模块2.7.1 · 数学与统计能力 · 随机分析
布朗运动与伊藤积分
stochastic-calculus · brownian-motion · random-walk · donsker · gaussian-increments · filtration · martingale · quadratic-variation
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English questions模块2.7.2 · 数学与统计能力 · 随机分析
鞅与风险中性定价
stochastic-calculus · martingale · filtration · conditional-expectation · discrete-time · stopping-time · optional-stopping · brownian-motion
打开 →题目6051 · 随机过程
W 平方减 c t 的鞅条件
设 W_t 为标准布朗运动。当常数 c 取何值时，过程 M_t = W_t^2 - c t 是鞅？
打开 →题目3687 · 随机过程
为什么带漂移布朗运动要用指数鞅
为什么一旦布朗运动带有非零漂移，指数鞅就会成为最自然的 OST 工具？
打开 →题目3661 · 随机过程
为什么漂移符号主导鞅的分类
当你已经拿到一个 Itô 分解时，为什么漂移项的符号通常就决定了鞅、次鞅还是超鞅的分类？
打开 →题目3663 · 随机过程
为什么补偿项总是反复出现
为什么从布朗运动构造鞅时，像 $-t$ 或 $- frac12 a^2 t$ 这样的补偿项总是反复出现？
打开 →题目3662 · 随机过程
为什么随机积分天然像鞅
为什么在连续时间里，平方可积的随机积分通常是你最先怀疑为鞅的对象？
打开 →题目3643 · 随机过程
令 e^{a t} cos W_t 成为鞅的系数
取什么 a，能使 X_t = e^{a t} cos W_t 成为鞅？
打开 →题目3642 · 随机过程
令 exp(aW_t-2t) 成为鞅的系数
取什么 a，能使 X_t = exp(aW_t - 2t) 成为鞅？
打开 →题目3641 · 随机过程
令 W_t^2-a t 成为鞅的系数
取什么 a，能使 X_t = W_t^2 - a t 成为鞅？
打开 →课程布朗运动与伊藤积分 · 随机分析
伊藤积分的构造
钩子：公式 究竟在写什么？ 上海某量化私募的衍生品研究组周一例会上，桌上摆着一份连续时间 Delta 对冲方案的初稿：策略对沪深300 股指期货持有动态头寸 公式，结算时账上的对冲腿累计盈亏被写成 公式。主管把上一课的笔记翻到边角，红笔划了一行——只要 公式 在背后由布朗运动（Brownian motion）公式 驱动，几乎每条样本路径的总变差（total ...
打开 →题目515 · 概率
倍注策略下的破产概率
赌徒用倍注策略（输后加倍）：初始赌 $\$1$，输后翻倍，赢后重置。初始资金 $\$31$，赌桌上限 $\$16$（最多连输 $5$ 次即破产）。目标 $\$42$。求她到达目标的概率。
打开 →题目5901 · 概率
凯利本金翻倍的期望轮数
一位赌徒每轮都在一枚获胜概率 $p=0.6$ 的等额赔率硬币上押注凯利比例，因此对数财富是一个具有正漂移的随机游走。设 $G$ 为每轮期望对数增长（最大凯利增长率）。利用对一个合适鞅的可选停时论证，估计财富首次翻倍所需的期望轮数。可忽略越过翻倍水平的过冲。
打开 →题目5965 · 概率
分支过程的灭绝概率
一个 Galton-Watson 分支过程从一个个体开始。每个个体独立地以概率 1/4 生 0 个后代、以概率 1/4 生 1 个、以概率 1/2 生 2 个。设 q 为灭绝概率。利用 q^{Z_n} 是鞅（Z_n 为第 n 代种群规模），求 q。
打开 →题目3657 · 随机过程
判断单调递增适应过程的鞅性质
判断 $X_t=\int_0^t e^{-s}\,ds$ 是鞅、次鞅还是超鞅。
打开 →题目3656 · 随机过程
判断指数加权随机积分的鞅性质
判断 $X_t=\int_0^t e^{-s}\,dW_s$ 是鞅、次鞅还是超鞅。
