题目3246 · 数学
缩放映射的 Jacobian
对变换 $x=2u,\ y=3v$，求绝对 Jacobian 行列式 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
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English questions题目3249 · 数学
三角型变换的 Jacobian
对 $x=u,\ y=u+2v$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
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剪切型变换的 Jacobian
对 $x=u+v,\ y=u-v$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$。
打开 →题目3248 · 数学
极坐标的 Jacobian
对 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，求 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|$。
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简单非线性变换的 Jacobian
对 $x=u^2-v,\ y=u+v^2$，符号化地求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$。
打开 →题目3265 · 数学
极坐标扇形面积
利用极坐标 Jacobian 计算区域 $0\le r\le 2,\ 0\le \theta\le \pi/3$ 的面积。
打开 →题目3264 · 数学
三角型映射下的面积缩放
映射 $x=u,\ y=u+2v$ 把单位正方形送到一个平行四边形。求像区域的面积。
打开 →题目3262 · 数学
单位正方形映成平行四边形后的面积
映射 $x=u+v,\ y=u-v$ 把单位正方形 $0\le u,v\le 1$ 送到一个平行四边形。它的面积是多少？
打开 →题目3261 · 数学
由单位圆盘映射得到椭圆面积
映射 $x=2u,\ y=3v$ 把单位圆盘 $u^2+v^2\le 1$ 送到 $(x,y)$ 平面中的一个椭圆。该椭圆面积是多少？
打开 →题目3263 · 数学
简单缩放后的积分
使用变量替换 $x=2u,\ y=3v$ 计算 $\iint_R 1\,dx\,dy$，其中 $R$ 是矩形 $0\le u\le 1,\ 0\le v\le 2$ 的像。
打开 →题目385 · 概率
Box-Muller 变换：从均匀到独立正态
设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。
打开 →题目380 · 概率
两个独立指数变量之比的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。 (a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。 (b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。
打开 →题目240 · 概率
从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数
设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, 1)$，$Y \sim \text{Gamma}(\beta, 1)$ 独立。 (a) 定义 $U = \frac{X}{X+Y}$，$V = X+Y$。计算变换 $(X,Y) \mapsto (U,V)$ 的雅可比行列式。 (b) 推导 $(U,V)$ 的联合 PDF，并证明 $U$ 与 $V$ 独立。 (c) 识别 $U$ 的边际分布，并证明 $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\be
打开 →题目377 · 概率
均匀变量取指数后的分布（雅可比方法）
设 $X \sim \operatorname{Uniform}(0,1)$。利用换元（雅可比）公式求 $Y = e^X$ 的概率密度函数。
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正态随机变量的仿射变换
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$a \neq 0$，$b \in \mathbb{R}$。利用雅可比公式证明 $Y = aX + b$ 服从正态分布，并给出其参数。
打开 →题目389 · 概率
独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布
设 $X \sim \operatorname{Gamma}(\alpha,1)$，$Y \sim \operatorname{Gamma}(\beta,1)$ 独立。利用变换 $(W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)$： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 $f_{W,S}$ 并对 $S$ 积分，证明 $W \sim \operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$。 (c) 证明 $W$ 与 $S$ 独立。
打开 →题目400 · 概率
由卡方变量推导 Fisher F 分布
设 $X \sim \chi^2(m)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 独立，$F = (X/m)/(Y/n)$。 (a) 利用变换 $(F,W)=(nX/(mY), Y)$，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 $W$ 积分得 $F$ 的边际 PDF，验证为 $F(m,n)$ 分布。 (c) 证明 $E[F] = n/(n-2)$（$n>2$）。
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