题目3285 · 数学
为什么白化会放大小特征值方向上的噪声
为什么当某些协方差特征值非常小时，白化反而会让下游模型更脆弱？
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English questions题目4951 · 数学
由首个 Dirichlet 特征值反推区间长度 11
对区间 [0,L] 上满足 y'' + lambda y = 0、且 y(0)=0、y(L)=0 的问题，首个正特征值为 lambda_1 = (pi/L)^2。若 lambda_1 = 4*pi^2，则 L 是多少？
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由首个 Dirichlet 特征值反推区间长度 12
对带 Dirichlet 端点的 y'' + lambda y = 0，首个正特征值为 lambda_1 = (pi/L)^2。若 lambda_1 = pi^2/4，则 L 是多少？
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要达到 75% 解释率时首个特征值至少多大
某协方差矩阵的特征值为 $\lambda_1,3,2$。若要求第一主成分至少解释总方差的 $75\%$，那么 $\lambda_1$ 最小是多少？
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边界特征值 3
对区间 [0,1] 上的方程 y'' + λ y = 0，若 y'(0)=0 且 y(1)=0，第 1 个正特征值是多少？
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边界特征值 4
对区间 [0,1.5] 上的方程 y'' + λ y = 0，若 y(0)=0 且 y(1.5)=0，第 2 个正特征值是多少？
打开 →模块2.4.1 · 数学与统计能力 · 线性代数与微积分
线性代数核心
矩阵 · 特征值 · PCA/SVD · 梯度与 Hessian
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特征分解与奇异值分解
上海某多策略私募的风控总监周一开盘前打开她的笔记本：一只新策略子账户即将上线，桌面上躺着一个 500×500 的样本协方差矩阵 公式，由沪深300 成分股日收益估出。CIO 只问她两件事：哪两个名义因子方向解释了组合方差的主要部分，以及这一结论对输入窗口的微小扰动有多敏感。这两个问题都由同一个对象回答——公式 的特征分解。前者由特征向量给出方向，后者由最大特...
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向量、向量空间与线性映射
周一上午，上海某私募的量化研究员同时开了三张表：30 只沪深300 成分股近三年的日收益矩阵、当前持仓的市值列向量、PM 便签上的一句话——「整个组合杠杆到 1.4 倍，新的暴露向量是多少？」屏幕上所有对象——收益序列、持仓清单、杠杆算子——本质都是向量或向量之间的线性映射。在按下回车之前，你必须先把「向量是什么、它住在什么空间、什么变换才算线性」这件事讲清...
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正交性、投影与最小二乘
北京某私募的量化研究员手头有 1,500 个交易日的沪深300 ETF（300ETF）收益序列，外加 12 个候选因子——动量、价值、低波、三个流动性代理、六个宏观贝塔。她想要的是这 12 个因子在 L2 意义下最接近 ETF 收益的线性组合。1,500 个方程对 12 个未知数，这是高度超定的方程组，根本不存在精确解，她只能挑出 最佳近似 。给出 ...
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矩阵代数与线性方程组
深圳某券商衍生品做市团队周五下午收到一封 CFFEX 合规问询：47 套挂在沪深300 股指期货上的对冲策略，监管想知道是否存在两套策略相互冗余——也就是说某一套是其他几套的线性组合。问题背后是同一个矩阵 公式：列是各策略的盯市 P&L，秩决定了一切。若 公式 列满秩，47 个方向线性无关；若不满秩，过去几个月里有人在重复申报相同的风险敞口。本节给你回答这个...
