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找到 30 个结果

English questions
题目505 · 概率

带部分反射壁的赌徒破产

马尔可夫链在 $\{0,1,2,\ldots\}$ 上，$0$ 为吸收态。从 $k\ge1$ 以概率 $p$ 到 $k+1$、概率 $q=1-p$ 到 $k-1$。状态 $N$ 为反射壁：从 $N$ 必定回到 $N-1$。从状态 $k$（$1 \le k \le N$）出发：(a) 求被 $0$ 吸收的概率 $r_k$。(b) 当 $p=q=1/2$，$N=4$ 时，求 $r_2$ 和 $E[T|X_0=2]$。

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题目2879 · 概率

数值化的泊松过载上界

某交易网关在固定时间窗内收到的消息数满足 $N\sim\mathrm{Poisson}(100)$。请用泊松上尾的 Chernoff 上界估计 $P(N\ge 130)$。

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题目220 · 概率

通过特征函数证明二项分布的泊松极限

设 $X_n \sim \text{Binomial}(n, \lambda/n)$，$\lambda > 0$ 固定。 (a) 写出 $\varphi_{X_n}(t)$ 的闭式。 (b) 证明 $\lim_{n\to\infty} \varphi_{X_n}(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}$。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) $\lambda=5$，$n=100$ 时，用精确二项和泊松近似分别计算 $P(X_n=3)$，求相对

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题目503 · 概率

非对称步长赌徒破产

赌徒初始资金 $\$3$。每轮以概率 $2/3$ 赢 $\$1$，以概率 $1/3$ 输 $\$2$。资金 $\le 0$ 为破产，$\ge 5$ 为胜利。求胜利概率。

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题目5336 · 金融与交易

为什么组合 VaR 会低于各簿 VaR 之和

在每日风险会上，CRO 发现三个交易台各自的历史 VaR 相加为 4200 万，但加入一个新的基差簿之后，组合历史 VaR 只有 3100 万。最可能的解释是什么？在相信这种分散化效果之前，你应该先做哪一个具体的系统检查？

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题目2827 · 概率

任意计数变量的一般抽稀

设 $X$ 是一个取非负整数值的随机变量，其 PGF 为 $G_X(s)$。对这 $X$ 个对象逐个独立保留，每个保留概率为 $p$。记保留下来的个数为 $Y$。请用 $G_X$ 表示 $G_Y(s)$。

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题目5927 · 概率

最小化期望名次

三件物品以随机顺序到来；每件之后你知道其相对于已见者的名次，并须不可撤回地接受或拒绝（最后一件强制接受）。你不追求取得唯一最优，而是希望最小化最终所接受物品的期望绝对名次（名次1=最优，名次3=最差）。求最优策略及可达的最小期望名次。

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题目5718 · 脑筋急转弯

只能载一物的渡船与不相容货物

一名商人要用小船把三样东西——狐狸、鹅、一袋豆子——运过河，小船每趟只能载商人加最多一样东西。若无人看管放在一起，狐狸会吃鹅，鹅会吃豆子（狐狸不吃豆子）。每趟都由商人划船。把三样东西都安全运到对岸，最少需要多少次单程渡河？

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题目5939 · 概率

可能存在并列时的秘书选择

三件物品以均匀随机顺序到来。它们的质量并非两两不同：其中两件质量为 2（并列最好），一件为 1。每件之后你观察其相对于已见者的质量，报告为“更高”“并列”或“更低”（即并列可见）。你不可撤回地接受或拒绝（最后一件强制）。你希望最大化所接受物品的期望质量。求最优策略与最大期望质量，并说明可观察到的并列如何改变你能保证的结果。

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题目5932 · 概率

抓住最后一个成功

五个交易依次出现。每个交易独立地以概率 0.2 为“有效”（否则为“无效”）；交易出现时你立即得知有效/无效，并须不可撤回地接受或放弃，不可回取。当且仅当你接受了五个交易中的最后一个有效交易时获胜。用此类问题的赔率算法逻辑（从末端起累加赔率 r_i = p_i/(1-p_i)，直到累计首次达到 1，从该位置起接受任何有效交易），求最优停止位置及获胜概率。

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