分析里，先把相关矩阵修正到可用形态很重要？
打开 →题目4241 · 机器学习
PCA 主方向 1
一个已经中心化的双特征数据集，其协方差矩阵为 [[4.2, 1.6], [1.6, 1.8]]。第一主成分方向及其方差是多少？
打开 →题目2892 · 概率
三状态出生-死亡型市场环境链
考虑三种状态 Bull、Neutral、Bear，其转移矩阵为 \[ P= \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 & 0\\ 0.3 & 0.4 & 0.3\\ 0 & 0.2 & 0.8 \end{pmatrix}. \] 求其平稳分布。
打开 →题目1595 · 数学
与目标 Cholesky 枢轴一致的耦合项 5
矩阵 A = [[9, k], [k, 10]] 的 Cholesky 分解中，第二个对角元恰好等于 1。k 可以取哪些值？
打开 →题目2779 · 脑筋急转弯
两条路线上的不完全防御
防守方选择巡逻路线 $L$ 或 $R$，攻击者选择使用哪条路线。防守方的收益矩阵为 \[ \begin{pmatrix} -0.2 & -2.0 \\ -1.0 & -0.3 \end{pmatrix}, \] 其中行对应防守方选择，列对应攻击者选择。求均衡混合概率以及对防守方的博弈价值。
打开 →题目4062 · 金融与交易
为什么协方差估计误差对多资产 Kelly 特别重要 22
为什么协方差矩阵的估计误差，对多资产 Kelly 特别重要？
打开 →题目1745 · 统计
为什么只有带截距时残差和才为零
为什么“残差和为零”这个性质依赖于设计矩阵里是否包含截距项？
打开 →题目1619 · 数学
为什么大的条件数会让权重不稳定
为什么条件数非常大的协方差矩阵会让最优化组合权重变得不稳定？
打开 →题目3289 · 数学
为什么截断 SVD 可以看作结构化去噪器
为什么低秩截断往往不仅是在压缩矩阵，同时也在去噪？
打开 →题目1607 · 数学
为什么样本协方差会秩亏
为什么当观测数少于资产数时，样本协方差矩阵会出现秩亏？
打开 →题目2787 · 脑筋急转弯
为什么纯鞍点已经解决了混合博弈
设一个有限零和矩阵博弈在 $(i^\*,j^\*)$ 处存在鞍点。解释为什么即使允许混合策略，双方也无法把结果改善到这一价值之外。
打开 →题目3277 · 数学
主成分得分的协方差
若数据先做中心化，再投影到协方差矩阵的正交归一特征向量上，那么得到的 PCA 得分向量的协方差矩阵是什么？
打开 →题目4497 · 数理金融
五状态、秩 2 市场还需要多少个新独立收益？
某个市场有 5 个状态，当前已交易收益矩阵的秩为 2。还需要多少个额外的独立收益方向才能让市场完备？
打开 →题目2902 · 概率
加入惰性不会改变平稳分布
设 $\pi$ 是某个 Markov 链转移矩阵 $P$ 的平稳分布。固定 $\theta\in(0,1)$，定义其惰性版本 \[ P'=\theta I+(1-\theta)P. \] 证明 $\pi$ 也是 $P'$ 的平稳分布。
打开 →题目2767 · 脑筋急转弯
加权版猜币博弈
考虑如下零和矩阵博弈 \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \] 求最优混合策略以及博弈价值。
打开 →题目2774 · 脑筋急转弯
加权版石头剪刀布
考虑如下零和矩阵 \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \] 求最优混合策略以及博弈价值。
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