模块2.5.2 · 数学与统计能力 · 最优化
迭代法与正则化方法
optimization · gradient-descent · line-search · convergence · iterative-methods · newton-method · quasi-newton · bfgs
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English questions课程概率论基础 · 概率与统计基础
极限定理:大数定律与中心极限定理
某私募的策略经理把过去 12 个月的日 P&L 平均值定为 0.06%,准备据此外推年度回报。这种"样本均值即真均值"的隐含假设到底有多牢靠?——回答它需要两条极限定理: 大数定律 (law of large numbers, LLN)说"公式 足够大时样本均值确实贴近真均值"; 中心极限定理 (central limit theorem, ...
打开 →题目5885 · 数理金融
树与 Black-Scholes 的收敛
一步 CRR 二叉树给一年期平价欧式看涨定价为 9.95，而相同现价、执行价、利率、波动率下的 Black-Scholes 值为 8.43。粗糙的树高估了多少？最直接缩小该误差的单一改动是什么？
打开 →题目220 · 概率
通过特征函数证明二项分布的泊松极限
设 $X_n \sim \text{Binomial}(n, \lambda/n)$，$\lambda > 0$ 固定。 (a) 写出 $\varphi_{X_n}(t)$ 的闭式。 (b) 证明 $\lim_{n\to\infty} \varphi_{X_n}(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}$。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) $\lambda=5$，$n=100$ 时，用精确二项和泊松近似分别计算 $P(X_n=3)$，求相对
打开 →题目3864 · 金融与交易
为什么 backwardation 时现金基差会为正
为什么在 backwardation 市场里，现金基差 $S-F$ 通常为正？
打开 →题目3863 · 金融与交易
为什么 contango 时现金基差会为负
为什么在 contango 市场里，现金基差 $S-F$ 往往是负的？
打开 →题目3862 · 金融与交易
为什么临近到期时基差通常会收敛
为什么随着期货合约逐渐接近到期，基差通常会收敛？
打开 →题目3865 · 金融与交易
为什么交易员会单独盯着基差
为什么交易员常常把基差当成一个独立状态变量来监控，而不是只分别看现货和期货价格？
打开 →题目3861 · 金融与交易
为什么现金-期货套保仍可能不完美
为什么即便期货名义规模和现金头寸完全匹配，现金-期货套保仍然可能留下风险？
打开 →题目4631 · 数理金融
复制路线敏感性 16
为什么把二叉树时间步缩小，会让复制路线更接近连续的 Black-Scholes 对冲？
打开 →题目4634 · 数理金融
复制路线敏感性 17
为什么增加二叉树步数通常会让向后递推对动态对冲更有启发，而不是更没用？
打开 →题目4633 · 数理金融
更高的利率
如果无风险利率上升，而状态支付保持不变，那么在对冲比率变化之前，一步复制组合中的哪一块会被直接影响？
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梯度下降与线搜索
周五下午两点，你在上海某私募的因子研究组里收到一张 12,000 × 600 的设计矩阵——600 个候选 alpha 因子在沪深300 成分股上 18 个月日频的横截面暴露。组合经理希望你下班前给一组系数，明早接入回测。你写下普通最小二乘（ordinary least squares, OLS）的闭式解 beta = np.linalg.solve(X.T...
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正则化最小二乘:岭回归与 Lasso
深圳某私募的多因子研究员手头有 60 个交易日的沪深300 成分股横截面收益,外加一份「因子动物园」(factor zoo)清单:动量、价值、质量、低波,再加上 70 多个另类与基本面因子,合计 公式 个候选预测变量、公式 个观测——一个典型的 公式 病态设计矩阵。她直接套用上一模块的普通最小二乘(ordinary least squares, OLS),解...
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牛顿法与拟牛顿法
周一开盘后 15 分钟，沪深300 ETF 期权（300ETF options on SSE）的隐含波动率（implied volatility, IV）整体上抬了 3 个 vol。你在一家私募的做市账户上挂着一组 50ETF 与 300ETF 近月平值 call，定价模型需要把每张合约的市场报价反推成 IV。上一节用梯度下降跑过同样的题：在某些深度虚值（o...
