模块2.2.2 · 数学与统计能力 · 统计推断
回归与广义线性模型
statistical-inference · regression · linear-regression · ordinary-least-squares · normal-equations · design-matrix · hat-matrix · projection
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English questions课程回归与广义线性模型 · 统计推断
线性回归:最小二乘法与几何视角
周二开盘前 30 分钟,你在一家百亿规模的私募(private fund)接手了今早的因子配置(factor allocation)任务。手头是沪深300 成份股过去 60 个交易日的日收益,以及 4 个候选风格因子——规模、价值、动量、低波——在同期的横截面暴露。你的 PM 只问一句:「把这批个股的今日预期收益,拟合成这 4 个因子的线性组合,残差还剩多少...
打开 →题目2076 · 数理金融
不完全市场中的仿射复制检验 6
股票今天价格为 100，下一期可能到达 120、100 或 80。考虑一项在这三个状态下分别支付 20、10、0 的索赔。它能否仅靠股票和现金精确复制？如果可以，请给出对冲；如果不行，请指出障碍。
打开 →题目2091 · 数理金融
不完全市场定价直觉 21
为什么一旦三叉树市场的状态数多于可交易证券数，唯一无套利价格就会消失？
打开 →题目2092 · 数理金融
不完全市场定价直觉 22
为什么在不完全市场里，superhedge 的成本天然位于价格区间上端？
打开 →题目2093 · 数理金融
不完全市场定价直觉 23
为什么一个最小方差对冲仍然不能钉死唯一的无套利价格？
打开 →题目2094 · 数理金融
不完全市场定价直觉 24
为什么在三叉树模型里，再增加一个状态依赖报价就可能补全市场，即使原本只有股票和债券时做不到？
打开 →题目2095 · 数理金融
不完全市场定价直觉 25
为什么无差异价格会依赖风险厌恶，而无套利区间却不会？
打开 →题目3269 · 数学
两资产变动在第一主成分上的重建
设 $\Sigma=egin{pmatrix}9&-3\-3&9\end{pmatrix}$，其第一主成分方向沿 $(1,-1)$。对于观察到的变动 $x=(2,-1)$，若只保留第一主成分，求对应的 rank-1 重建向量与残差。
打开 →题目3341 · 数学
最优点在下界之上
最小化 $(x-2)^2$，约束为 $x\ge 0$。使用 KKT 形式 $g(x)=0-x\le 0$，求最优解 $x^*$ 与最优乘子 $\lambda$。
打开 →题目2086 · 数理金融
反推补全市场的数字合约报价 16
一只一期三叉树股票在零利率下可能终值为 120、100 或 80。某个只在上涨状态支付 1 的数字合约以未知价格 q 交易，并补全市场。另一项在三个状态下分别支付 5、1、0 的索赔报价为 1.8。由此隐含的 q 是多少？
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回归诊断、多重共线性与正则化
上海某私募的多因子研究员把过去 250 个交易日的沪深300 成分股横截面回归刚跑完——12 个风格因子,公式 达到 0.41,看着挺漂亮。可是把 5 月那一周的极端行情样本剔掉再跑一次,某个动量因子的系数从 公式 翻成 公式;再换一种风险因子的口径,价值因子又从显著变成不显著。模型「拟合得很好」却一推就倒——这正是前两课没有触及的现实: 普通最小二乘...
打开 →题目2071 · 数理金融
市场补全后的三叉树定价 1
某一期股票今天价格为 100，下一期可能到达 120、100 或 80。无风险利率为 0。一只只在上涨状态支付 1 的数字合约报价为 0.2，由此市场被补全。对于在上涨、中间、下跌状态分别支付 5、1、0 的索赔，隐含的唯一无套利价格是多少？
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广义线性模型
上海某量化私募的两位研究员同一天上午被同一类工具卡住:小赵在搭一个「明日是否跑赢沪深300」的择时信号,标签是二元的 0/1;小李在 50ETF 期权做市数据上估「下一分钟到单笔数」,响应是非负整数 公式。模块前三课的普通最小二乘(ordinary least squares, OLS)对这两个任务都派不上用场——OLS 默认响应在正态分布(Gaussian...