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Kₙ 上惰性随机游走的混合时间
$K_n$ 上的惰性随机游走。(a) 证明转移矩阵有两个不同特征值。(b) 求谱雙并确定混合时间的阶。
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中心化叠加谱 2
在 n=5 维空间中，A = 3I + -111^T。它的特征值是什么？
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共享因子谱 3
在 n=3 维空间中，A = 1I + 211^T。它的特征值是什么？
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哪个组合更贴近低方差主成分
某协方差矩阵的特征值为 $25$ 和 $1$，其第一特征向量与 $(2,1)$ 成比例，第二特征向量与 $(1,-2)$ 成比例。比较组合 $p_1=(1,-2)$ 与 $p_2=(2,1)$ 的方差。
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岭加拥挤模态 4
在 n=6 维空间中，A = 4I + 1/211^T。它的特征值是什么？
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平均算子残差衰减 1
一个线性算子的主特征值为 1，第二特征值为 4/5。若初始偏离一致性的量是 10，那么沿第二模态连续作用 3 次之后，剩余偏离是多少？
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把条件数压到目标以下所需的岭项 1
某个对称正定矩阵的特征值为 1 和 13。在求逆之前，交易台先加上 lambda I。要让 A + lambda I 的条件数至多为 4，最小的非负 lambda 是多少？
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把条件数压到目标以下所需的岭项 3
某个对称正定矩阵的特征值为 0.5 和 8。在求逆之前，交易台先加上 lambda I。要让 A + lambda I 的条件数至多为 5，最小的非负 lambda 是多少？
打开 →题目1579 · 数学
把条件数压到目标以下所需的岭项 4
某个对称正定矩阵的特征值为 1.5 和 10.5。在求逆之前，交易台先加上 lambda I。要让 A + lambda I 的条件数至多为 2.5，最小的非负 lambda 是多少？
打开 →题目1580 · 数学
把条件数压到目标以下所需的岭项 5
某个对称正定矩阵的特征值为 0.8 和 15.2。在求逆之前，交易台先加上 lambda I。要让 A + lambda I 的条件数至多为 6，最小的非负 lambda 是多少？
打开 →题目4393 · 机器学习
无泄漏滚动均值收益特征 3
在今天收盘时，你要用最近 5 个已经完成的日收益 [1%, -2%, 0%, 3%, 2%] 构造一个无泄漏的滚动均值收益特征。这个特征值是多少？
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标准化如何改变 PCA 的谱
原始协方差矩阵为 $\Sigma=egin{pmatrix}9&6\6&9\end{pmatrix}$。若先把每个坐标都标准化为单位方差，再做 PCA，那么相关矩阵的特征值分别是多少？第一主成分解释的标准化方差比例是多少？
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特征加倍时线性得分变化 20
一个线性 SVM 在某个点上的线性得分原本是 1.2。如果相关特征值全部加倍，而 w 保持不变，这个线性项的新得分会是多少？
打开 →题目533 · 概率
环图上惰性游走的谱雙与混合时间
环图 $C_n$ 上的惰性随机游走：每步以 $1/2$ 概率停留，各以 $1/4$ 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 $\lambda_k=\frac{1}{2}(1+\cos(2\pi k/n))$。 (a) 求谱雙 $\gamma=1-\lambda_1$。 (b) 利用 $t_{\text{mix}}\asymp 1/\gamma$ 确定 $n\to\infty$ 时混合时间的阶。
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白化得分 18
一个白化 PCA 变换会把原始主成分得分分别除以特征值 9 和 4 的平方根。如果原始得分是 (6,4)，白化后的得分是什么？
打开 →题目1571 · 数学
秩一谱描述 1
一个秩一对称矩阵沿着全 1 方向的特征值是 7。那么沿着所有与 1 正交的向量的其余特征值是什么？
打开 →题目4257 · 机器学习
舍弃方差比例 17
某个 PCA 模型的特征值为 5、2 和 1。如果只保留前两个主成分，被舍弃的方差比例是多少？
打开 →题目4246 · 机器学习
解释方差占比 6
某个协方差矩阵做 PCA 后得到特征值 12、3 和 1。第一主成分解释了总方差的多少比例？
打开 →题目4247 · 机器学习
达到方差阈值所需维数 7
PCA 得到的特征值是 12、3 和 1。若要求至少解释 90% 的方差，最少需要保留多少个主成分？
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