模块2.1.2 · 数学与统计能力 · 概率与统计基础
条件分布与联合分布
probability · joint-distribution · marginal-distribution · joint-pdf · joint-pmf · jacobian · conditional-distribution · independence
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English questions题目2922 · 概率
0 或 2 子代时的精确灭绝概率
每个个体以概率 $0.3$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $0.7$ 产生 $2$ 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。
打开 →题目3021 · 概率
15 分钟内合并流计数
两条独立泊松流的强度分别为每小时 6 和 10，现在把它们合并。未来 15 分钟内，合并流恰好记录 3 次到达的概率是多少？
打开 →题目3048 · 概率
4 次到达中恰有 1 次发生在前十分钟
在区间 $[0,\frac{1}{2}]$ 小时上观察一个泊松过程。已知该时间段内恰好发生 4 次到达，求在时刻 $\frac{1}{6}$ 之前恰好有 1 次到达的概率。
打开 →题目3046 · 概率
5 次到达中恰有 2 次发生在中点之前
在区间 $[0,1]$ 小时上观察一个泊松过程。已知该时间段内恰好发生 5 次到达，求在时刻 $\frac{1}{2}$ 之前恰好有 2 次到达的概率。
打开 →题目3047 · 概率
6 次到达中恰有 3 次发生在前四分之一时间内
在区间 $[0,2]$ 小时上观察一个泊松过程。已知该时间段内恰好发生 6 次到达，求在时刻 $1$ 之前恰好有 3 次到达的概率。
打开 →题目3049 · 概率
7 次到达中恰有 4 次发生在前一小时
在区间 $[0,\frac{3}{2}]$ 小时上观察一个泊松过程。已知该时间段内恰好发生 7 次到达，求在时刻 $1$ 之前恰好有 4 次到达的概率。
打开 →题目3031 · 概率
8 笔合并订单中有多少笔来自场所 A
两条独立泊松流 A 和 B 的强度分别为每小时 7 与 3，现在将其合并。已知这一小时内总共观察到 8 次合并到达，恰有 5 次来自 A 流的概率是多少？
打开 →题目3020 · 概率
API 错误先于数据库错误
API 错误 与 数据库错误 分别服从独立泊松过程，到达率为每小时 $\lambda_A=5$、$\lambda_B=5$。合并后下一次到达来自 A 流的概率是多少？
打开 →题目2926 · 概率
Bernoulli 子代数除确定性外几乎必然灭绝
设每个个体以概率 $p$ 产生一个子代、以概率 $1-p$ 产生零个子代。灭绝概率是多少？
打开 →题目2936 · 概率
k 个祖先下的灭绝概率
若从单个祖先开始的灭绝概率为 $q$，那么从 $k$ 个相互独立的祖先开始时的灭绝概率是多少？
打开 →题目2938 · 概率
一个具有整洁根的超临界三次方程
设每个个体以概率 $1/2$ 产生 $0$ 个子代、以概率 $1/2$ 产生 $3$ 个子代。从单个祖先开始，求灭绝概率。
打开 →题目171 · 概率
一个节日权重翻倍时的碰撞对期望数
在一个 366 点日历上，有一个特殊节日的概率是 2/366，其余 364 天各自的概率都是 1/366。若有 n=30 个独立生日，无序同生日人对的期望个数是多少？
打开 →题目5961 · 概率
一次有益的交换
两位收藏者各自独立抽一张优惠券，在 4 种类型上均匀。只有当交换对双方都有利时他们才交换，这恰好发生在两人的券类型不同时。可进行有益交换的概率是多少？
打开 →题目2928 · 概率
三个独立祖先下的灭绝概率
若一个以单个祖先开始的分枝过程的灭绝概率为 $q=2/3$，那么当它改为从三个独立祖先开始时，至少有一条谱系永远存活的概率是多少？
打开 →题目5922 · 概率
三候选人最优选择
三位质量各异且未知的候选人以均匀随机的顺序到来。每次面试后你只知道该候选人相对于已见者的名次，并且必须立即不可撤回地录用或拒绝。你希望最大化录用到唯一最优候选人的概率。最优策略是什么，相应的成功概率是多少？
打开 →题目2984 · 概率
三刀后最长一段小于二分之一
在区间 $[0,1]$ 上独立均匀抽取三个切点并排序，得到四段。求最长一段长度小于 $1/2$ 的概率。