打开 →课程线性代数核心 · 线性代数与微积分
正交性、投影与最小二乘
北京某私募的量化研究员手头有 1,500 个交易日的沪深300 ETF（300ETF）收益序列，外加 12 个候选因子——动量、价值、低波、三个流动性代理、六个宏观贝塔。她想要的是这 12 个因子在 L2 意义下最接近 ETF 收益的线性组合。1,500 个方程对 12 个未知数，这是高度超定的方程组，根本不存在精确解，她只能挑出 最佳近似 。给出 ...
打开 →题目4251 · 机器学习
第二主成分 11
一个已经中心化的双特征数据集，其协方差矩阵为 [[1.8, 2.4], [2.4, 8.2]]。第二主成分方向及其方差是多少？
打开 →题目2081 · 数理金融
简单对冲的最坏短缺 11
某个不可交易的支付在三叉树股票的上涨、中间、下跌状态（120、100、80）下分别支付 4、1、6。交易台用现金 -8 和 Delta = 0.1 股股票进行对冲。该对冲在三个状态下的最坏短缺是多少？
打开 →题目2082 · 数理金融
简单对冲的最坏短缺 12
某个不可交易的支付在三叉树股票的上涨、中间、下跌状态（120、100、80）下分别支付 3、5、1。交易台用现金 7 和 Delta = -0.05 股股票进行对冲。该对冲在三个状态下的最坏短缺是多少？
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线性回归的统计推断
上海某私募的量化研究员在沪深300（CSI 300）成分股的三年日频收益里跑了一支六因子模型，回归表打出来：动量项系数 0.18、t 统计量 3.2，整体显著性 F 统计量 18.4。组合经理盯着她问：「这几个数字，到底说明因子真的有 alpha，还是只是回归噪音被你刚好捞到了？」她手里的工具不能回答这个问题——上一课的 公式 是点估计，没有不确定性。本节要...
打开 →题目3345 · 数学
负目标与轻微激活的下界
最小化 $(x--2)^2$，约束为 $x\ge -1$。使用 KKT 形式 $g(x)=-1-x\le 0$，求最优解 $x^*$ 与最优乘子 $\lambda$。
打开 →题目3346 · 数学
预算线之上离原点最近的点
最小化 $x^2+y^2$，约束为 $x+y\ge 1$。对不等式 $g(x,y)=1-x-y\le 0$，求 $(x^*,y^*)$ 与最优 KKT 乘子。
打开 →题目1752 · 统计
为什么 OLS 对冲本质上是一个投影问题
为什么 OLS 对冲比率常被描述为“把现金头寸收益流投影到对冲工具张成的空间里”？
打开 →题目2493 · 机器学习
投影误差与拟合子空间正交 23
为什么 y - X beta_hat 会与任意拟合向量 Xv 正交？
打开 →题目2482 · 机器学习
拟合向量的投影解释 12
用一句话回答：在 OLS 中，X beta_hat 在几何上是什么？
打开 →题目1531 · 数学
残差空间投影秩 1
P 是 R^8 上的一个投影矩阵，且 rank(P) = 3。问 rank(I - P) 是多少？
打开 →题目631 · 概率
终值投影过程 1
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F_n。定义 Y = 1{X_1+X_2+X_3 >= 2}，并令 M_n = E[Y | F_n]。问 (M_n) 是否是鞅？
打开 →题目632 · 概率
终值投影过程 2
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F_n。定义 Y = 1{X_1+X_2+X_3+X_4 = 0}，并令 M_n = E[Y | F_n]。问 (M_n) 是否是鞅？
打开 →题目633 · 概率
终值投影过程 3
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F_n。定义 Y = 1{max(X_1,X_2,X_3) = 1}，并令 M_n = E[Y | F_n]。问 (M_n) 是否是鞅？
打开 →题目634 · 概率
终值投影过程 4
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F_n。定义 Y = X_1+X_2+X_3+X_4，并令 M_n = E[Y | F_n]。问 (M_n) 是否是鞅？
打开 →题目635 · 概率
终值投影过程 5
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是独立同分布的对称 ±1 随机变量，自然滤过为 F_n。定义 Y = (X_1+X_2+X_3)^2，并令 M_n = E[Y | F_n]。问 (M_n) 是否是鞅？
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