打开 →题目2853 · 概率
用中心化特征函数得到泊松到正态的极限
设 $N_\lambda\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$。请直接使用特征函数证明 \[ \frac{N_\lambda-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\Rightarrow N(0,1) \quad\text{当 }\lambda\to\infty. \]
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用特征函数证明 Rademacher 的中心极限定理
设 $X_1,X_2,\dots$ 相互独立同分布，且 $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=1/2$。请用特征函数证明 \[ \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n}\Rightarrow N(0,1). \]
打开 →题目4864 · 数理金融
由 Richardson 输出反推粗网格估计 19
某二阶有限差分方案使用 Richardson 外推 E_R = (4E_fine - E_coarse)/3。若 E_R=10.6，E_fine=10.4，则隐含的粗网格估计 E_coarse 是多少？
打开 →题目4865 · 数理金融
由 Richardson 输出反推细网格估计 20
某二阶有限差分方案使用 Richardson 外推 E_R = (4E_fine - E_coarse)/3。若 E_R=2.8，E_coarse=2.4，则隐含的细网格估计 E_fine 是多少？
打开 →题目2854 · 概率
稀有事件下二项分布到泊松分布
设 $X_n\sim\mathrm{Binomial}(n,\lambda/n)$，其中 $\lambda>0$ 固定。用特征函数证明 $X_n\Rightarrow \mathrm{Poisson}(\lambda)$。
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随机与小批量优化方法
钩子：当一次完整梯度要四个小时 某上海百亿私募的研究员准备把一套基于沪深300 成分股的多因子神经网络 α 信号搬上生产。训练集是过去 5 年的日频面板：约 180 万行样本 × 300 只成分股 × 80 个特征。前两课的工具一一被排除——海森矩阵（Hessian matrix, 公式）装不进显存，L BFGS 一次方向计算也要把整批数据过一遍。退到最朴素...
打开 →题目2069 · 数学
Newton 在根处需要非零导数 24
为什么简单根 f'(r) != 0 是 Newton 快速收敛的标准干净场景？
打开 →题目5855 · 数学
p-级数收敛阈值
对于以下哪些指数 p，级数 sum_(n=1)^inf 1/n^p 收敛：p = 1/2、p = 1、p = 3/2、p = 2？列出所有使其收敛的值。
打开 →题目2485 · 机器学习
为什么梯度下降与闭式解会一致 15
为什么在 OLS 中，精确收敛的梯度下降与正规方程解会一致？
打开 →题目5964 · 概率
波利亚罐的极限比例
一个罐子初始有 1 红 2 蓝。每步均匀随机抽一球，观察后连同一个同色球一起放回。设 R_n/T_n 为 n 次抽取后红球比例。该比例是有界鞅，收敛到极限 L。用可选停止/鞅收敛，求 E[L]。
打开 →题目5853 · 数学
用比值判别法求收敛半径
求幂级数 sum_(n=1)^inf (3^n / n) x^n 的收敛半径。
打开 →题目3841 · 金融与交易
由基差变动得到收敛交易的 PnL
某交易员做的是多现货、空期货的收敛交易。初始时现货为 100、期货为 104，因此现金基差为 -4。之后基差变化了 1.5。忽略融资后，这笔交易的盯市 PnL 变化是多少？
打开 →题目3842 · 金融与交易
由基差变动得到收敛交易的 PnL
某交易员做的是多现货、空期货的收敛交易。初始时现货为 80、期货为 76，因此现金基差为 4。之后基差变化了 -2。忽略融资后，这笔交易的盯市 PnL 变化是多少？
打开 →题目3843 · 金融与交易
由基差变动得到收敛交易的 PnL
某交易员做的是多现货、空期货的收敛交易。初始时现货为 52、期货为 52.8，因此现金基差为 -0.8。之后基差变化了 0.6。忽略融资后，这笔交易的盯市 PnL 变化是多少？
打开 →题目3844 · 金融与交易
由基差变动得到收敛交易的 PnL
某交易员做的是多现货、空期货的收敛交易。初始时现货为 120、期货为 123，因此现金基差为 -3。之后基差变化了 2。忽略融资后，这笔交易的盯市 PnL 变化是多少？
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