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非代码面试题
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3269两资产变动在第一主成分上的重建设 \Sigma=egin pmatrix 9&-3\-3&9\end pmatrix ，其第一主成分方向沿 (1,-1)。对于观察到的变动 x=(2,-1)，若只保留第一主成分，求对应的 rank-1 重建向量与残差。数学中等derivation未尝试面试订阅3270标准化如何改变 PCA 的谱原始协方差矩阵为 \Sigma=egin pmatrix 9&6\6&9\end pmatrix 。若先把每个坐标都标准化为单位方差，再做 PCA，那么相关矩阵的特征值分别是多少？第一主成分解释的标准化方差比例是多少？数学中等derivation未尝试面试订阅3272第三奇异值最大能有多大一个数据矩阵的奇异值为 7,4,s。若你只保留 rank 2，且希望至少保留总 Frobenius 平方能量的 95\%，那么 s 的最大允许值是多少？数学困难derivation未尝试面试订阅3273哪个组合更贴近低方差主成分某协方差矩阵的特征值为 25 和 1，其第一特征向量与 (2,1) 成比例，第二特征向量与 (1,-2) 成比例。比较组合 p 1=(1,-2) 与 p 2=(2,1) 的方差。数学中等derivation未尝试面试订阅3278要达到 75% 解释率时首个特征值至少多大某协方差矩阵的特征值为 \lambda 1,3,2。若要求第一主成分至少解释总方差的 75\%，那么 \lambda 1 最小是多少？数学中等derivation未尝试面试订阅3279根据总能量与解释比例反推尾部奇异值一个矩阵的 Frobenius 范数为 10，其前两个奇异方向恰好解释了总 Frobenius 平方能量的 24/25。求最小的那个奇异值。数学中等derivation未尝试面试订阅3281单资产仓位中有多少方差来自市场主成分在协方差 \Sigma=egin pmatrix 5&4\4&5\end pmatrix 下，考虑组合 p=(1,0)。它的方差中有多少比例来自第一主成分？数学中等derivation未尝试面试订阅3282从观测变动中剔除第一主成分仍使用第一主成分方向 u=(1,1)/\sqrt2。把观测变动 r=(1,3) 在第一主成分上的成分去掉后，剩余残差向量是什么？数学中等derivation未尝试面试订阅3283哪个奇异方向最容易放大噪声某设计矩阵的奇异值为 12,5,0.5。在伪逆下，最小奇异值方向对噪声的放大倍数，相对于最大奇异值方向要大多少？数学中等derivation未尝试面试订阅3291两单位时间后的指数衰减求解 x'(t)=-3x(t) 且 x(0)=12，并计算 x(2)。数学简单derivation未尝试面试订阅3293半个时间单位内的冷却模型求解 x'(t)=-2x(t) 且 x(0)=10，并计算 x( 1 2 )。数学简单derivation未尝试面试订阅3301Logistic 增长的容量极限考虑 logistic 方程 x'(t)=1x(t) (1- x(t) 10 )，初值为 x(0)=2。求 t 时 x(t) 的长期极限。数学简单derivation未尝试面试订阅3306简谐振子的解求解 y''+4y=0，且 y(0)=1、y'(0)=0。数学中等derivation未尝试面试订阅3311x(1-x) 的稳定平衡点考虑 x'(t)=x(1-x)。哪个平衡点是稳定的？数学中等derivation未尝试面试订阅3315平移 logistic 流中的稳定根考虑 x'(t)=(x-1)(3-x)。哪个平衡点是稳定的？数学中等derivation未尝试面试订阅3316第一正弦模态的衰减对热方程 u t=1u xx （定义在 0<x< 上，且两端边界为 0），初值为 u(x,0)=\sin(1x)。求 u(x,t)。数学中等derivation未尝试面试订阅3321双模态初值对方程 u t=1u xx （0<x< ，边界值为 0），若初值为 u(x,0)=1\sin(1x)+2\sin(2x)，写出 u(x,t)。数学中等derivation未尝试面试订阅3323三模态热分布对方程 u t=1u xx （0<x< ，边界值为 0），若初值为 u(x,0)=2\sin(1x)+1\sin(2x)+1\sin(3x)，写出 u(x,t)。数学中等derivation未尝试面试订阅3325初始热分布中有正负号混合对方程 u t=1u xx （0<x< ，边界值为 0），若初值为 u(x,0)=1\sin(1x)-2\sin(2x)，写出 u(x,t)。数学中等derivation未尝试面试订阅3331哪个 Fourier 模态衰减得更慢？在区间 0<x< 上的热方程中，哪个模态存活更久：\sin x 还是 \sin(3x)？数学中等derivation未尝试面试订阅