打开 →题目626 · 概率
加权中心化和 1
设 X_1, X_2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(2/5) 随机变量，且 F_n = sigma(X_1,...,X_n)。定义 M_n = sum_(k=1)^n k*(X_k-2/5)。问 (M_n) 是否关于 (F_n) 构成鞅？
打开 →题目628 · 概率
加权中心化和 3
设 X_1, X_2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(3/7) 随机变量，且 F_n = sigma(X_1,...,X_n)。定义 M_n = sum_(k=1)^n k^2*(X_k-3/7)。问 (M_n) 是否关于 (F_n) 构成鞅？
打开 →题目630 · 概率
加权中心化和 5
设 X_1, X_2, ... 是独立同分布的 Bernoulli(3/5) 随机变量，且 F_n = sigma(X_1,...,X_n)。定义 M_n = sum_(k=1)^n 3k*(X_k-3/5)。问 (M_n) 是否关于 (F_n) 构成鞅？
打开 →题目3741 · 随机过程
单一日期支付的纯现金索赔
某项索赔在时刻 T 支付固定现金额 K，此前没有任何支付。最方便的 numeraire 是什么？在对应测度下，哪个比值会成为鞅？
打开 →题目646 · 概率
可预见变换鞅 1
M_n = sum_(k=1)^n S_(k-1) * X_k, where X_k are iid symmetric ±1 and S_(k-1)=X_1+...+X_(k-1)。问该过程关于自然滤过是否构成鞅？
打开 →题目647 · 概率
可预见变换鞅 2
M_n = sum_(k=1)^n (1+S_(k-1)^2) * X_k, where X_k are iid symmetric ±1。问该过程关于自然滤过是否构成鞅？
打开 →题目648 · 概率
可预见变换鞅 3
M_n = sum_(k=1)^n 1{S_(k-1)>0} * X_k for a symmetric ±1 walk。问该过程关于自然滤过是否构成鞅？
打开 →题目649 · 概率
可预见变换鞅 4
M_n = sum_(k=1)^n (2+(-1)^k) * X_k with iid symmetric ±1 X_k。问该过程关于自然滤过是否构成鞅？
打开 →题目4492 · 数理金融
四状态、秩 3 市场中的 EMM 自由维度
某个有限状态市场有 4 个状态，已交易收益张成空间的秩为 3。在假设无套利且严格正性等条件都满足时，等价鞅测度族还剩多少个自由参数？鞅测度是否唯一？
打开 →题目3745 · 随机过程
固定换浮动互换上的 swaption
某个 swaption 的收益天然与互换年金成比例。最方便的 numeraire 是什么？哪个比值会成为鞅？
打开 →题目3743 · 随机过程
在 T 行权、U 交割的债券期权
某债券期权在时刻 T 行权，其价值自然可以用到期为 U 的债券单位来表达。什么 numeraire 更方便？哪个比值会成为鞅？
打开 →题目3742 · 随机过程
在 T2 支付但在 T1 确定的现金索赔
某产品在 T1 确定现金金额，但要在 T2 才支付。若希望在 T1 之后做最干净的条件化，什么 numeraire 最自然？哪个比值应为鞅？
打开 →题目3744 · 随机过程
在浮动腿支付日结算的 caplet
某 caplet 的收益在浮动利率计息结束日支付。通常最干净的 numeraire 是什么？哪个比值会成为鞅？
打开 →题目5977 · 概率
对乘积鞅的可选停止
设 X_1, X_2, ... 为独立同分布的公平 +-1 步，定义乘积 P_n = prod_{i=1}^n (1 + (1/2) X_i)，P_0 = 1。设 N 为任意几乎必然有限的停时。把 P_n 视为鞅，求 E[P_N]。
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