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非代码面试题
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159近生日问题：生日相差一天以内14个人的生日独立且均匀分布在365天的环形日历上（第1天与第365天相邻）。若两人的生日相差不超过1天（同天或相邻天），则称为**近匹配**。令 M 为近匹配的无序对数。 (a) 计算 E[M]。 (b) 利用 Poisson 近似估计 P(M \ge 1)。 (c) 与标准生日问题对比：n = 14 人时，P( 至少一次精确匹配 ) 是多少？概率中等数值题未尝试免费160不同生日数的期望与方差在 n 人的生日独立均匀分布于 \ 1, \ldots, d\ 的设定下，令 D 为观察到的不同生日天数。 (a) 用指示随机变量推导 E[D]。 (b) 推导 Var (D)。需要计算 P( 第 j 天和第 k 天均有人 )（j \ne k）。 (c) 当 n = 100、d = 365 时，计算 E[D]、 Var (D) 以及期望的「碰撞人数」n - D。 (d) E[n - D] 与指示对方法得到的期望碰撞对数 \binom n 2 /d 是否相同？解释两者的区别。概率困难derivation未尝试面试订阅164四个人中恰好出现一对同生日的概率4 个人的生日在 365 天日历上独立且均匀。恰好只有一对人同生日，并且没有更大的碰撞时，概率是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅176A 服务器为空而 B 服务器非空6 个带标签的任务彼此独立地、等概率路由到 4 个带标签的服务器 A、B、C、D。问共有多少种分配方式会让 A 服务器为空，同时 B 服务器至少拿到 1 个任务？概率简单数值题未尝试免费177指定服务器上的奇数负载5 个带标签的数据包独立地分配到 3 个带标签的服务器上。问有多少种分配方式会让 A 服务器拿到奇数个数据包？概率简单数值题未尝试免费182已知一个指定任务去到指定服务器后的占用服务器期望数已知一个指定任务已经被路由到服务器 A。随后还有 5 个带标签任务独立且均匀地路由到 4 个服务器 A、B、C、D。最终被占用的服务器总数期望是多少？概率中等数值题未尝试免费183占位模型中的碰撞概率将5个可区分的球独立且均匀随机地投入12个可区分的盒子中。至少有两个球落入同一个盒子的概率是多少？给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费188带上限的弱组合数7 个不可区分任务分配到 4 个带标签服务器上。若每个服务器最多只能拿到 3 个任务，那么共有多少种可能的占用向量？概率中等数值题未尝试免费189重载盒子的概率将6个可区分的球独立且均匀随机地投入4个可区分的盒子中。至少有一个盒子包含3个或更多球的概率是多少？给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费190奇数负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 5 个带标签箱子里。最终负载为奇数的箱子数期望是多少？概率困难数值题未尝试免费191两个指定球都单独占据自己的箱子球 1 和球 2 被特别标记。6 个带标签球独立地分配到 4 个带标签箱子里。问球 1 与球 2 落在不同箱子里，并且这两个箱子都没有其他球时的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费192精确占用轮廓 2-2-1-05 个带标签任务独立地分配到 4 个带标签队列。若把 4 个队列的负载排序后恰好等于 (2,2,1,0)，这样的分配共有多少种？概率中等数值题未尝试免费193非空盒子的条件期望占有量将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。已知盒子1非空，盒子1中球数的期望值是多少？给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费194非空盒子数量的方差将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 N 为非空盒子的数量。求 Var (N)。给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费195六个盒子中首次碰撞的期望时间球逐个投出，每个球独立且均匀随机地落入6个盒子之一。令 T 为第一个落入已有球的盒子的球的编号（因此 T \ge 2）。推导 E[T] 并给出精确分数。概率困难derivation未尝试免费196三个指定箱子的负载严格递减7 个带标签数据包独立地分配到 3 个带标签箱子 A、B、C。问有多少种分配方式会让负载满足 load(A) > load(B) > load(C)？概率简单数值题未尝试免费197重负载箱子的期望个数8 个带标签球独立地分配到 4 个带标签箱子中。负载至少为 3 的箱子数期望是多少？概率简单数值题未尝试免费199盒子最大占有量的期望值将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 M = \max(X 1, X 2, X 3) 为单个盒子中球数的最大值。求 E[M]。给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费200通过斯特林数求空盒子数的完整分布将6个可区分的球独立且均匀随机地投入5个可区分的盒子中。令 E 为空盒子的数量。推导 P(E=k) 对所有可能的 k 值的概率质量函数，将每个概率表示为精确分数。概率困难derivation未尝试免费202二项分布的泊松近似一家工厂每天生产500个芯片，每个芯片独立地有 0.01 的缺陷概率。用泊松近似估计某天恰好有3个芯片有缺陷的概率。概率简单数值题未尝试免费