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非代码面试题
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2902加入惰性不会改变平稳分布设 是某个 Markov 链转移矩阵 P 的平稳分布。固定 \in(0,1)，定义其惰性版本 \[ P'= I+(1- )P. \] 证明 也是 P' 的平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2903带电导权重的随机游走在一张无向图上，每条边 \ u,v\ 都带有正的电导权重 c uv =c vu 。链从 u 走到 v 的概率为 \[ P(u,v)= c uv \sum w c uw . \] 求该链的平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2904目标权重为 1,2,5 的 Metropolis 链在链式图 1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3 上，每一步先在邻居中等概率提出移动，再使用 Metropolis 规则，目标权重与 (1,2,5) 成正比。问平稳分布是什么？概率中等derivation未尝试面试订阅2905Ehrenfest 置换模型的平稳分布在 Ehrenfest 置换模型中，总共有 N 个球，状态 i 表示恰好有 i 个红球。每一步随机均匀选取一个球并翻转其颜色。求该链在 \ 0,1,\dots,N\ 上的平稳分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2906在双随机基础链上加入均匀跳转设 Q 是一个有限状态的双随机矩阵，U 是每一行都为均匀分布的矩阵。定义 \[ P= U+(1- )Q,\qquad 0< <1. \] 求 P 的平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅29073x3 网格上的长期占用比例一个简单随机游走运行在 3 3 网格图上。请求出中心点、非角边点、角点的平稳概率分别是多少，并给出所有角点合计承载的总平稳质量。概率中等derivation未尝试面试订阅2908给定边被穿过的长期频率是多少？一个连通无向图上的简单随机游走从平稳分布出发。请问长期来看，“下一步会穿过某条给定的无向边 \ u,v\ （不区分方向）”的概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅2910三状态路径上的简单随机游走考虑路径图 1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3。简单随机游走每一步都等概率选择一个邻居移动。求其平稳分布。概率简单derivation未尝试面试订阅2913K_{m,n} 两侧各占一半的平稳质量一个简单随机游走运行在完全二部图 K m,n 上。请证明：尽管两侧顶点个数不同，但两侧各自承载的平稳质量都等于 1/2。概率中等derivation未尝试面试订阅2914一个带权三角形上的平稳分布一个带权随机游走运行在顶点 \ 1,2,3\ 上，且对称电导权重为 \[ c 12 =1,\qquad c 23 =2,\qquad c 13 =3. \] 从某个顶点出发时，链按照相连边的电导权重比例选择下一顶点。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2915超立方体上的随机游走考虑状态空间 \ 0,1\ d 上的 Markov 链。每一步它都等概率选择一个坐标并翻转该坐标对应的比特。求其平稳分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2916单个祖先下第 n 代的期望规模一个 Galton-Watson 分枝过程从单个祖先开始，每个个体的平均子代数为 m。求 E[Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2917k 个祖先下第 n 代的期望规模一个分枝过程从 Z 0=k 个祖先开始，平均子代数为 m。求 E[Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2918一步条件期望公式在平均子代数为 m 的 Galton-Watson 过程中，用 Z n 表示 E[Z n+1 \mid Z n]。概率简单derivation未尝试面试订阅2919标准分枝过程鞅设 Galton-Watson 过程的平均子代数为 m>0。证明 \[ M n= Z n m n \] 关于自然滤过是一个鞅。概率中等derivation未尝试面试订阅2920次临界情形下的总后代期望一个 Galton-Watson 过程从单个祖先开始，平均子代数满足 m<1。令 \[ T=\sum n\ge 0 Z n \] 表示总后代数。求 E[T]。概率中等derivation未尝试面试订阅2921k 个祖先下的总后代期望一个平均子代数为 m<1 的次临界分枝过程从 k 个祖先开始。总后代数的期望是多少？概率简单derivation未尝试面试订阅29220 或 2 子代时的精确灭绝概率每个个体以概率 0.3 产生 0 个子代、以概率 0.7 产生 2 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。概率中等derivation未尝试面试订阅2923另一个可精确求解的灭绝根每个个体的子代分布为 \[ P(\xi=0)=0.2,\qquad P(\xi=1)=0.5,\qquad P(\xi=2)=0.3. \] 从单个祖先开始，求灭绝概率。概率中等derivation未尝试面试订阅2924临界的 0 或 2 子代分枝过程设每个个体以概率 1/2 产生 0 个子代、以概率 1/2 产生 2 个子代。灭绝概率是多少？概率中等derivation未尝试面试订阅