打开 →题目030 · 概率
三家供应商与两阶段检测
某公司从三家供应商采购零件：$S_1$（占 50%，不良率 2%）、$S_2$（占 30%，不良率 3%）、$S_3$（占 20%，不良率 5%）。随机抽取一个零件，经两道独立检测。第一道检出不良品的概率为 0.8，误报良品的概率为 0.05；第二道检出不良品的概率为 0.9，误报良品的概率为 0.03。若该零件被两道检测同时标记为不良，求： (a) 该零件确实是不良品的概率。 (b) 在已知该零件确实是不良品且被两道检测标记的条件下，它来自 $S_3$ 的概率。
打开 →题目6008 · 概率
三条行情中谁先跳价
三条独立行情源以泊松过程发送跳价，速率分别为每秒 $5$、$8$、$2$ 次。在所有行情源中，下一次跳价来自速率为 $8$ 的那条的概率是多少？
打开 →题目2971 · 概率
三段都长于五分之一
在区间 $[0,1]$ 上独立均匀抽取两个切点，并按从左到右顺序切开木棒。求切完后三段长度都大于 $\frac{1}{5}$ 的概率。
打开 →题目033 · 概率
三状态贝叶斯更新与日收益
一位组合经理将市场建模为三种等概率的状态之一： - **牛市**：每天上涨概率 $\frac{4}{5}$。 - **中性**：上涨概率 $\frac{1}{2}$。 - **熊市**：上涨概率 $\frac{1}{5}$。 给定状态后各天独立。三天内股票分别：涨、涨、跌。 (a) 求各状态的后验概率。 (b) 求第四天上涨的条件概率。
打开 →题目060 · 概率
与布尔组合的独立性需要相互独立
设 $A$、$B$、$C$ 为事件。(a) 证明：若 $A$、$B$、$C$ 相互独立，则 $A$ 与 $B \cap C^c$ 独立。(b) 设 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，等概率，$A = \{1,2\}$，$B = \{1,3\}$，$C = \{1,4\}$。验证 $A$、$B$、$C$ 两两独立但非相互独立。(c) 计算 $P(A \cap (B \cap C^c))$ 和 $P(A) \cdot P(B \cap C^c)$。$A \perp\!\!\perp (B \cap C^c)$ 是否成立？
打开 →题目2961 · 概率
两个坐标差都小于 1/2 的概率
从单位正方形中独立均匀抽取两个随机点。求这两个点同时满足 \[ |X_1-X_2|<\frac12,\qquad |Y_1-Y_2|<\frac12 \] 的概率。
打开 →题目2941 · 概率
两个随机时刻相差超过 20 秒的概率
两个独立时间戳均匀地从区间 $[0,60]$ 秒中抽取。它们相差超过 $20$ 秒的概率是多少？
打开 →题目2943 · 概率
两个随机点相距不超过 0.1 的概率
从 $[0,1]$ 中独立均匀抽取两个点。它们之间距离小于 $0.1$ 的概率是多少？
打开 →题目6009 · 概率
两小时内的预期大宗交易数
成交以速率 $\lambda=30$/小时 的泊松过程打印。每笔成交独立地以概率 $0.15$ 为大宗（block）交易。未来 2 小时内大宗交易的期望数量是多少？
打开 →题目6011 · 概率
两条分裂流的联合计数
速率 $\lambda=30$/小时 的泊松过程通过独立标记被分裂为“明池”流（概率 $0.2$）与“暗池”流（概率 $0.8$）。未来 30 分钟内，恰好出现 $4$ 笔明池打印且恰好 $9$ 笔暗池打印的概率是多少？
打开 →题目5928 · 概率
两次录用机会
四位候选人以随机顺序到来，仅可观察相对名次。你可在过程中做两次不可撤回的选择（指向一位即被选中，之后还可再指向一位）；若你所选两位中至少有一位是整体最优者，则获胜。选择在线进行且不可回取。最优策略与获胜概率是多少？
打开 →题目037 · 概率
两次正确判断后的后验
某分析师是高能力分析师的先验概率为 2/5。高能力分析师每次预测正确的概率为 4/5，低能力分析师则为 11/20。若两次独立预测都正确，求该分析师是高能力分析师的后验概率。
打开 →题目046 · 概率
两次红球后的后验
一个隐藏盒子等概率是 A 或 B。盒子 A 抽到红球的概率是 4/5，盒子 B 则是 1/3。独立有放回抽两次，结果都为红。求盒子是 A 的后验概率。
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